2022-2023学年安徽省皖南十校高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年安徽省皖南十校高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．若“ ”是“ ”的必要条件，则的一个值可以是（    ）

A．0 B．2

C．4 D．16

【答案】B

【分析】根据命题的必要性可知可推出,即可求出的一个值

【详解】解:由“ ”和“ ”能得出“”，

所以满足条件,选项B正确.

故选:B

【点睛】本题考查根据命题的必要条件求参数,是基础题.

2．下列求导运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本函数求导法则和复合函数求导法则计算出答案

【详解】，A错误；

，B错误；

，C错误；

，D正确.

故选：D

3．设，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】试题分析：,对应的点为,在第四象限

【解析】复数运算及其相关概念

4．方程表示的图形经过点，，， 中的（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】本题先根据，排除，两点，再将，两点代入满足方程，即可判断选项.

【详解】由方程，可知，两点不符合题意；对于点，，则有；对于点，．

故选：C．

【点睛】本题考查方程的图象过点的问题，是基础题.

5．已知命题：对任意，总有；：若，则.则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断命题，命题的真假，在判断选项的真假

【详解】由

所以命题为真命题

令，则，但是

所以命题为假命题

故为真

故选：B.

6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下列说法正确的个数为（    ）

①函数在区间内是增加的；

②函数在处取得极大值；

③函数在处取得极大值；

④函数在处取得极小值.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析导数的符号变化，利用导数与函数单调性的关系可判断①；利用导数与函数极值点的关系可判断②③④.

【详解】对于①，当时，，则，故函数在区间内是增加的，①对；

对于②，当时，，则，

当时，，则，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

故函数在处取得大值，②对；

对于③，由②可知，函数在上单调递减，所以，函数不在处取得极大值，③错；

对于④，当时，，则，则在上单调递减，

又因为函数在上单调递增，所以，函数在处取得极小值，④对.

故选：C.

7．若，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据复数运算法则求解即可.

【详解】．故选D．

【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．

8．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．

【详解】则．故选C．

【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．

9．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将图形置于直角坐标系中，结合奇偶性和单调性即可得结果.

【详解】将图形置于直角坐标系中，如图所示：

由图易知该函数为偶函数，

对于选项B，满足，即为奇函数，故可排除；

对于选项D，满足，即为非奇非偶函数，故可排除；

对于选项C， ，

令，所以在恒成立，

所以在单调递增，

所以在恒成立，

即在单调递增，故排除；

故选：A.

10．已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,

∴a=,c=2.

又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,

∴|PF1|=4,|PF2|=2.

又∵|F1F2|=2c=4,

∴由余弦定理得cos∠F1PF2==.

故选C.

11．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用抛物线定义得到即为点P到点的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和，连接，最小值为，求出答案.

【详解】设抛物线的焦点坐标为，则点P到该抛物线的准线的距离等于的长，

即为点P到点的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和，

连接交抛物线于点，此点即为点P到点的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值，故最小值为，

其中.

故选：A

12．已知函数，若在区间内恒成立，则实数的取值范围是.

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵，在内恒成立，∴在内恒成立，设，∴时，，即在上是单调递减的，∴，∴，即的取值范围是，故选D.

点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.

二、填空题

13．中心在坐标原点，焦点在x轴上且焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为__________.

【答案】＋＝1

【分析】先求出c，再根据离心率求出a,最后利用的关系求出b2，即可求出椭圆的标准方程.

【详解】由焦点在x轴上且焦距是8，可得，

由离心率等于可得，解得，

所以，

所以，椭圆的标准方程为＋＝1.

故答案为：＋＝1.

14．函数在其极值点处的切线方程为____________.

【答案】

【详解】，令，此时

函数在其极值点处的切线方程为

【解析】：导数的几何意义.

15．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件．

【答案】9

【详解】由得，

由得（舍去），，

当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，

所以当时，函数有最大值为（万元），

使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件.

故答案为：9.

16．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

【答案】

【详解】由已知，点P(－c，y)在椭圆上，且在第二象限，代入椭圆方程，得.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是.

答案：

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)递增区间为，；递减区间为

(2)最大值为59，最小值为-49

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.

【详解】（1）的定义域为R，且，

令得，令得，

所以递增区间为，，递减区间；

（2）

所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.

18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.

【答案】（1） （2）

【分析】（1）根据椭圆的性质得出方程即可；

（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出，将点代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程.

【详解】解：（1）由题意知，，

所以，，所以

又因为椭圆C的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为

（2）双曲线E的标准方程为

由题可知双曲线E的焦点坐标为，，所以

又双曲线E过点，所以，解得，

所以双曲线E的标准方程为

【点睛】本题主要考查了由求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题.

19．已知函数.

(1)求该函数在点处的切线方程；

(2)证明：当时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

（2）令，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则，

所以，，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即.

（2）解：令，则，

当时，，则函数在上为减函数，

故当时，，则.

20．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上横坐标为4，且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5，过作垂直于轴于点，线段的中点为.

(1)求此抛物线的方程；

(2)已知，以点为圆心，为半径作圆，试判断直线与圆的位置关系并说明理由.

【答案】(1)

(2)相离，理由见解析

【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，即可求得抛物线的方程；

（2）先求出直线的方程，结合圆心 到直线的距离，判断出，从而可知直线与圆相离.

【详解】（1）因为是抛物线上横坐标为 4 、且位于 轴上方的点, 到抛物线准线的距离等于 5 , 所以 , 所以 ,

所以抛物线方程为: .

（2）由题意得,，点的坐标为，点的坐标为,圆的圆心是点, 半径为2 .

所以直线的方程为 ,即为 ，

圆心 到直线的距离 ,

故直线与圆相离;

21．设分别是椭圆的左、右焦点，M，N分别为其短轴的两个端点，且四边形的周长为4，设过的直线与E相交于A，B两点，且.

(1)求的最大值；

(2)若直线的倾斜角为，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的定义、求出，再由基本不等式可得答案；

（2）设l的方程为，代入椭圆方程，设，，由韦达定理代入，可求出、以及l的方程，再利用点到直线的距离公式可得到l的距离，由三角形面积公式可得答案.

【详解】（1）四边形为菱形，周长为4，

由椭圆的定义可知，∴a=1，

，，

，

，

当且仅当时，等号成立，即的最大值为；

（2）直线l的倾斜角为，可设l的方程为，其中，

由（1）知椭圆的方程为，

直线方程代入椭圆方程，化简可得，

设，，则，，

， ，

，，

l的方程为

到l的距离，

.

22．已知函数.

(1)求证：在区间上函数的图象在函数图象的下方；

(2)请你构造函数，使函数在定义域上，存在两个极值点，并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析

(2)，证明见解析(答案不唯一)

【分析】（1）原命题等价于证明：对任意的，，然后令，，利用导数分析函数的单调性，结合函数在上的单调性可证得结论成立；

（2）取，求出函数的解析式，利用导数分析函数的单调性与极值点，可得出结论.

【详解】（1）证明：由题意可知，即证：对任意的，，

令，其中，

所以，，

所以，函数在上单调递增，

当时，，

所以，对任意的，.

因此，在区间上函数的图象在函数图象的下方.

（2）解：令（注：，即可），

则，其中，

，

令，得或，列表如下：

所以，函数存在两个极值点，且分别为、.