2021-2022学年上海市七宝中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市七宝中学高二上学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市七宝中学高二上学期期末数学试题 一、填空题1．参数方程所表示的直线的斜率为___________.【答案】【解析】将直线的参数方程化为普通方程，进而可求得所求直线的斜率.【详解】在参数方程中消去参数可得，即.因此，所求直线的斜率为.故答案为：.2．已知曲线C的极坐标方程为，则该曲线的直角坐标方程为__________.【答案】【分析】将的两边同乘，再根据得到的关系式，即为的直角坐标方程.【详解】因为，所以，且，所以，即为，故答案为：.3．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______．【答案】4【分析】求出椭圆的焦点，再解方程，即得解.【详解】解：由题意得椭圆的焦点为和，所以，所以．故答案为：44．已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方程为 _________ ．【答案】【分析】求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，即可得解.【详解】解：直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为．故答案为：x = -25．若为椭圆上的点，为椭圆的左右焦点，则的周长_________ ．【答案】18【分析】由椭圆的定义可知周长为，进而得解.【详解】椭圆中，，由椭圆的定义可知周长为，的周长为，故答案为：18.6．抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，则实数________________．【答案】【分析】根据焦半径公式，可求出，从而得到抛物线方程，把点代入抛物线方程即可求出的值.【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴上，且，因为抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，所以根据焦半径公式，得，所以，即，因为点到抛物线上，所以，所以.故答案为：.7．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为，则的离心率为______【答案】【分析】设椭圆的焦距为，实轴长为，进而得，再根据离心率公式计算即可.【详解】解：根据题意，设椭圆的焦距为，实轴长为，所以地球轨道与太阳中心的最远距离为，最近距离为，所以，即，故的离心率为故答案为：8．已知圆的方程为，则当该圆面积最小时，圆心的坐标为___________.【答案】【分析】将圆的方程化成标准形式，求出圆心及半径即可分析计算作答.【详解】依题意，圆的方程化为：，于是得该圆圆心，半径，因此，该圆面积，当且仅当时取“=”，所以当该圆面积最小时，圆心的坐标为.故答案为：9．实数满足，则点到直线的距离的取值范围是___．【答案】【解析】分段讨论去绝对值判断出表示的图形，可得出表示的图形在和之间，利用平行线间距离公式即可求出.【详解】实数满足，当时，方程为，表示一段圆弧，当时，方程为，表示双曲线的一部分，当时，方程为，表示双曲线的一部分，当时，方程为，不表示任何图形，画出表示的图形，可知双曲线的一条渐近线为，和平行，设和平行且和圆在第一象限相切的直线为，则，解得，可得表示的图形在和之间，则和的距离为，和的距离为，则结合图形可得点到直线的距离的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查解析几何的综合问题，解题的关键是得出表示的图形，数形结合可求出.10．已知双曲线的左焦点为F，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为_________.【答案】12【解析】的周长为，其中为定值，所以即求，利用定义可得，所以周长为，作图当三点共线时周长最短，利用面积分割求得面积.【详解】如图，设双曲线C的右焦点为.由题意可得.因为点在右支上，所以，所以，则的周长为，即当M在处时，的周长最小，此时直线的方程为.联立，整理得，则，故的面积为.故答案为：12【点睛】本题考查双曲线数形结合求最值以及求三角形的面积，属于基础题.方法点睛：（1）双曲线求最值常用定义的方法，把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离.（2）圆锥曲线中求三角形的面积经常采用面积分割的方法.11．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，.延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知，则由生成的康威圆的半径为___________.【答案】【解析】利用弦长相等，，圆心与弦所在直线距离相等，得圆心是直角的内心，从而易求得圆半径．【详解】设是圆心，因为，因此到直线的距离相等，从而是直角的内心，作于，连接，则，，所以．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查求圆心的半径，关键是找出圆心位置，解题根据是利用弦长相等，则圆心到弦所在直线的距离相等，从而得出圆心是题中直角三角形内心，这样由勾股定理可得结论．12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是、在第二、 四象限的交点，若， 则与的离心率之积的最小值为________．【答案】【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，如下图，连接，所以为平行四边形，由得，设，在椭圆中，由定义可知：，由余弦定理可知：，，在双曲线中，由定义可知中：：，由余弦定理可知：，，所以，，当且仅当时取等号，所以， 所以与的离心率之积的最小值为．故答案为：【点睛】关键点睛：在椭圆和双曲线中利用焦点三角形的面积建立等式是解题的关键. 二、单选题13．直线与直线的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜角，进而可得夹角.【详解】两直线的斜率，因为直线倾斜角范围为则，故两直线夹角，故选：．14．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．4【答案】D【解析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN与圆有公共点即可，从而可以断定圆心到直线MN的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果.【详解】依题意，直线MN与圆有公共点即可，即圆心到直线MN的距离小于等于1即可，过作MN，垂足为A，在中，因为，故，所以，则，解得．故选：B.