2021-2022学年上海市华东师范大学第三附属中学高二下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市华东师范大学第三附属中学高二下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．在等差数列中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝______．

【答案】2

【分析】根据等差数列的公式求得公差.

【详解】依题意.

故答案为：

2．若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程为___________.

【答案】

【分析】由题意设椭圆方程为，则有，再结合求出，从而可求出椭圆的方程

【详解】由题意设椭圆方程为，则

，解得，

所以椭圆方程为，

故答案为：

3．线段两端点在两坐标轴上移动，且，则线段中点轨迹方程为____________．

【答案】

【分析】设中点为，再分别表示的坐标，根据求解即可.

【详解】设中点为，不妨设，则.

又，故，化简可得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，需要根据题意设动点坐标，再求出相关点的表达式，再根据线段长度列式化简，属于基础题.

4．直线经过的定点坐标是___________.

【答案】

【分析】将直线方程化简为，进而令即可解得答案.

【详解】把直线l的方程改写成：，

令，解得：，所以直线l总过定点.

故答案为：（1,1）.

5．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 _______条

【答案】3

【分析】根据点与抛物线在直角坐标系中的位置关系：抛物线外，即可知过与只有一个公共点的直线条数

【详解】

如上图，点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和抛物线对称轴平行的直线，故3条

故答案为：3

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，由点与抛物线的位置关系判断过该点与抛物线只有一个公共点的直线条数

6．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线方程是______.

【答案】

【详解】设,将代入求得. 双曲线方程是

7．已知数列的前项和为，且，，则数列的前项和___________；

【答案】

【分析】由，推得，得出数列为等比数列，得到，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】由数列的前项和为，且，

当时，，

两式相减，可得，即，，

令，可得，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，

则，所以.

故答案为：.

8．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则当时，的最小值是______．

【答案】

【分析】首先根据抛物线的定义转化，再根据数形结合分析的最小值.

【详解】抛物线的焦点是，且当时，点在抛物线外.

根据抛物线的定义可知

，

，

当三点共线时，等号成立，

的最小值是，

，

的最小值是.

故答案为：

【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化.属于基础题.

9．已知数列满足则的最小值为__________.

【答案】

【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．

【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33

且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．

从而

设f（n），令f′（n），

则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，

因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．

又因为，，

所以的最小值为

故答案为

【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

10．关于曲线，则以下结论正确的个数有______个．

①曲线C关于原点对称；

②曲线C中，；

③曲线C是不封闭图形，且它与圆无公共点；

④曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．

【答案】2

【分析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.

【详解】①将方程中的分别换为，方程不变，故该曲线关于原点对称，故正确；

②因为，解得或，故，

同理可得：，故错误；

③根据②可知，该曲线不是封闭图形；

联立与，可得：，将其视作关于的一元二次方程，

故，所以方程无根，故曲线与没有交点；

综上所述，③正确；

④假设曲线C与曲线有4个交点且交点构成正方形，

根据对称性，第一象限的交点必在上，

联立与可得：，故交点为，

而此点坐标不满足，所以这样的正方形不存在，故错误；

综上所述，正确的是①③.

故答案为：.

【点睛】本题考察曲线与方程中利用曲线方程研究曲线性质，处理问题的关键是把握由曲线方程如何研究对称性以及范围问题，属困难题.

二、单选题

11．已知无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出的表达式，利用常见数列的极限计算可得结果.

【详解】由于无穷等比数列的首项为，公比为，则，

因此，．

故选：D.

12．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交于，两点，则弦的中点到准线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，进而求得弦的中点到准线的距离，得到答案.

【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，

设，，直线的方程为，

联立方程组，整理得，

则，所以弦的中点的横坐标为，

则弦的中点到准线的距离为.

故选：C.

13．以过椭圆的右焦点且垂直于轴的弦为直径的圆与点的位置关系是（    ）．

A．点在圆内 B．点在圆外 C．在圆上 D．点与圆的关系不确定

【答案】A

【分析】根据题意计算，判断与半径的大小关系得到答案.

【详解】当时，，解得，故，故，

圆心为，，故点在圆内.

故选：A.

