2021-2022学年陕西省榆林市横山中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市横山中学高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数得除法运算求出复数，再根据虚部的定义即可得出答案.

【详解】解：由，得，

所以虚部为.

故选：A．

2．已知函数在处的导数为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．6

【答案】B

【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得.

【详解】在处的导数为，

，

则.

故选：B

3．若两个不同平面的法向量分别为，则（       ）

A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确

【答案】A

【分析】根据法向量，可得，可得法向量和平行即可得解.

【详解】由，

所以法向量和平行，

所以平面和平行，

故选：A.

4．甲､乙两人下象棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲输的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】记“两人下成和棋”为事件，“甲获胜”为事件，则互斥，则甲不输即为事件，由互斥事件的概率公式可得：，结合条件，即可求得答案.

【详解】记“两人下成和棋”为事件，“甲获胜”为事件，则互斥，

则

则甲不输即为事件，由互斥事件的概率公式可得，

则甲输的概率是

故选：A

5．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据常见函数的导数公式，结合导数的运算法则，分别进行判断即可.

【详解】因为，所以A错误；

因为，所以B错误；

因为，所以C错误；

因为，所以D正确.

故选：D

6．已知三棱锥中，点、分别为、的中点，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式.

【详解】，

所以，.

故选：D.

7．若函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点

C．是函数的极大值点 D．1是函数的极大值点

【答案】A

【分析】根据给定的函数图象，确定导数为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.

【详解】观察导函数的图象知，当时，，当时，，当且仅当时取等号，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

于是得是函数的唯一极值点，且是极小值点，A正确，B，C，D都不正确.

故选：A

8．农村电子商务是通过网络平台嫁接各种服务于农村的资源，拓展农村信息服务业务、服务领域，使之兼而成为遍布县、镇、村的三农信息服务站．作为农村电子商务平台的实体终端直接扎根于农村服务于三农，真正使三农服务落地，使农民成为平台的最大受益者．某镇信息服务站统计了该镇电商2020年1至12月份的月利润，得到如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论中错误的是（    ）

A．月利润最小的月份为10月

B．相对于上个月，月利润增幅最大的月份为11月（起始月份的增幅记为0）

C．月利润的中位数为2月和9月月利润的平均数

D．1至6月份的月利润相对于7至12月份波动性更小

【答案】C

【分析】根据题意结合折线图以此判断各项即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：由上图可知利润最小的月份为10月，故A正确；

对于选项B：从10月到11月连线的斜率最大，即月利润增幅最大的是11月，故B正确；

对于选项C：月利润的中位数为3月和9月的月利润的平均值，故C错误；

对于选项D：1-6月的月相对于7-12月比较集中，即波动性更小，D正确；

故选：C

9．若是非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及数量积的定义即可得出答案.

【详解】由可得，

设与的夹角为，可得

因为是非零向量，所以或与的夹角，

所以由得不出，

若则即，

所以由可推出，

所以是的必要不充分条件，

故选：B.

10．已知椭圆的左，右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得以线段为直径的圆的方程为，利用该圆与直线相切，可得的关系，即可求得椭圆离心率.

【详解】由题意知，

以线段为直径的圆 与直线相切，

故 ，化为： ，

所以椭圆C的离心率 ，

故选：C．

11．某单位做了一项统计，了解办公楼日用电量y（度）与当天平均气温(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了如下对照表：

由表中数据得到线性回归方程，则当日平均气温为℃时，预测日用电量为（    ）A．64度 B．66度 C．68度              D．70度

【答案】B

【分析】根据样本中心满足回归方程即可解决.

【详解】由表中数据可知，，

所以回归方程过，得，即，

则回归方程为，

当时，，

故选：B

12．已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于的不等式，再利用单调性得解集．

【详解】设，则，

因为，所以，所以是上的增函数，

，不等式即为，即，

所以，

故选：D．

二、填空题

13．若椭圆上一点到一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为___________．

【答案】

【分析】由椭圆方程求得，再由已知结合椭圆定义求解.

【详解】由椭圆，得，即，

由题意不妨设，由椭圆定义可知，

，即.

所以点到另一个焦点的距离为.

故答案为：

14．在区间上随机取一个实数，则的概率为______．

【答案】

【分析】满足的区间长度与总区间长度之比，即为所求的概率.

【详解】由题意可得，总区间长度为6，满足的区间长度为2，故所求的概率为.

