2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期12月月考数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期12月月考数学试题(解析版),共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1.已知正四面体的各棱长为1,点是的中点,则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】把表示为,然后再求数量积.【详解】由题意,四面体是正四面体,每个面都是正三角形,∴.故选:A.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是把表示为,然后计算即可.2.如图,在三棱锥中,点,分别是,的中点,点满足,若,则( )A.B.C.D.【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】在三棱锥中,点,分别是,的中点,点满足,若,则,故选:B3.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由,借助模长公式能求出的长.【详解】,,.故选:A4.如图,在三棱锥中,,,,则异面直线OB与AC所成的角是( )A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【分析】由异面直线的向量求法求解即可【详解】∵,,∴.∵,,∴.又∵,∴,∴,又异面直线所成角的取值范围∴异面直线OB与AC所成的角为60°.故选:B5.在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】以点P为坐标原点,以,,方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.【详解】以点P为坐标原点,以,,方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,令,则,,,,则,,设异面直线PN和BM所成角为,则.故选:B.6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为 ( )A. B. C. D.【答案】B【分析】求出点关于直线的对称点的坐标,数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为,利用平面内两点间的距离公式可求得结果.【详解】点关于直线的对称点为,如下图所示:在直线上任取一点,由对称性可知,所以,,当且仅当点为线段与直线的交点时,等号成立,故“将军饮马”的最短总路程为.故选:B.7.平面直角坐标系中,已知,在两坐标轴上分别有动点、,且,是的中点,则长度的最小值是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】求出点的轨迹方程为,利用圆的几何性质可得出,即可得解.【详解】不妨设点、分别在、轴上,设点,则、,所以,,化简得,即点的轨迹为圆,该圆的半径为,由圆的几何性质可得.故选:D.8.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】分析曲线的形状,在同一坐标系内作出直线与曲线,利用数形结合方法求解作答.【详解】方程是恒过定点,斜率为k的直线,曲线,即,是圆心为,半径在直线及右侧的半圆,半圆弧端点,在同一坐标系内作出直线与半圆C:,如图,当直线与半圆C相切时,由得切线PT的斜率,当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点,包含直线PA,不包含直线PT,旋转到其它位置都没有两个公共点,直线PA的斜率,所以直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是.故选:A 二、多选题9.如图,正方体的棱长为a,以下结论正确的是( ).A.B.C.存在实数,使得D.【答案】BD【分析】以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标,结合向量的坐标运算公式,以及向量的线性运算法则,逐项判定,即可求解.【详解】以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标,如图所示,因为正方体的棱长为,可得对于A中,可得,所以,所以A错误;对于B中,可得,所以,所以B正确;对于C中,可得,所以向量与不是共线向量,所以不存在实数,使得,所以C错误;对于D中,由,所以D正确.故选:BD.10.在空间直角坐标系中,平面的法向量,直线的方向向量为,则下列说法正确的是( )A.轴一定与平面相交 B.平面一定经过点C.若,则 D.若,则【答案】AC【分析】A选项,设设轴的方向向量设为,通过计算可以得到两者一定相交;B选项直接可以作出判断;C选项通过观察发现,可以作出判断,D选项通过计算,可以得到或在平面上.【详解】不妨设轴的方向向量设为,则,故轴一定与平面相交,A正确;平面不一定经过点,B错误;因为,即,故,C正确;因为,所以,所以或在平面上,故D错误.故选:AC11.如图,平行六面体中,以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60°,且棱长均为1,则下列选项中正确的是( )A.B.C.直线与直线所成角的正该值是D.直线与平面所成角的正弦值是【答案】AB【分析】根据空间向量基本定理,将所求转化为基底进行运算即可.【详解】记,则因为,所以,故A正确;因为,故B正确;因为,,, 所以,所以,故C不正确;易知,又,所以为平面的法向量,记直线与平面所成角为,则,故D不正确.故选:AB12.已知椭圆,若P在椭圆上,、是椭圆的左、右焦点,则下列说法正确的有( )A.若,则 B.面积的最大值为C.的最大值为 D.满足是直角三角形的点有个【答案】ABC【分析】利用余弦定理可判断A选项;利用三角形的面积公式可判断B选项;利用椭圆的定义可判断C选项;利用平面向量的数量积可判断D选项.【详解】在椭圆中,,,,且,对于A选项,当时,则,由余弦定理可得,因为,所以,,A对;对于B选项,当点为椭圆的短轴顶点时,点到轴的距离最大,所以,面积的最大值为,B对;对于C选项,因为,即,所以,,C对;对于D选项,当或时,为直角三角形,此时满足条件的点有个,当为直角顶点时,设点,则,,,,所以,,,此时,满足条件的点有个,综上所述,满足是直角三角形的点有个,D错.故选:ABC. 三、填空题13.