2021-2022学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知向量，则与同向共线的单位向量（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得的模，再根据与同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量，所以，所以与同向共线的单位向量为：，故选：C.2．设随机变量，则（    ）A．10 B．30 C．15 D．5【答案】A【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.【详解】由随机变量满足二项分布，所以，所以.故选：A.3．过点作圆：的切线，则切线的方程为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得结论．【详解】解：由题意可设切线的方程为，即，圆心到直线的距离，，或，切线的方程为或．故选：D4．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（    ）A．86种 B．64种 C．42种 D．30种【答案】D【分析】考虑3，1，1和 2，2，1两种情况，计算甲乙同去一个基地共有36种结果，再排除丙丁在同一组的情况，得到答案.【详解】3，1，1阵型：；2，2，1阵型：.甲乙同去一个基地共有36种结果，丙丁在同一组共有个结果，.故选：D.5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件探求出，再借助向量积计算作答.【详解】因空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，则，，即，因E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则有，即有，，而，则，，所以等于.故选：D6．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，点E为的中点，点F在BC的延长线上且，则异面直线BE与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据即可求出答案.【详解】在三棱柱中，因为侧棱垂直于底面，且，所以以B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由，，，得，所以，，，，．由，得，所以，，所以异面直线BE与所成角的余弦值为．故选：D．7．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ）A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05【答案】A【分析】根据分患者患病和不患病的前提下分别计算概率，两类概率求和即可.【详解】由题意可知，当被检验者患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为99%，当被检验者未患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为5%，随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为，故选:A.8．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接交抛物线C于点Q，则（    ）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】设出直线，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得，再利用抛物线的对称性求出，则可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线，得 ，则，与抛物线联立得，即，解得， 又则为等边三角形，，由抛物线的对称性可得，故选：D. 二、多选题9．已知双曲线两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】AD【分析】设双曲线的方程为得渐近线方程为，根据双曲线的对称性可得的倾斜角为或，即可得的值，由公式即可求解.【详解】设双曲线的方程为，渐近线方程为：，根据双曲线的对称性可知：的倾斜角为或当的倾斜角为时，可得，所以，当的倾斜角为，可得，所以，所以离心率为或，故选：AD.10．在二项式的展开式中，下列结论正确的是（    ）A．第5项的二项式系数最大 B．所有项的系数和为C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为【答案】ABD【分析】由二项式系数的性质可判断A；令，可得所有项的系数和，可判断B；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为，可判断C，D【详解】选项A：二项式展开式式共有9项，有二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故A正确；选项B：令，可得所有项的系数和为，可知B正确；选项C：所有奇数项的二项式系数和为，C错误；选项D：所有偶数项的二项式系数和为，D正确.故选：ABD11．若圆与圆相交于，，则下列说法正确的是（    ）A．所在直线的方程为 B．的中垂线的方程为C． D．过，两点的所有圆中面积最小的圆是【答案】AB【分析】两圆方程相减得直线的方程判断A，两圆连心线为弦中垂线，求出其方程，判断B，由圆的性质求出弦的长判断CD．【详解】由题意两圆方程相减得，此为直线的方程，A正确；，，，方程是，即，此为的中垂线的方程，B正确；到直线的距离为，所以，C错；过，两点的所有圆中面积最小的圆是以线段为直径的圆，而，D错．故选：AB．12．在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（    ）A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于B．曲线关于原点中心对称C．曲线上的点到原点距离的最小值为D．曲线上的点到直线距离的最小值为【答案】ABD【分析】对于选项A，作出曲线的图象与曲线的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C，设曲线E上任意一点为，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D，结合点到直线的距离公式即可判断.【详解】对于选项A，作出曲线的图象，即可判断为封闭图形，再作出的图象，由图可知曲线围成的面积大于曲线围成的面积，且曲线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为，所以围成的面积为，所以选项A正确；对于选项B，因为点，点均满足方程，则可得到曲线关于原点中心对称，所以选项B正确；对于选项C，设曲线E上任意一点为，则其到原点的距离的平方为，且，即曲线上的点到原点距离的最小值为，故选项C错误；对于选项D，曲线上任意一点为，则其到直线距离为，故选项D正确；故选：ABD 三、填空题13．