2022-2023学年甘肃省兰州市第六十四中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市第六十四中学高二上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省兰州市第六十四中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．等差数列中，，，则等于（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等差数列的性质，，即可得出结果.【详解】解：由等差数列的性质，可得，所以.故选：A.2．在等比数列中，，则A． B． C． D．【答案】B【详解】等比数列的性质可知,故选.3．等比数列{an}的各项都是正数，若＝81，＝16，则它的前5项的和是（    ）A．179 B．211C．243 D．275【答案】B【分析】设公比为，根据＝81，＝16，求得公比，再根据等比数列前n项和的公式即可的解.【详解】解：设公比为，因为＝81，＝16，所以q4＝，且q>0，∴q＝，∴S5＝＝＝211.故选：B.4．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．故选：A．5．圆 与直线 的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系【详解】圆心为，半径圆心到直线的距离为所以直线与圆相离故选：C【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．6．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.故选：C.7．直线被圆所截得的弦长为（    ）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，所以点到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为.故选：A.8．已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出和，再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.【详解】因点P在椭圆上，则，又，于是得，，而，当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”，即，解得，所以，椭圆的离心率取值范围是.故选：D.9．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 二、多选题10．给出下列几个问题，其中是组合问题的是（    ）A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数【答案】AB【分析】根据组合的定义判断可得选项.【详解】解：A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选：AB.11．关于抛物线，下列说法正确的是（    ）A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴【答案】AD【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；对选项B，，焦点为，故B错误；对选项C，，准线方程为，故C错误；对选项D，，对称轴为轴，故D正确.故选：AD12．已知双曲线，（    ）A．B．若的顶点坐标为，则C．的焦点坐标为D．若，则的渐近线方程为【答案】BD【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B正确，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.【详解】A项：因为方程表示双曲线，所以，解得或，A错误；B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B正确；C项：当时，，当时，，C错误；D项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D正确，故选：BD. 三、填空题13．数列的前项和为，则它的通项公式为________.【答案】【详解】由数列的前项和为，当时，，当时，，当时上式不成立，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.14．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）【答案】【分析】根据展开式的通项公式即得.【详解】因为的展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式中常数项为，故答案为：.15．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，两点，若线段的中点的横坐标为2，则_________.【答案】【分析】利用中点坐标公式和焦点弦弦长公式即可得出．【详解】解：由抛物线可得．设，．线段的中点的横坐标为，．直线过焦点，．故答案为：．16．已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_______．【答案】【解析】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．【详解】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|∴要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，只有当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，此时P纵坐标为2，则横坐标为2故答案为：  【点睛】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题． 四、解答题17．求满足下列条件的直线方程：(1)过点，与直线平行；(2)过点，与直线垂直．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由直线的斜率为，利用直线平行可得所求直线的斜率，由点斜式可得结果；（2）由直线的斜率为，利用直线垂直可得所求直线的斜率，由点斜式可得结果.【详解】（1）因为直线的斜率为，所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率是，                     因为所求直线过点，所以所求的直线方程是，即；（2）因为直线的斜率为，所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率是， 因为所求直线过点，所以直线方程为，即.18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程．(1)经过点，两点的椭圆；(2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线；(3)准线为的抛物线．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程，（2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入方程，进而即得；（3）由题可设，结合条件即得.【详解】（1）因为椭圆经过点，，所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，可设方程为，所以，，所以椭圆的标准方程为；（2）因为双曲线的焦点为，可设双曲线的方程为，且，将点代入曲线方程可得，解得,所以双曲线的标准方程为；（3）由题可知抛物线焦点在轴正半轴，可设抛物线方程为，所以，即，所以抛物线的方程为.19．现有8个人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】(1)5040(2)4320(3)21600(4)20160(5)14400(6)2880 【分析】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；（4）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法；（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；（6）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法．20．已知等差数列满足：，．的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，，所以，所以，即数列的前项和.【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和21．求和：.【答案】【分析】设，结合乘公比错位相减求和，即可求解.【详解】设，则，两式相减得，所以.22．已知为椭圆内一定点，经过P引一条弦AB，使弦AB被P点平分，求弦AB所在的直线方程及弦长．【答案】；弦长为.【分析】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的方程，然后联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式即得.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，由于点为弦的中点，则，得，由题意得，两式相减得，所以，直线的斜率为，所以，弦所在的直线方程为，即；由，可得，所以，所以.