故答案为：

15．已知命题：且，；命题：，．则下列命题中，所有真命题的序号是______．

①；    ②；    ③；    ④．

【答案】①④

【分析】先分析命题和命题的真假性，然后再结合复合命题的真假关系即可求解

【详解】对于命题：，则，当时，，即命题是假命题；

对于命题：，不存在，使，即命题也是假命题；

由复合命题的真假关系得：

①，假，真，为真命题，

②，假，假，是假命题，

 ③，真，假，为假命题，

 ④，真，真，为真命题，

故答案为：①④

三、双空题

16．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________.

【答案】         

【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，

所以双曲线的方程为，故可取，

此时，

所以离心率

故答案为：，

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的导函数；

(2)求曲线在点处的切线方程.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）根据求导法则，可得答案；

（2）求出函数在处的导数值和函数值，根据导数的几何意义，即可求得答案.

【详解】（1）因为,

所以

.

（2）由（1）知，又，

曲线在点处的切线方程为，即.

18．在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒兵球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数；

(2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？

【答案】(1)甲学校作品得分的中位数为，乙学校作品得分的中位数为；

(2)甲学校作品得分的平均数为，乙学校作品得分的平均数为，甲学校的作品更受评委的欢迎.

【分析】（1）根据茎叶图求得甲乙两所学校作品的得分，并按照从小到大进行排序，再求中位数即可；

（2）根据（1）中所得数据，直接求平均数，再从中位数和平均数的角度，即可判断.

【详解】（1）甲学校作品的得分由小到大排列为：62，65，68，75，77，83，84，91，92，93，

所以甲学校作品得分的中位数为；

乙学校作品的得分由小到大排列为：60，63，75，75，77，79，81，82，87，91，

所以乙学校作品得分的中位数为.

（2）甲学校作品得分的平均数为；

乙学校作品得分的平均数为．

甲学校作品得分的中位数和平均数都大于乙学校作品得分的中位数和平均数，

所以甲学校的作品更受评委的欢迎．

19．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值；

(2)用分层抽样的方法从成绩在，这两组的学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同组的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由概率之和为1即小长方形的面积之和等于1可求得图中的值.

（2）首先利用分层抽样确定在，这两组的学生中各抽到的学生人数，再计算出基本事件的个数及2人来自不同组的可能情况，即可求出相应概率.

【详解】（1）由频率分布直方图得，

解得.

（2）易知用分层抽样方法在小组内抽取3人，记为，在小组内抽取2人，记为、，

从这5人中随机抽取2人，基本事件有，，，，，，，，，，共10个，

这2人来自不同组的基本事件有，，，，，，共6个，

这2人来自不同组的概率.

20．已知抛物线的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若过焦点的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出，代入抛物线方程即可得解；

（2）设直线的方程为，将代入中，根据韦达定理得到，，结合抛物线的弦长公式求出，即可得解.

【详解】（1）抛物线的焦点为，

，得，

抛物线的标准方程为.

（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入中，得，，

所以，，

由，得，

即，得，

直线的方程为：.

21．如图，且，，且，且，平面，，为的中点，为的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由题可知，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，运用空间向量法解决线面平行即可；（2）运用空间向量法解决二面角即可；

【详解】（1）因为，平面，

所以，，两两垂直.

以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以可得，，，，，.

所以，，，

因为为的中点，为的中点，

所以，.

所以.

设平面的法向量为，

则，即，不妨令，可得.

所以，

所以.

又平面，

所以平面.

（2）由（1）得，

设平面的法向量为，

则，即，不妨令，可得.

由（1）知，平面的一个法向量为.

所以，于是.

所以二面角的正弦值为.

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个不同的零点，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，讨论和时的导数的正负情况，可得答案；

（2）将函数有两个不同的零点，转化为的图象有两个交点的问题，利用导数判断函数的单调性，求得最值，数形结合，求得答案.

【详解】（1）因为，所以，

当时，，在上为增函数；

当时，令，得，令，得，

即在上为增函数，在上为减函数，

综上：当时，在上为增函数；

当时，在上为增函数，在上为减函数．

（2）有两个不同的零点，等价于方程有两个不等的实数根，

即有两个不等的实数根，即的图象有两个交点

令，则，

令，得，令，得，

∴在上为减函数，在上为增函数，

∴的最小值为，

大致图象如图：

时，时，，

所以要使得的图象有两个交点，

需有，解得，此时有两个不同的零点，

∴a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：利用解决函数的零点个数时，注意转化为两个函数的图象的交点问题，因此要根据分离参数，构造恰当的函数，利用导数判断其单调性，数形结合，解决问题.