2021-2022学年山西省忻州市高二下学期期末联合考试数学试题 解析版

2021～2022学年高二下学期期末联合考试

数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．（－1，2）

4．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△PF1F2的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

6．抛物线上一点P到原点的距离为，则P到焦点的距离为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．计算（    ）

A． B． C． D．

8．某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为（    ）

A．16π B． C．24π D．

9．已知P是直线上任意一点，过点P作两条直线与圆相切．切点分别为A，B，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

10．随机变量X的分布列如下所示．

则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知向量a，b，c满足，，a⊥b，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎，当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为（    ）

A．120 B．288 C．240 D．360

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．______．

14．若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______．

15．某学校高一、高二、高三的学生人数之比为5：5：6．这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为______．

16．科学记数法是一种记数的方法．把一个数x表示成a与10的n次幂相乘的形式，其中，．当时．．若一个正整数m的16次方是12位数，则m＝______．（参考数据：，）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在△ABC中，AB＝2，，BC＝4，D为AC上一点．

（1）若BD为AC边上的中线，求BD；

（2）若BD为∠ABC的角平分线，求BD．

18．（12分）防疫抗疫，人人有责．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：

（1）求y关于x的经验回归方程，并估计该厂6月份的订单金额．

（2）已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格产品需要更换．用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．

参考数据：，．

参考公式：回归直线的方程是，其中

19．（12分）已知数列的首项为3，且．

（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

20．（12分）如图，在四棱锥E－ABCD中，，，AB＝BC＝1，BE＝3，，C，D都在平面ABE的上方．

（1）证明：平面BCE⊥平面ABCD．

（2）若BC⊥BE，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥E－ABCD的体积．

21．（12分）

已知双曲线的右焦点为F2，点F2到E的一条渐近线的距离为，过点F2的直线与E相交于A，B两点．当AB⊥x轴时，．

（1）求E的方程．

（2）若，N是直线x＝1上一点，当B、M，N三点共线时，判断直线AN的斜率是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．

22．（12分）

已知函数．

（1）当k＝0时，求的极值；

（2）证明：当k＞e，x＞1时，．

2021～2022学年高二下学期期末联合考试

数学参考答案

1．D  存在量词命题的否定为全称量词命题，故命题“，”的否定为“”，．

2．B  因为，由正态分布的对称性可得，故B正确，A错误，而正态分布的方差无法确定，故C，D均错误．

3．B  因为，，所以．

4．A设焦距为2c．因为△PF1F2的周长为18，所以，所以．因为长半轴长为5，所以椭圆C的离心率为．

5．A  因为，所以为奇函数，故排除B，D．当x＞0时，；当时，．故选A．

6．B  设P（m，n），则，解得m＝4（负根舍去），所以P到焦点的距离为．

7．A表示首项为：，公比为的等比数列的前11项和，所以．

8．D设该圆锥外接球的半径为R，则，解得，故该圆锥外接球的表面积．

9．B圆C是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当∠ACP最小时，的值最小．，当取得最小值时，最大，∠ACP最小．点C到直线l的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则．

10．D由题可知，即，，．，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以．

11．D．因为，，所以，，所以．又，，所以，当且仅当与反向时，等号成立，所以的最大值为．

12．C先将领导和队长A，B和C“捆绑”，分别当作一个整体，领导和队长A，B和C两个小整体内部可以互换位置，有种不同的排法．将B和C小整体与除领导和队长A外的3个人一起排列，有种不同的排法，再让领导和队长A这个小整体从中间的3个位置选1个位置排，有种不同的排法，所以共有种不同的排法．当B与D相邻时，将B安排在中间，C，D安排在B的两侧，有种排法，然后将他们3人当作一个整体，与除领导和队长A外的2个人一起排列，有种不同的排法，再让领导和队长A这个小整体从中间的2个位置中选1个位置排，共有种不同的排法．故共有288－48＝240种不同的排法．

13．．

14．－1  由题可知，则．

又，所以的图象在点处的切线方程为，即．因为点（2，3）在切线上，所以，解得．

15．  设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件B为该学生是高二年级学生，则．

16．5  由题意可设，因为正整数m的16次方是12位数，所以n＝11，所以．

因为，所以，所以，则．又，，，所以m＝5．

17．解：（1）在△ABC中，．

因为BD为AC边上的中线，所以．

在△ABD中，，

所以．

（2）在△ABC中，，则．

因为BD为∠ABC的角平分线，所以，

由，得，

即，解得．

18．解：（1）由数据可得，，，（或），

，，

故y关于x的经验回归方程为．

当x＝6时，．

估计该厂6月份的订单金额为59.9万元．

（2）依题意，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，4，X～

；

；

；

；

．

随机变量X的分布列为

故．

19．解：（1）因为，所以，

则，所以数列是等差数列，

从而，即．

（2），

则．

20．（1）证明：因为，所以AB⊥BE．

因为，AB⊥AD，所以AB⊥BC

因为，所以AB⊥平面BCE．

又平面ABCD，所以平面BCE⊥平面ABCD．

（2）解：以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，设，则E（3，0，0），C（0，0，1），D（0，1，t），

，．

设平面CDE的法向量为，则，即

令x＝1，得．

易知是平面ABE的一个法向量，

由，

解得t＝3或－1（舍去）．

故．

21．解：（1）根据对称性，不妨设F2到直线的距离为，则．

当AB⊥x轴时，，则．

故E的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，

联立方程组化简得，

由得m≠±1，则，．

设N（1，t），因为B，M，N三点共线，所以，整理得．

因为，

所以，即直线AN的斜率为定值0．

分当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上，则直线AN的斜率为定值0．

综上所述，直线AN的斜率为定值0．

22．（1）解：由题可知，令，得x＝1．

当x＞1时，，当0＜x＜1时，，则在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．

故在x＝1处取得极小值，极小值为，无极大值．

（2）证明：．

令，则，即在（0，＋∞）上单调递增．

因为k＞e，则存在，使得，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

从而，

则．

令，

则，

即在（1，＋∞）上单调递增，所以，

所以当k＞e，x＞1时，．