2022-2023学年甘肃省庆阳市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省庆阳市高二上学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省庆阳市高二上学期期末考试数学试题 一、单选题1．（    ）A．10 B．5 C．20 D．4【答案】B【分析】用排列数公式展开即可求得.【详解】．故选：B2．直线与平行，则（    ）A．－2 B．2 C．6或－1 D．3【答案】B【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果.【详解】由题可知，直线与平行，所以，得；经验证，符合题意．故选：B3．现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里.【详解】先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为．故选：A4．等比数列的前n项和为，则（    ）A．－2 B．2 C．－1 D．－4【答案】A【分析】求出，根据等比数列的性质求出.【详解】因为为等比数列，且前n项和，根据等比数列的性质有所以．故选：A5．在的展开式中，系数为有理数的项是（    ）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果.【详解】在的展开式中，根据通项可知，时系数为有理数，即第五项为．故选：C6．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（    ）A．6 B．8 C．7 D．9【答案】D【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结果.【详解】记抛物线C的准线为，作于T，如下图所示：抛物线定义可知，，且，所以当P，Q，T三点共线时，有最小值，最小值为．故选：D7．跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（    ）A．30天 B．31天 C．32天 D．33天【答案】C【分析】根据题意可得，每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前n项和公式求解【详解】依题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．设他经过n天后完成健身计划，则，整理得，解得．故选：C.8．已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆的圆心为原点，半径为5，又圆与直线相切，则到直线的距离为，则，解得，设过且与垂直的直线为，则：， 联立，得直线l与的交点为，设圆心关于点的对称点为，由中点公式有所以圆心关于点的对称点为，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，故选：D. 二、多选题9．已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则（    ）A．C的短轴长为 B．的最大值为C．C的长轴长为6 D．C的离心率为【答案】ACD【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.【详解】由标准方程可知，，，所以，，．所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；离心率，即D正确；由椭圆性质得， 故选项B错误.故选：ACD10．下列命题为真命题的是（    ）A．展开式的常数项为20 B．被7除余1C．展开式的第二项为 D．被63除余1【答案】BCD【分析】利用二项展开式的通项及二项式定理即可求解.【详解】对于A，的展开式的通项为.令，解得，所以展开式的常数项为，故A错误；对于B，，因为都是的倍数，所以是的倍数，所以被7除余1，故B正确；对于C，的展开式的第二项为，故C正确；对于D，，因为都是的倍数，所以是63的倍数，所以被63除余1，故D正确.故选：BCD.11．用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（    ）A．个位是0的四位数共有60个 B．2与4相邻的四位数共有60个C．不含6的四位数共有100个 D．比6701大的四位数共有71个【答案】ABD【分析】对于A特殊元素法，先排零；对于B捆绑法，分零是否被选到两种情况讨论；对于C在0，1，2，4，7选排，先排首位；对于C，分别考虑首位为7，前两位为67.【详解】个位是0的四位数共有个，A正确．若不含0，则2与4相邻的四位数有个；若含0，则2与4相邻的四位数有个，故2与4相邻的四位数共有60个，B正确．不含6的四位数共有个，C错误．比6701大的四位数共有个，D正确．故选：ABD12．若直线l与抛物线有且仅有一个公共点，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为．已知抛物线上有两点．过点A，B分别作抛物线C的两条切线，直线交于点，过抛物线C上异于A，B的一点的切线分别与交于点M，N，则（    ）A．直线的方程为 B．点A，Q，B的横坐标成等差数列C． D．【答案】ACD【分析】根据已知得，结合抛物线上点的坐标关系，可判断A,B选项；根据直线方程与抛物线方程，列方程组，解出坐标，根据向量的坐标运算，可判断C,D选项；【详解】解：已知抛物线，则，抛物线上两点，过点A，B分别作抛物线C的两条切线，直线交于点，则，则由题意可知：，对于A，联立，当时，，此时直线方程为，符合，当，直线的斜率，所以直线的方程为：，因为在直线上，所以，所以直线的方程为，故A正确；对于B，因为在抛物线上，所以，则或，由A得，则或，点A，Q，B的横坐标不成等差数列，故B不正确；对于C，由A，B可得，即，点是抛物线上一点，所以，联立，同理可得所以，，，所以，故C正确；对于D，由C得，，，所以，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．若圆与圆外切，则______．【答案】16【分析】利用两圆外切则圆心距等于两圆半径之和即可.【详解】由圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径，则,由两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，即，解得，故答案为：16.14．已知等差数列单调递减，若，，则公差d的一个整数取值可以是______．【答案】－4（或－3，－2，－1，只需写出一个答案即可）【分析】根据数列单调递减可知，利用通项公式可得即可求得结果.【详解】因为，由等差数列的通项公式可得，即，又是单调递减数列，所以，故d的整数取值可以是－4，－3，－2，－1．故答案为：－415．双曲线C：上的点P到右焦点的距离为10，则P到左焦点的距离为______．【答案】18【分析】利用双曲线的定义即可得到所求距离．【详解】依题意，设C的左、右焦点分别为、，则，因为，，所以，故P在右支上，所以由双曲线的定义可得，则．故答案为：18.16．某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为______．【答案】864【分析】所有可能值班安排共有种，减去选一人连排三天、四天、五天夜班的情况得答案.【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，（1）从四人中选一人连排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；若形如□▲▲▲□排列：共有种；若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；因此，选一人连排三天夜班共有132种．（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．故满足题意的排夜班方式的种数为．故答案为：864 四、解答题17．已知．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．（A）求；（B）求；（C）设，证明：．【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】选A利用二项式展开写出所有含的项即可算出结果；选B，利用赋值法时，可得进而求得结果；选C，分别令，即可得出证明.【详解】选A  解：因为．选B  解：令，得，则．选C  证明：令，得；令，得．故．18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，．(1)求，的坐标．(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率．【答案】(1)，的坐标分别为，(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解.（2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，，故，的坐标分别为，．（2）设A，B两点的坐标分别为，，则，两式相减得．因为弦AB的中点在椭圆内，所以，所以直线l的斜率．19．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点．(1)求m的值；(2)求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据抛物线几何性质写出焦点坐标，利用直线过焦点即可算出m的值；（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理和焦点弦公式即可求得.【详解】（1）抛物线的焦点为，将焦点坐标代入直线方程得，即．（2）由（1）知，直线方程为，设联立直线与抛物线方程整理得，则，，根据抛物线焦点弦公式得，所以20．已知等差数列的首项为1，公差为．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设公差为d，利用求解d，从而得到通项公式；（2）使用错位相减求和.【详解】（1）设公差为d，由题知，解得，所以，．（2）由（1）知，则，①，②①－②可得，即．21．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．(1)若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；(2)若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．【答案】(1)(2) 【分析】(1)6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；(2)由题意可分为333，225,234三种分配方案，分别分组分配计算即可.【详解】（1）依题意可得不同安排方法的总数为．（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．故不同安排方法的总数为．22．在①C的渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．(1)求C的标准方程；(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲线上即可求得C的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q点坐标，分别别写出直线PM和QN的直线方程，求得交点A的坐标表示，利用韦达定理即可证明.【详解】（1）选①因为C的渐近线方程为，所以，故可设C的方程为，代入点P的坐标得，可得，故C的标准方程为．选②．因为C的离心率为，所以，得，故可设C的方程为，代入点P的坐标得，可得，故C的标准方程为．（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，联立直线和双曲线方程得，所以，，直线PM：，即，直线QN：，即，消去y，得，整理得，则．因为，所以A的横坐标为1．故A在定直线上．