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.16．已知椭圆的左顶点为，过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于点两点，直线与直线分别交于，下列说法正确的是（    ）A．为定值 B．为定值C．为定值 D．为定值【答案】C【分析】设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程可得，利用直线方程可得，，则可求得，，，的值，从而可得答案.【详解】解：由题可设直线的方程为，，由得，所以，则方程，令，得，所以，同理，所以，，，，则只有为定值.故选：C． 三、解答题17．已知直线.(1)若直线与直线垂直，且过点1，1，求直线l2的方程.(2)若直线与直线平行，求直线与的距离；【答案】(1)(2) 【分析】（1）由直线与直线垂直，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由直线与直线平行，求得，得到，结合两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】（1）解：由直线，可得，因为直线与直线垂直，所以，可得，又因为直线过点，可直线的方程为，即，所以直线的方程为.（2）解：因为直线与直线平行，可得，解得，即直线与直线，即，又由直线，可化为，所以直线与的距离，即直线与的距离.18．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，记外接圆为圆．(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在；点有两个. 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据三点均在圆上，列出方程组，即可求得圆方程；（2）根据题意，设出点的坐标，根据点满足的条件以及点在圆上，将问题转化为直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】（1）设外接圆的方程为，将代入上述方程得：，解得则圆的方程为.（2）设点的坐标为，因为，所以，化简得：.因为圆的圆心到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个．19．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？【答案】(1)；(2)米. 【分析】（1）设出抛物线方程，根据点在抛物线上，代入即可求出抛物线方程；（2）设车辆高为h米，根据点在抛物线上，求出的值，从而可求出限制高度.【详解】（1）根据题意，设该抛物线的方程为，由图可知点在抛物线上，所以，即，所以该抛物线的方程为.（2）设车辆高为h米，则，故，代入方程，解得，所以车辆通过隧道的限制高度为米.20．我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示．(1)求“异型”曲线的方程；(2)若，为“异数”曲线上的点，求的最小值；(3)若直线与“异形”曲线有两个公共点，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质，及其焦距，可列出式子，求出，从而可求出和的方程，进而可求出曲线的方程；（2）设，分和两种情况，分别求出的表达式，进而求出两种情况的最小值，比较二者大小，可得出答案.（3）分、和三种情况，分别讨论直线与、的交点情况，可求出时，满足题意的的取值范围，再结合“异型”曲线的图象关于轴对称，可求出时，满足题意的的取值范围；【详解】（1）由题意，可知满足，解得，∴，，∴“异型”曲线的方程为.（2）设，则当时，，∵，，∴当时，；当时，，当时，.∵，∴.（3）直线与“异型”曲线有公共点.联立，解得或，即、有公共点、.①当时，直线，与无公共点，与有唯一公共点，不符合题意；②当时，可知，易知直线与有两个公共点，又∵的渐近线为，且中，∴与无公共点.∴当时，直线与“异型”曲线有两个公共点，符合题意；③当时，可知，则直线与只有一个公共点.联立，得，易知，若，解得，∵，∴，此时与相切于第一象限，只有一个公共点；若，解得，∵，∴，易知与在第一象限有两个交点.∴时，直线与“异型”曲线有两个公共点.根据“异型”曲线的图象关于轴对称，可知当时，也满足直线与“异型”曲线有两个公共点.综上所述，的取值范围是：.【点睛】关键点睛：本题第2问的关键在于分和讨论，利用二次函数的最值，求出各自的最小值，然后进行比较，再取最终的最小值，第3问的关键在于利用图象的对称性分，和进行讨论，要注意直线与渐进线平行是一个交点个数的分界位置，同时不忘直线与曲线相切时的情况.21．已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）存在，；（3）证明见解析．【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点列方程求解a、b，从而求得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，，联立直线方程与椭圆方程可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式用k表示出线段的中点，，根据所给等式可证明直线为直线的垂直平分线，则可得直线的方程，求出点N的横坐标从而可求得n的范围；（3）联立直线AB的方程与椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设，，，，，，根据韦达定理求出、，求出直线AE的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.【详解】（1）椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，且经过点，，解得，椭圆的方程为：．（2）设直线的方程为：，，代入，得：，恒成立．设，，，，线段的中点为，，则，，由，得：，直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，令得：点的横坐标，，，．线段上存在点，使得，其中．（3）证明：设直线的方程为：，，代入，得：，过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，由，得：，设，，，，，，则，，则直线的方程为，令得：．直线过定点．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度较大，考查知识间的联系与综合，着重考查考生运用圆锥曲线的知识进行逻辑推理的能力. 1.参数法 圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题，那么设参数就有两种情况，第一种是设点的坐标，第二种是设直线的斜率. 2.由特殊到一般法 如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.