2022-2023学年北京市石景山区高二上学期数学期末试题（解析版）

2022-2023学年北京市石景山区高二上学期数学期末试题

一、单选题

1．已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果.

【详解】由斜率的定义可知，直线l的斜率

,

即直线l的斜率为.

故选：A.

2．双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（    ）

A．5 B．6 C．9 D．11

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义可求解.

【详解】设双曲线的实轴长为，则，

由双曲线的定义知，

，

故选：D

3．若，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得.

【详解】因为，

所以.

故选：C

4．在复平面内，复数对应的点Z如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图示及复数的几何意义可得复数，代入计算即可得结果.

【详解】根据图示可知，复数，

根据复数的除法运算可得；

故选：A.

5．已知圆的方程是，圆的方程是，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内含

【答案】B

【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项.

【详解】即，

所以圆的圆心为，半径.

,

所以圆的圆心为，半径.

，

所以两圆外切.

故选：B

6．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据可得与共线，由向量的坐标表示可得答案.

【详解】若，则，

即，解得，且，即.

故选：C.

7．如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解．

【详解】依题意得，，则

设，则

，取则，所以

故选：D

8．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A、B两点，若直线经过抛物线的焦点，则（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据抛物线的对称性可知A、B两点关于轴对称，直线经过抛物线的焦点即可得出的值.

【详解】由题意可知，直线和关于轴对称；

抛物线关于轴对称，焦点坐标，如下图所示：

直线经过抛物线的焦点，且轴，

所以，代入抛物线方程得，解得；

又，所以.

故选：C.

9．设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率e的取值范围.

【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，

又因为，且渐近线的斜率小于，即；

所以，椭圆的离心率

即离心率e的取值范围是.

故选：B

10．在直四棱柱中，底面为直角梯形，，点M在该四棱柱表面上运动，且满足平面平面．当线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线与底面所成的角，即可求得其正弦值.

【详解】根据几何体特征，四棱柱是直四棱柱，

所以平面，平面，所以，

要满足平面平面，作于，延长交于，交的延长线于，

作交于，连接，如下图所示；

又因为，所以平面，即平面

而平面，所以平面平面，

又因为点M在该四棱柱表面上运动，所以点M的轨迹是线段；

又因为底面为直角梯形，，

所以，即，得，所以；

又，所以，即为线段的中点，

，所以，

易知，当线段的长度取到最大值时，点于点重合，

此时，即为直线与底面所成的角，

，，

所以，线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找出线面角即可求得结果.

二、填空题

11．复数的模长_________．

【答案】

【分析】直接利用复数模的计算公式即可求出模长

【详解】解：由题意

在复数中，

模长：

故答案为：.

12．正方体的棱长是1，则点到平面的距离为_________．

【答案】

【分析】连接交于.判断出点到平面的距离即为，即可求得.

【详解】在正方体中，有正方体的结构可知：面面且面面.

连接交于.

因为为正方形，所以，所以面.

所以点到平面的距离即为.

在正方形中，，所以，所以.

故答案为：.

13．已知直线．若，则实数_________．

【答案】

【分析】根据两直线平行列方程，从而求得的值.

【详解】由于，所以，解得或.

当时，，符合.

当时，，两直线重合，不符合.

所以的值为.

故答案为：

14．在中，和．则的外接圆方程为_________．

【答案】

【分析】设出的外接圆方程，代入点列方程组求解即可.

【详解】设的外接圆方程为，

则，解得，

故的外接圆方程为

故答案为：

15．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，点A是圆上的一个动点，点B在射线上，且，当点A在圆O上运动时点B的轨迹记作曲线C．对于曲线C，有下列四个结论：

①曲线C是轴对称图形；

②点为曲线C的对称中心；

③曲线C与y轴有2个交点；

④曲线C上的点到点M的距离最大值为4．

其中所有正确结论的序号是_________．

【答案】①③④

【分析】根据题意可知，三点共线，且，根据曲线与方程的求法，可得曲线C满足方程，利用其几何特征进行逐一判断即可得出结论.

