2021-2022学年上海市南洋模范中学高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市南洋模范中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．抛物线的焦点坐标是______.

【答案】

【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.

【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，

所以焦点坐标为，

故答案为：.

2．直线的倾斜角的取值范围是_______.

【答案】

【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.

【详解】由知：直线斜率，

设直线倾斜角为，则，又，.

故答案为：.

3．圆的过点的切线方程为_____________.

【答案】

【分析】因为点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.

【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上,则,则切线的斜率,则切线的方程为,变形可得;

故答案为:

4．若双曲线(，)的渐近线方程为，则双曲线的离心率______．

【答案】

【分析】由题知，再根据离心率公式求解即可.

【详解】解：双曲线(，)的渐近线方程为，

所以，双曲线的焦点在轴上，且

所以，双曲线的离心率．

故答案为：

5．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是__．

【答案】

【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.

【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，

则，解得，，

故点M关于直线的对称点的坐标是，

故答案为：

6．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则的取值所构成的集合为______

【答案】

【详解】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可.

【点睛】当与平行或重合时，，

当与平行或重合时，，得，

当与平行或重合时，，此时无解；

当三条线经过同一点时，联立得，

将代入得，

解得

故的取值所构成的集合为

故答案为：

7．方程表示的曲线可能为__（填序号）

①两条直线；②圆；③椭圆；④双曲线

【答案】①③④

【分析】根据，讨论取不同范围内的值时，方程表示的曲线类型，即可得答案.

【详解】因为，所以，

当时，即，方程表示椭圆；

当时，即，方程表示双曲线；

当时，，方程表示两条直线，

由于，故不可能表示圆，

故答案为：①③④．

8．已知是椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，且，则的面积是______.

【答案】

【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】在椭圆中，，，，

由椭圆的定义可得，，

在中，，

由余弦定理可得，解得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】结论点睛：已知、是短轴长为的椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为.

9．带有编号1、2、3、4、5的五个球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则共有__种不同放法．

【答案】

【分析】先选出2个球，分成4组，再放进4个盒子即可.

【详解】五个不同的球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种不同的放法．

故答案为：240.

10．若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.

【答案】

【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.

【详解】设点、的坐标分别是、，则，，

两式相减得，因，即有，

设直线的斜率是，弦的中点是，则，

从而的垂直平分线的方程为，

又点在直线上，所以，而，解得，

弦中点的横坐标为2.

故答案为：2

11．3个男生和3个女生排成一排，要求男生互不相邻，女生不全相邻，则不同的排列方法有___________种.

【答案】144

【分析】考虑三男三女均不相邻，与3男不相邻且3女中有2女相邻两种情况，进而根据排列组合方法求得答案.

【详解】若3男3女均不相邻，则先排男生，出现4个空位，进而将女生排入前3个或后3个空位，有种情况；

若3男不相邻，3女中有2女相邻，出现4个空位，进而将女生排入中间2个空位，有种情况.

所以，一共有144种情况.

故答案为：144.

12．若实数，满足，且的最大值为，则实数的值是______.

【答案】

【分析】根据象限取绝对值符号，根据的几何意义，然后数形结合可得.

【详解】当时，曲线为椭圆在第一象限的图象，当时，曲线为双曲线在第四象限的图象，当时，曲线为双曲线在第二象限的图象，当时，原方程无实数解.

因为直线是双曲线和的渐近线，

令，则表示曲线上的点到直线的距离，

因为的最大值为，所以的最大值为

由图知，曲线上到直线距离最大的点在椭圆上，设椭圆上动点坐标为，

由点到直线的距离公式得

因为，所以要想有最大值，直线需向上平移，使得平移后的直线与直线的距离为，

即直线与直线的距离为，

所以，解得，

故答案为：

二、单选题

13．圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（    ）

A．10 B．15 C．30 D．60

【答案】A

【分析】利用组合知识进行计算即可.

【详解】圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，属于组合问题，故一共可以画的三角形个数为.

故选：A

14．命题p：直角坐标系中动点到定点的距离比到y轴的距离大1；命题q：动点的坐标满足方程，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出平面内到定点的距离比到y轴的距离大1的动点P的轨迹方程，结合充分、必要条件的定义判定得答案．

【详解】解：p：动点到定点的距离比到y轴的距离大1.

当命题成立时，,

当时，,

两边平方并整理得.

