2022-2023学年广东省大湾区高二上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省大湾区高二上学期期末联考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省大湾区高二上学期期末联考数学试题 一、单选题1．直线的斜率为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将直线方程化成斜截式即可得直线的斜率.【详解】解：因为直线方程为，化为斜截式为：，所以直线的斜率为：.故选：D.2．已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（    ）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)【答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.【详解】解析：．故选：A3．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m【答案】A【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故选：A.4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（    ）A．66 B．91 C．107 D．120【答案】D【分析】根据数列的规律得到第n个叠放图形中共有n层，构成等差数列求解.【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，归纳可得：第n个叠放图形中共有n层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列，所以第n个叠放的图形中小正方体木块的总数是，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是，故选：D5．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】两直线斜率存在时，平行则斜率相等，求出m的值，再根据两平行线间的距离公式即可计算.【详解】∵直线与平行，∴，解得.∵的方程为，∴它们之间的距离.故选：B.6．已知等差数列中，，，则数列的前2022项和为（    ）A．1010 B．1011 C．2021 D．2022【答案】D【分析】首先利用等差数列的性质和公式，求解数列的通项公式，再利用分组转化法求和.【详解】根据等差数列的性质可知，，所以，设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以，设数列的前项和为，则，.故选：D7．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，因为，所以，，，，，所以点P到AB的距离．故选：C.8．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（    ）A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光由到再到所经过的路程为D．若，直线与相切，则【答案】C【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.【详解】在双曲线中，，，则，易知点、，设，，对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，同理可知当点在第四象限内运动时，，当点为双曲线的右顶点时，，综上所述，的取值范围是，A对；对于B选项，当时，，，所以，，B对；对于C选项，，故过点时，光由到再到所经过的路程为，C错；对于D选项，若，由角平分线定理可得，即，解得，D对.故选：C. 二、多选题9．若椭圆的焦点为，（），长轴长为，则椭圆上的点满足（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据椭圆的两个定义可判断AC；根据分母不能为0可判断B；直接化简可判断D.【详解】由椭圆定义可知，A正确；由椭圆第二定义可知C正确；B中显然，即椭圆上的长轴端点不满足B中方程，故B错误；由两边平方可得，整理得，即，故D正确.故选：ACD10．从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（　　）A． B．事件A与事件B互斥C． D．事件A与事件C对立【答案】ABD【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；故选：ABD11．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则的值可能为（    ）A．58 B．59 C．62 D．64【答案】AD【分析】先对数据从小到大排序，分，，三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则，解得或故选：AD.12．圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与和圆锥轴截面半顶角有如下关系；当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线.（如左图）现有一定线段AB与平面夹角（如上右图），B为斜足，上一动点P满足，设P点在的运动轨迹是，则（       ）A．当，时，是椭圆 B．当，时，是双曲线C．当，时，是抛物线 D．当，时，是椭圆【答案】ACD【分析】认为P在以AB为轴的圆锥上运动，结合题干信息，逐一分析即可.【详解】∵AB为定线段，为定值，∴P在以AB为轴的圆锥上运动，其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥轴AB的夹角为对于A，，∴平面截圆锥得椭圆，A正确；对于B，，是椭圆，B错.对于C，，是抛物线，C正确.对于D，，是椭圆，D正确.故选：ACD. 三、填空题13．设数列的前项和为，且满足两个条件：①是单调递减数列；②是单调递增数列，请写出的一个通项公式__________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，只需写出满足是正项单调递减数列的通项公式即可.【详解】解：根据题意，数列满足：①是单调递减数列；②是单调递增数列，故只需是正项单调递减数列即可.故的通项公式可以为.故答案为：（答案不唯一）14．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________．