【详解】根据题意可知，两点的最大距离为3，又

所以在M点的两侧，所以；

设，则；

所以，即

即曲线C满足方程；

显然，点和都在该曲线上，所以曲线C关于轴对称，是轴对称图形，即①正确；

由题意可知只有当在轴上时，才和轴有交点；

在轴上有两个可能的点，所以曲线C与y轴有2个交点，即③正确；

当为时，曲线C和轴交点坐标为；当为时，曲线C和轴交点坐标为；

显然，和不关于点中心对称，所以②错误；

根据曲线C的方程可知，

当时，曲线C上的点到点M的距离最大，其值为，即④正确；

故答案为：①③④

三、解答题

16．在中，边上的高所在的直线方程为边所在直线方程为．求点A和点C的坐标．

【答案】，

【分析】边上的高线与联立可求点的坐标，根据边上的高线可得的斜率，就能求出的方程，然后与联立求出点的坐标.

【详解】设边上的高线为，则直线联立可得点的坐标，即

即

又，所以的方程为，即

直线联立可得点的坐标，即，即

故，.

17．如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）首先求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值.

【详解】（1）连接，如下图所示，

由于是直三棱柱，易知，

又因为，且，

所以平面

M、N分别是的中点，所以，因此平面；

又平面，所以；

易知，所以，

满足，由勾股定理可知，，

又因为，所以平面，

又平面，

所以，.

（2）由（1）可知，两两垂直，

以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易得，

；

设平面的一个法向量为，

则，令得，，即；

设直线与平面所成的角为，

所以；

即直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）知，平面的一个法向量为，

易知，平面的一个法向量为，

设平面与平面所成的角（锐角）为，

所以，；

所以，平面与平面所成角的余弦值为.

18．已知椭圆C的两个焦点分别为和，点在椭圆上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用焦点和椭圆上的点列方程组求解即可；

（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式计算线段的长度．

【详解】（1）设椭圆C的方程为，

则，解得，

故椭圆C的方程为；

（2）过点作倾斜角为的直线l的方程为，设

联立，消去得，

，

19．如图1，在中，是直角，，是斜边的中点，分别是的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示．

(1)求证：平面；

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角的余弦值为时．求的值．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：.可以证明出两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.选条件②：.先证明出两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.

【详解】（1）在中，因为分别是的中点，所以.

因为面,面,

所以平面.

（2）在中，是直角，，P是斜边的中点，所以，即.

选条件①：.

因为，，,面,面,

所以面.

又，可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.

在中，是直角，，P是斜边的中点，所以.

所以，，.

因为分别是的中点，所以，，所以，.

因为点是线段上的动点，所以可设,所以.

不妨设为平面的一个法向量，则，设，则.

显然为面的一个法向量.

所以二面角的余弦值为.

由题意可得：，

解得：.

所以.

选条件②：.

在中，是直角，，P是斜边的中点，所以..

因为，所以，所以.

所以可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.则，，.

因为分别是的中点，所以，，所以，.

因为点是线段上的动点，所以可设,所以.

不妨设为平面的一个法向量，则，设，则.

显然为面的一个法向量.

所以二面角的余弦值为.

由题意可得：，

解得：.

所以.

20．已知椭圆的一个焦点为，且经过点和．

(1)求椭圆C的方程；

(2)O为坐标原点，设，点P为椭圆C上不同于M、N的一点，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点B，求证：和面积相等．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得标准方程；（2）设出点P的坐标，即可表示出两点坐标，再写出和的面积公式，再利用点P在椭圆上即可证明等式成立，得出和面积相等的结论.

【详解】（1）由题意可知，椭圆的半焦距，

将代入椭圆方程得，即，

所以，

椭圆C的方程为.

（2）根据题意，设，

又，，如下图所示，

则直线、的斜率均存在，且；

所以，直线方程为

又直线与直线交于点A，所以

又因为，可得；

所以，的面积为

同理，直线方程为

直线与x轴交于点B，易得，则

所以，的面积为

要证明和面积相等，即证明成立即可，

整理得，由点P在椭圆C上可知，，

即，得，

即显然成立；

所以和面积相等.