已知平行六面体的棱长均为4,,E为棱的中点,则___________.【答案】6【分析】利用空间向量基本定理,选取合适的基底表示向量,再通过平方的方法求出其模长.【详解】设,,,则,∴,∴.故答案为:614.求与直线的夹角为,且经过点的直线的直线方程可以是________.【答案】或【分析】讨论当直线的斜率不存在,检验满足题意;当直线的斜率存在,设为,由两直线的夹角公式,解方程可得,再由直线的点斜式方程可得所求方程.【详解】直线的斜率为,可得倾斜角为,当直线的斜率不存在,即倾斜角为时,满足题意,直线的方程为;当直线的斜率存在,设为,由题意可得,解得:,可得直线的方程为,即为.故答案为:或.【点睛】易错点睛:本题易忽略斜率不存在的情况,可以先画出直线,以便于判断的情况.15.直线与圆交于A、B两点,当弦AB的长度最短时,则三角形ABC的面积为________【答案】【分析】由于直线过定点,所以当时,弦AB的长度最短,然后先求出的长,再利用勾股定理可求出的长,从而可求出三角形ABC的面积【详解】因为直线恒过定点,圆的圆心,半径为,所以当时,弦AB的长度最短,因为,所以,所以三角形ABC的面积为,故答案为:16.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为的圆,圆心到伞柄底端距离为,阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,北京的阳光与地面夹角为),若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为______________.【答案】##【分析】根据左焦点到右顶点距离可得;在中,利用正弦定理可求得,由此可得,进而求得离心率.【详解】如图所示,伞柄底端应该位于椭圆的左焦点,且左焦点到右顶点的距离为,即;在中,由正弦定理得:,,,该椭圆的离心率为.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题考查椭圆离心率的求解,解题关键是能够提炼出基本图形,结合正弦定理可求得椭圆的,由此可得离心率. 四、解答题17.已知直线,直线过点,且于点.(1)求直线的方程;(2)若直线与轴相交于点,求△外接圆的方程.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用直线,而直线,可直接求出l的斜率,再由点斜式,求出l的方程;(2)先求出B的坐标,根据AH⊥BH,得到AB为所求圆的直径,从而求出圆的方程.【详解】解:(1)直线的斜率,由题意 的斜率 又过点,的方程为即(2)中令得, 故 于, 所以是外接圆的直径 ,的中点坐标为 外接圆方程为【点睛】待定系数法可以求曲线方程的标准方程,是最常用的方法;18.如图,三棱柱中,M,N分别是上的点,且.设,,.(1)试用,,表示向量;(2)若,求MN的长.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用空间向量的线性运算即可求解.(2)根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】(1)解:, ∴;(2)解:,,,,, 即MN的长为.19.如图所示,已知椭圆的两焦点为,,为椭圆上一点,且(1)求椭圆的标准方程;(2)若点在第二象限,,求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据,求出,结合焦点坐标求出,从而可求,即可得出椭圆方程;(2)直线方程与椭圆方程联立,可得的坐标,利用三角形的面积公式,可求△的面积.【详解】(1)解:依题意得,又,,,,.所求椭圆的方程为.(2)解:设点坐标为,,所在直线的方程为,即.解方程组,并注意到,,可得.20.如图,棱长为2的正方体中,E,F分别是,DB的中点,G在棱CD上,且,H是的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:(1)求异面直线EF和所成角的余弦值;(2)求FH的长.【答案】(1);(2). 【分析】(1)利用坐标法,利用向量的夹角公式即得;(2)利用向量的模长公式即得.【详解】(1)如图,以为原点,,,分别为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,可得,,所以,,而,所以即异面直线EF和所成角的余弦值为;(2)因为是的中点,所以,又因为,所以,,即.21.已知直线l:与圆C:交于A,B两点,过点的直线m与圆C交于M,N两点.(1)若直线m垂直平分弦AB,求实数a的值;(2)若,求以MN为直径的圆的方程;(3)已知点,在直线SC上为圆心,存在定点异于点,满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点T的坐标及该常数.【答案】(1);(2);(3)在直线上存在定点使得为常数.【分析】(1)化简圆的方程为标准方程,求出圆的半径,根据圆的性质进行求解实数的值即可;(2)根据圆的垂径定理,结合勾股定理、圆的标准方程进行求解即可;(3)设直线上的点,取直线与圆的交点,则,取直线与圆的交点,则,然后求解存在这样的定点,进而求证结论.【详解】(1)依题意,圆C方程变形为,圆心,半径又直线l的方程即为,因为垂直平分弦,圆心必在直线上过点和,斜率,;(2)设垂直于的弦长为,,由圆的垂径定理和勾股定理可得:,所以,因此是MN的中点,所以以MN为直径的圆就是以为圆心,2为半径的圆,方程为:;(3)设直线上的点取直线与圆的交点,则取直线与圆的交点,则.令,解得或(舍去,与重合),此时若存在这样的定点满足题意,则必为证明如下:点满足题意.设圆上任意一点,则,综上可知,在直线上存在定点使得为常数.【点睛】关键点睛:应用圆的垂径定理,通过熟练的数学运算是解题的关键.22.已知椭圆的左、右焦点分别为, 离心率为为上一点,为坐标原点,轴,且.(1)求的标准方程;(2)若直线与交于两点,过点作直线的垂线,垂足为,当直线与轴的交点为定点时,求的值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用待定系数法求出椭圆的方程;(2)设可得直线AD的方程令x=0,求出y,再根据韦达定理结合直线过定点可求出t的值.【详解】(1)由题意可知,点P的坐标为,则,解得,所以所求的椭圆C的标准方程为.(2)设,联立方程,消去y得:.所以.由题意得.所以直线AD的方程为:.令得:因为直线AD与y轴的交点为定点Q,所以,即,解得:.即当直线AD与y轴的交点为定点时,t的值为.
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