当时，,

两边平方并整理得

则动点P的轨迹为或；

q：动点满足方程，

可知p不能推出q，q能够推出p，则p是q的必要不充分条件．

故选：B．

15．已知，设直线，其中，给出下列结论：

①直线的方向向量与向量共线；

②若，则直线与直线的夹角为；

③直线与直线一定平行；

上述结论是真命题的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；

对②，由斜率及倾斜角的关系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；

对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合.

【详解】对于①，直线的方向向量是，它与向量共线，是真命题；

对于②，当时，直线的斜率是，倾斜角是，

直线的斜率是1，倾斜角是，两直线的夹角为，是真命题；

对于③，直线的斜率是，在轴上的截距是，

直线的斜率是，且在轴上的截距是，

当时，两直线重合，不平行，是假命题.

综上，真命题的序号是①②.

故选：B．

16．一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆.若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是（    ）

A．短轴为，且与大小无关 B．离心率为，且与大小无关

C．焦距为 D．面积为

【答案】B

【分析】根据椭圆的性质，结合题中的数据对，对每个选项逐一分析即可.

【详解】由题意得椭圆短轴长，而长轴长随变大为变长且，

所以，故，焦距为，

由椭圆在底面投影即为底面圆，则等于圆的面积与椭圆面积的比值，

所以椭圆面积为，综上，ACD正确，B错误，

故选:B．

三、解答题

17．已知直线和的交点为，求：

(1)以点为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；

(2)直线过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)求出两直线交点P的坐标，根据弦长求出所求圆的半径，即可得答案；

（2）设出所求直线的方程，求出与坐标轴的交点坐标，根据三角形面积列出方程，解方程，即可求得答案.

【详解】（1）直线和的交点为，

由，得，即，

点到直线的距离，

设所求圆的半径为，

由垂径定理得弦长，解得，

所以所求圆的方程为；

（2）设过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为的直线的斜率为，则，

所以的方程为，即，

它与两个坐标轴的交点分别为，，

则，解得或，

当时，直线的方程为，

当时，直线的方程为，

综上，直线的方程为或．

18．我们称（）元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为.

(1)求和的值；

(2)当为正偶数时，求的通项公式．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由定义用列举法求、即可；

（2）按照含0个数为1，3，…，进行讨论，可得，结合、的展开式，即可得的通项公式.

【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有，

它们的范数依次为1，1，1，1，

所以，.

（2）当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，

则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，…，进行讨论：

的个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；

的个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；

…

的个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1；

所以，    

因为　①，

　②，

①-②得，.

19．如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.

（1）求有轨观光直路的长；

（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.

【答案】（1）；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析

【分析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得，直线的方程为，，由点到直线距离，求出，从而直线的方程为，联产方程组求出的坐标，由此能求出轨道的长；

（2）将喷泉记为圆，由题意得，生成分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则，，从而，若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.

【详解】（1）以点O为坐标原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

则由题设得：，直线的方程为，（）.

由，解得，所以.

故直线的方程为，

由得

即，故，

答：水上旅游线的长为.

（2）将喷泉记为圆P，由题意可得，

生成t分钟时，观光车在线段上的点C处，

则，，所以.

若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，

即，

当时，上式成立，

当时，，，当且仅当时取等号，

因为，所以恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.

答：喷泉的水流不会洒到观光车上.

【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.

20．已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.

（1）求轨迹的方程；

（2）求斜率的取值范围；

（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【分析】（1）根据双曲线的定义即可求得方程；

（2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；

（3）假设存在点，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据结合韦达定理求解.

【详解】（1）因为，点满足，

所以点的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

设其方程，则，

所以轨迹的方程：；

（2）斜率为的直线过点，直线方程为，代入，

，即有两个不等正根，

，

由得，当时，

且

即不等式组的解：

所以；

（3）假设存在，设点，使，

由（2）：斜率为的直线过点，直线方程为，代入，

，即有两个不等正根，

，

，所以，

，对恒成立，

所以，解得，即，

当直线斜率不存在时，直线方程，此时，

，仍然满足，

所以这样的点存在，.

【点睛】此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题.

21．曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为､右交点为.

（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；

（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.

（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.

【答案】（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.

【分析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.

【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，

即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,

联立两个曲线，得，，即，

当焦点是右焦点时，

线段的方程

当焦点时左焦点时，

，，线段的方程

（2），

假设点在曲线上

单调递增

∴

所以点不可能在曲线上

所以点只可能在曲线上，根据得

可以得到

当左焦点，，同样这样的使得不存在

所以这样的点一共2个

（3）设直线方程，圆方程为

直线与圆相切，所以

，

，

根据得到

补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，

∵，

当，存在，否则不存在

这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时

存在不存在.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.