2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高二上学期1月学情检测数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高二上学期1月学情检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高二上学期1月学情检测数学试题 一、单选题1．过点和点的直线在上的截距为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】求出直线AB的方程，解出直线在上的截距【详解】过点和点的直线方程为即，故直线在上的截距为1，故选：A2．在等差数列中，若，，则（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根据等差数列通项公式列方程组即可求得.【详解】设等差数列的公差为d,,解得：.故选：B3．抛物线的焦点坐标，则（    ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由抛物线的标准方程求焦点坐标，可解得答案.【详解】，解得：p=2.故选：D4．已知，则（    ）A． B． C． D．4【答案】C【分析】由题意可知，，利用导数的四则运算即可求出，代入数值即可求得结果.【详解】因为，所以，所以．故选：C．5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，则最大一份与最小一份和为（    ）A．30 B．35 C．40 D．60【答案】C【分析】设5人所得面包个数依次为，由等差数列的前项和公式可得．【详解】设5人所得面包个数依次为，它们成等差数列，由题意，，故选：C．6．函数的增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性，注意原函数的定义域.【详解】由题意可知：函数的定义域为，∵，令，则，解得或，且，∴函数的增区间是.故选：D.7．乒乓球(Table Tennis)，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育比赛项目．假设一个质量合格的乒乓球，从1 m高的高度自由下落，每次下落后反弹的高度都是原来高度的．则至少经过几次着地后，它经过的路程能超过500 cm．（    ）（参考数据：，）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】第一次着地后，小球每次着地经过的路程成等比数列，求和得总路程，建立不等式，两边取对数得的范围.【详解】经过次着地后，经过的路程 ，.故选：C8．已知圆，点在圆C上，点A，直线AP与圆C的另一交点为Q，且Q为AP的中点，则直线AP的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设出点的坐标，利用中点坐标表示点的坐标，分别将，代入到圆的方程，可以解出，坐标，再利用两点求斜率即可得出结果.【详解】设点的坐标为，因为是中点，所以，又因为，均在圆上，所以代入得，解得或，即，或，，则直线AP的斜率或，故选：D 二、多选题9．已知数列，其前项和为．则下列结论正确的是 （    ）A．若数列是等差数列，则是等差数列B．若数列是等比数列，则是等比数列C．若数列是等差数列，则是等差数列D．若数列是等比数列，则是等比数列【答案】AC【分析】根据等差数列的定义等差中项的性质判断AC，结合等比数列的定义举例说明判断BD．【详解】对于A，若数列是等差数列，设公差为，则为常数，因此是等差数列，A正确；对于C，，，，显然有，，…，，所以，即是等差数列，C正确；对于B，，则是等比数列，但，不是等比数列，B错误，对于D，，当，，，，则不是等比数列，D错误．故选：AC．10．下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】对于A，取进行验证；对于B，令，利用导数求出的最小值即可判断；对于C，令，利用导数求出的最大值即可判断；对于D，令，利用导数得在上单调递增，又，从而得当时，，即可判断.【详解】解：对于A，当时，，此时，故错误；对于B，令，则有令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，所以，所以，故正确；对于C，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，即，故正确；对于D，令，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，故错误.故选：BC.11．已知数列的前项和为，若首项，且满足，则下列说法正确的是（    ）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．【答案】ACD【分析】根据等比数列的定义结合条件可判断AC，根据数列的前3项可判断B，根据等比数列的求和公式可判断D.【详解】因为，且满足，所以，，所以，又，所以是首项为6，公比为2的等比数列，故A正确；由，，可得，，所以，，所以不是等比数列，故B错误；由，可得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：ACD.12．双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ）A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1C．取值范围是 D．【答案】ACD【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知的长度的范围，利用内角平分线定理与双曲线定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得.【详解】设，又，，，即，又是双曲线上一点，∴，即，故A正确；∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误；根据内角平分线定理可知，，又，∴，故C正确；同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，∴，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____．