抛物线的准线方程为______________.【答案】【解析】根据抛物线的性质得结论．【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．故答案为：．14．设随机变量，则______（结果写成分数形式）．【答案】【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.【详解】因为，所以，故答案为: .15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则______（结果用数字作答）．【答案】4950【分析】由二项式展开系数可知，第a行第b个数为，从而求解即可.【详解】由二项式展开系数可知，第a行第b个数为，故，故答案为：4950.16．圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.【答案】【解析】作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点是圆柱内两个内切球的球心，是椭圆的两个焦点，其中是与的交点，，根据圆的切线的性质，可得，由题意可知：，所以，所以，即，所以在中，，显然，所以，所以，即，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 四、解答题17．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.18．如图，在正四棱柱中，AB＝1，E为的中点，．(1)证明：平面平面；(2)求到平面BDE的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)证明以及即可得到面面垂直；(2)先计算平面BDE的法向量，再结合空间中点到面的距离的向量求法求解即可.【详解】（1）当时，，，所以，所以．又平面，平面，则．因为，面，所以平面，又平面BDE，所以平面平面．（2）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则，，，，所以，，，设平面BDE的法向量为，则即不妨令x＝1，则y＝－1，z＝1，得．故到平面BDE的距离．19．相距6千米的两个观察站，先后听到远处传来的爆炸声，已知站听到的时间比站早4秒，该爆炸声速是1千米/秒，现以，所在直线为轴，，中点为原点（如图）建立直角坐标系.（1）判断爆炸点分布在何曲线上，并求出该曲线的方程；（2）求直线与曲线的交点坐标．【答案】（1）双曲线的右支，；（2）.【分析】（1）设爆炸点为，由已知得，又，利用双曲线定义可得解；（2）联立直线与双曲线方程，化简整理得：，求解即可.【详解】（1）设爆炸点为，由已知得，又所以在以，为焦点的双曲线的靠近的那一支上，即点在双曲线的右支上，由，，得，，故双曲线的方程为：；（2）联立，化简整理得：解得：或（舍去），当时，，故直线与曲线的交点坐标为.【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；20．如图所示，四面体中，已知平面平面，，，，．(1)求证：．(2)若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，由勾股定理得逆定理证明出AC⊥BC，进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到∠BCD即为二面角的平面角，进而得到△BCD为等腰直角三角形，，再得到∠BAD为直线与平面所成的角，利用求出的线段长度，求出直线与平面所成的角的正弦值.【详解】（1）因为，，，所以由余弦定理得：，因为，所以AC⊥BC，因为平面平面，交线为BC， 平面ABC，所以AC⊥平面BCD，因为平面BCD，所以，证毕.（2）由（1）知，AC⊥平面BCD，因为平面BCD，所以，又AC⊥BC，故∠BCD即为二面角的平面角，所以∠BCD=45°，又因为，所以△BCD为等腰直角三角形，因为BC=6，所以，因为，，，所以平面ACD，AD为AB在平面ACD上的投影，所以∠BAD即为直线与平面所成的角，设为，，则.21．新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A类服装单件销售价格为元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若，求n的所有可能取值．【答案】(1)分布列见解析，B类服装单件收益的期望大；(2)n可取的值为0，1，2． 【分析】（1）根据给定的信息，求出，的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出购买了服装的顾客中购买B类服装的概率，借助二项分布求出n的各个值对应的概率，再比较判断作答.【详解】（1）依题意，的可能值为200，170，120，，的分布列为：200170120P0.30.50.2 的期望，的可能值为300，255，180，，的分布列为：300255180P0.20.40.4 的期望，设A类服装、B类服装的单件收益分别为元，元，则，，（元），（元），，所以B类服装单件收益的期望大.（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，4，5，显然，，，，，，，因为，，所以当时，n可取的值为0，1，2．22．已知点F是椭圆C：的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当时，求直线l的方程；(3)若直线l上存在点P满足，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上，并求出该直线的方程．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，点P在定直线上． 【分析】（1）根据给定条件，利用直线斜率及三角形面积列出方程组，求解作答.（2）验证直线垂直于y轴的情况，当直线不垂直于y轴时，设出直线方程，与椭圆方程联立求解作答.（3）按直线是否垂直于y轴探讨，利用（2）中信息结合已知等式求解作答.【详解】（1）令点，当直线l垂直于x轴时，由得，弦长为，由的面积为得：，又，解得a=2，，所以椭圆C的方程为．（2）当直线l与x轴重合时，，不合题意，即直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x=ty＋1，，，由消去x整理得：，则，，由，得，消去得，解得，所以直线l的方程为.（3）设，当直线l与x轴重合时，点P在椭圆外，即，同号，由，得，解得，当直线l与x轴不重合时，由（2）知，，而，，，由点P在椭圆外，得，同号，由，得，整理得，即，解得，代入直线l方程x=ty＋1，得，所以点P在定直线上．