2021-2022学年上海市虹口高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市虹口高级中学高二上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市虹口高级中学高二上学期期末数学试题 一、填空题1．在等差数列中，已知，，则__．【答案】【分析】利用通项公式的相关的性质即可求解.【详解】设公差为，则，所以.故答案为：2．等比数列中，若，，则_____．【答案】【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以，故答案为：．3．半径为2的球的表面积为________.【答案】【分析】代入球的表面积公式:即可求得.【详解】，由球的表面积公式可得,,故答案为:【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.4．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种,甲､乙两人都没有被选到有种， 甲､乙两人都没有被选到的概率为.5．已知正项等差数列的前项和为，，则________．【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得，再根据求和公式即可求出．【详解】正项等差数列的前项和为.由得，所以，（舍）故答案为：22【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题．6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【答案】【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点， 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为，所以, 所以. 7．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.【答案】0.9## 【分析】利用概率加法公式直接求解.【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：.故答案为：0.9.8．如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线旋转所得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为________【答案】【分析】分析几何体的结构，计算出、，由此可得出结果.【详解】将矩形绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，母线长为的圆柱，所以，，将绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，高为的圆锥，所以，.因此，.故答案为：.9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于．若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的体积等于__．【答案】【分析】先由题目条件可得三棱柱的棱长，后可结合图形确定球O的球心，后可得答案.【详解】如图，三棱柱是直三棱柱，且所有棱长都相等，该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为18，设三棱柱的棱长为，则，解得，分别设上下底面中心为、，则的中点即为三棱柱外接球的球心，，所以球的半径，则球的体积等于．10．如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，再沿的方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，，这样无限前进下去，则质点最终到达的点的坐标为__．【答案】【分析】根据已知前进规律,再应用无穷等比数列求和公式可得横纵坐标.【详解】等比数列前项和公式当,根据已知前进规律,探究轴正方向的规律，得，同理也可发现轴正方向变化规律，故质点最终到达的点的坐标为．    故答案为:  二、单选题11．设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.【详解】由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的必要而不充分条件．故选：B．12．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（    ）A．有一条 B．有二条C．有无数条 D．不存在【答案】C【分析】设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.【详解】设平面，且，又平面，平面，平面，显然满足要求的直线l有无数条.故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.13．实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（　　）A．可能是等差数列，也可能是等比数列B．可能是等差数列，但不可能是等比数列C．不可能是等差数列，但可能是等比数列D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a，b满足a•b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a＞b＞0则有a＞＞＞b若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=，得，解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有若能构成等差数列，则，得2=3a-b于是b＜3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b=9a＜0，满足题意但此时•b＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．14．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（    ）A． B． C． D．不存在【答案】A【分析】根据求出公比，再利用得到，结合均为正整数，得到五组值，代入求出最小值.【详解】设正项等比数列的公比为，因为，所以，化为，，解得．因为存在两项，使得，所以，化为．则，；，；，；，；，．则当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，故最小值为.故选：A．15．已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（    ）A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为 D．可正可负【答案】A【分析】根据函数的性质可判断函数值正负，从而结合等差数列性质推出，进而将结合等差数列的性质即可判断答案.【详解】因为函数是上的奇函数且是严格增函数，所以，且当时，； 当时，．因为数列是等差数列，，故．再根据，所以，则，所以．同理可得，，，所以，故选：． 三、解答题16．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：(1)甲乙同时射中目标的概率；(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可，（2）利用对立事件性质求解即可.【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件，则，且事件，相互独立，所以甲乙同时射中目标的概率为.（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件，则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：，则.17．如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且.(1)求三棱锥的体积；(2)设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题目条件可得BD，后可由三棱锥体积公式得答案；（2）取中点，连接，则，即为异面直线与所成角，后可由余弦定理得答案.【详解】（1）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，所以，所以，所以三棱锥的体积；（2）取中点，连接，则，所以即为异面直线与所成角，又平面，平面，则，得..则在中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.18．已知数列满足，且.(1)令，求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式及数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)，数列的前项和为 【分析】（1）根据题意结合等比数列定义运算分析；（2）根据题意结合等比数列的通项公式求得，再利用分组求和以及等比数列的求和公式运算求解.【详解】（1）因为，所以，又∵，则，且，所以是以首项，公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，所以.19．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．(1)求证：平面；(2)若，，，求圆柱的侧面积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定得出结论；（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案.【详解】（1）证明：底面，且底面，，又，且，平面，平面；（2）在中，，，，又在中，，．圆柱的底面半径为，母线长为4，圆柱的侧面积为．20．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.【答案】（1）答案见解析；（2），且；（3）或.【分析】（1）根据性质计算，由解得或，可得结论；（2）通项公式，然后由求出，由的范围可得的值的形式；（3）由得，由对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得.首先确定，得是整数，因此也是整数，然后说明不合题意（取较大的，使得即可得），时只有或2，并说明符合题意．【详解】解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，都存在正整数，使得，所以，解得或.所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且时，数列不具有“性质”.（2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，，令，则.当且时，则，对任意正整数，，，由得，得，而是正整数，所以存在正整数使得成立，数列具有“性质”.若，取，，，不是中的项，不合题意．综上所述，且.（3）.对于任意的正整数，存在整数，使得得.对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得.当时，显然不合题意.当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.是正整数，都是正整数，因此或2．当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.综上所述或.【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查学生的创新意识，推理能力．解题关键是理解新定义并能运用新定义解题．性质，即对任意的，存在，使得，只要根据这个恒成立式求得数列即可．