【答案】3【分析】根据导数的几何意义结合条件即得.【详解】由，可得，所以，由题意知，，所以.故答案为：3.14．双曲线的离心率，则实数k的取值范围是__________.【答案】【分析】由已知可得，再由，解不等式可得k的取值范围【详解】双曲线方程可变形为，则.又因为，即，解得.故答案为：【点睛】此题考查由双曲线的离心率的范围求参数的取值范围，属于基础题15．设等比数列的前项积为，若，则______．【答案】27【分析】根据等比数列的性质可得，进而，即得.【详解】设的公比为，因为，所以，.故答案为：27.16．设曲线（），直线及（）围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【分析】利用定积分可得，在对函数求导即可求解.【详解】因为曲线（），直线及（）围成封闭图形的面积为为.所以.故答案为：. 四、解答题17．已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上的点满足，求点的坐标．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程．（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值．【详解】（1）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，因为，，所以，即，又因为c=2，所以，又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以该椭圆的标准方程为.（2）设，因为，所以，即，又，所以，即.所以18．已知函数，，且．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求导，利用可求出，进而可求出，根据点斜式可得切线方程；（2）根据导函数研究函数的单调性，根据单调性可得最大值.【详解】（1）由得，，解得，曲线在点处的切线方程为，即；（2）由（1），令得或，令得，函数在上单调递减，在上单调递增，又，函数在区间上的最大值为19．设是等差数列的前项和，．(1)证明：数列是等差数列；(2)当，，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，写出其前n项和得到，然后根据等差数列的定义即得； （2）由，，求得，进而得到，然后利用错位相减法即得.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，所以，则 ，所以 ， ，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；（2）由，，得，解得，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以，，所以，，所以所以.20．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：()与直线：()相交于A，B两点．(1)若以AB为直径的圆过原点，证明：；(2)若线段AB中点的横坐标为4，且抛物线C的焦点到直线的距离为，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）设，直线方程与抛物线方程联立消去，由韦达定理得，代入可证得结论；（2）由得的一个方程，再由点到直线距离公式得的一个方程，联立解之可得．【详解】（1）设，由得，则，，以AB为直径的圆过原点，则，斜率显然存在，因此，所以，即，所以，又，所以；（2）由（1），抛物线的焦点坐标为，因此，即，由，又，解得．21．如图所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状是四棱锥，四边形是正方形，点为正方形的中心，平面；下部的形状是长方体．已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与高度成正比，比例系数为．现欲建造一个上、下总高度为12 m，m的仓库．(1)①若屋顶的高，请将总造价表示为x的函数；②若屋顶侧面与底面所成二面角角为，请将总造价表示为的函数；(2)选择（1）中的一个方案，求出总造价的最小值．【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）①求出得出上部屋顶造价，由得出下部主体造价，进而得出总造价；②由二面角的定义结合直角三角形的边角关系得出总造价；（2）选择①：令，利用导数得出总造价的最小值；选择②：令，由导数得出总造价的最小值.【详解】（1）①由题意可知，，则.所以，故上部屋顶造价为.因为，所以下部主体造价为.故总造价为.②如图，设的中点为，连接，则.由于平面，则有；在中，由二面角的定义可知则，则有，，所以上部屋顶面积为，下部主体的高度为，所以仓库的总造价为.（2）选择①：总造价为，令，.当时，；当时，.即函数在上单调递减，在上单调递增.故总造价取最小值为.选择②：设，所以.令，得，令，，则则当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，有最小值，此时总造价取最小值为22．已知函数（）．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．【答案】(1)见解析.(2)见解析. 【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可.（2）根据不单调，令，令，，求出的单调性，得到，从而证出结论.【详解】（1）函数的定义域为：当时，，的单调递增区间为当时，当时，，的单调递增区间为；           当时，，的单调递减区间为；综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为方程存在两个不同的实数解，因此不为单调函数，所以，令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，，令，， ， 在上单调递增，且，当时，， ，， ， 的单调递增区间为，、，.