【点睛】本题考查了椭圆的弦长，点与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

14．数列满足，其前项和为，若成立，则的最大值是（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】A

【分析】由可化简得，再利用裂项相消可求出，利用条件即可求解

【详解】

.由，

.

故选：A.

【点睛】本题考查数列裂项相消. 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

常见的裂项相消的公式：

三、解答题

15．在等比数列中，已知，且、、依次是等差数列的第项、第项、第项．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项的性质可得出关于的等式，可求得的值，进而可求得等比数列的通项公式，求出、的值，可求出等差数列的公差，进而可求得数列的通项公式；

（2）利用等比数列的求和公式以及分组求和法可求得.

【详解】（1）解：设等比数列的公比为，

而等差数列的第项、第项、第项成等差数列，

则，即，

即，解得，

又因为，所以，显然有，，

则等差数列公差，所以，

所以数列和的通项公式分别是，．

（2）解：，，且，

所以，数列为等比数列，且该等比数列的首项和公比都为，

.

16．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，或.

【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；

（2）先排除直线l斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.

【详解】解：（1）双曲线，即为，其离心率为，

则椭圆的离心率为.

因为双曲线E的实轴长为、焦距为4，

设椭圆C的焦距为，则成等比数列，

所以，解得.

又，及，解得.

所以椭圆C的标准方程为；

（2）双曲线E的虚轴上端点为.

当直线的斜率不存在时，，点为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；

故直线的斜率存在，设斜率为k，则直线的方程为，

联立方程组消去y，得.

显然，解得或.

设点，则，

所以

，

若以为直径的圆过原点，则，所以，所以，

即，

所以，解得，符合式，

所以直线的方程为或.

17．在数列中，.

（1）判断数列是否为等比数列？并说明理由；

（2）若对任意正整数，恒成立，求首项的取值范围.

【答案】（1）答案见解析.（2）

【分析】（1）转化条件得，由等比数列的概念即可得解；

（2）易得当时，符合条件；当时，，根据为奇数、为偶数分类讨论，由恒成立问题的解决办法即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

所以，

所以当即时，，

所以当时，数列不是等比数列；

当，即时，，所以，

所以当时，数列是等比数列；

（2）由（1）知，当时，，所以恒成立；

当时，数列是等比数列，且首项为，公比为，

所以，

即.

当为奇数时，，所以.

又单调递减，所以时，取得最大值，所以；

当为偶数时，，所以.

又单调递增，所以当时，的最小值为2，所以，

所以；

综上，首项的取值范围为.

【点睛】本题考查了等比数列的判定及数列不等式恒成立问题的解决，考查了运算求解能力，属于中档题.

18．在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程.

（1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程；

（2）若，，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线于M，交直线于N，证明：；

（3）若，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值.

【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）0.

【分析】（1）利用圆的弦长公式计算求解，注意先验证直线斜率不存在的情况；

（2）设,根据已知求得切线方程，联立方程组求得M，N的坐标，证明,得到A为线段MN的中点，进而证得结论；

（3）设P(x1,y1),R(x2,y2),则Q(-x1,-y1),E(x1,0),写出EQ的方程，与曲线C的方程联立，根据Q，R的横坐标-x1,x2是这个方程的两实数根，利用韦达定理求得，进而计算可得.

【详解】（1）当时，曲线C的方程为,这是以原点为圆心，r=2为半径的圆，

直线l过点,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为,代入圆的方程得,，∴直线l被圆所截得弦长为2，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则直线l的方程为，即,

由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为,

由点到直线的距离公式得,解得,所以直线l的方程为：；

（2）当时 ，设,则过A点的切线方程为：,

即,由直线l1的方程得,代入切线方程得到,

设,,则,同理,

因为A在曲线C上，,,所以A为线段MN的中点，所以;

（3）设,则),

则直线EQ:

代入曲线C的方程并整理得：

,

Q，R的横坐标是这个方程的两实数根，

∴,

∴,

,

,

由于,

∴

【点睛】本题考查已知圆的弦长求直线方程，双曲线和椭圆中的直线与直线，直线与曲线的交点坐标问题，属较难试题，关键难点是第（3）小题中根据Q，R的横坐标-x1,x2是方程的两实数根，灵活使用韦达定理求，要注意准确运算.