【答案】【分析】首先构造二面角的平面角，如图，再分别在和中求解.【详解】作，且，连结，，，，平面且，四边形时平行四边形，，平面，平面，中，,中，.故答案为：15．已知点，，为平面上的动直线，点A，B到直线的距离分别为1，3，则这样的直线有______条．【答案】4【分析】将题意转化为求两圆的公切线条数即可得结果.【详解】到点A的距离为1的直线即该直线与以A为圆心，1为半径的圆相切；到点B的距离为3的直线即该直线与以B为圆心，3为半径的圆相切；由于，即两圆相离，如图所示，故公切线的条数为4条，即点A，B到直线的距离分别为1，3的直线有4条，故答案为：4.16．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．【答案】【分析】先建立平面直角坐标系，分别求得、的方程，再利用切线长定理求得切线长的表达式，进而求得该切线长的最大值.【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为．设点，，，依题意，，且，所以，且，即，且．由于t不恒等于0，于是，故，，代入，可得，故曲线的方程为．设上的点，则，则切线长为，故切线长的最大值为．故答案为： 四、解答题17．如图，在长方体中，，，是棱的中点．(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见详解(2) 【分析】（1）先证明线面垂直，再根据线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：在长方体中，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则由，，得，又是棱的中点，所以，所以，，设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.18．已知数列的前项和.(1)求证：数列是等差数列.(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解；（2）由（1）得 ，将不等式对任意恒成立，转化为，对任意恒成立求解.【详解】（1）解：当时，，解得，当时，，所以，即，即，又，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知，，即，所以，对任意恒成立，即，对任意恒成立，记，故，所以时，，所以，即，时，，即随着的增大，递减，所以的最大值为，所以，即.19．某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100] 共五组后，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组[75，80）①     第2组[80，85） 0.300第3组[85，90）30②    第4组[90，95）200.200第5组[95，100]100.100合计 1001.00 （1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.【答案】（1）①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，直方图见解析；（2）.【分析】(1)利用频率等于频数与总数的比值求解；(2)先用分层抽样确定各组应抽取的人数，而后利用古典概型中的列举法求概率.【详解】(1)第2组的频数为100×0.300= 30人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300， 频率分布直方图如图所示，(2)因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答.设第3组的3位学生为，第4组的2位学生为，第5组的1位学生为C1，则从这6位学生中抽取2位学生有：， ，共15种情况.抽到的2位学生不同组的有：共11种情况.所以抽到的2位学生不同组的概率为.20．已知圆C过点，，它与x轴的交点为，，与y轴的交点为，，且.（1）求圆C的标准方程；（2）若，直线，从点A发出的一条光线经直线l反射后与圆C有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设圆C的一般式方程为：，然后根据题意列出方程，解出D，E，F的值即可得到圆的方程；（2）先求出点关于直线l的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线和圆的位置关系列出不等式解出k的取值范围即可.【详解】（1）设圆C的一般式方程为：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圆C过点，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圆C的一般式方程为，标准方程为；（2）设关于的对称点，所以有 ，解之得，故点，∴反射光线所在直线过点，设反射光线所在直线方程为：，所以有，所以反射光线所在的直线斜率取值范围为.【点睛】本题考查圆的方程的求法，直线和圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.21．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若，求向量的斜坐标；②若，且，求.【答案】(1)(2)①；②2 【分析】（1）根据所给定义可得，，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设分别为与同方向的单位向量，则，①根据空间向量线性运算法则得到，即可得解；②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；【详解】（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：设分别为与同方向的单位向量，则，①②由题，因为，所以，由知则22．已知椭圆C：，点E(－4，0)，过点E作斜率大于0的直线与椭圆C相切，切点为T.(1)求点T的坐标；(2)过线段ET的中点G作直线l交椭圆C于A，B两点，直线EA与椭圆C的另一个交点为M，直线EB与椭圆C的另一个交点为N，求证：；(3)请结合（2）的问题解决，运用类比推理，猜想写出抛物线中与之对应的一个相关结论(无需证明).【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)过轴负半轴上一点作抛物线的切线，再过的中点作直线与抛物线交于A，B两点，直线EA与抛物线C的另一个交点为M，直线EB与抛物线C的另一个交点为N，则. 【分析】（1）根据椭圆与直线相切，只有一个交点，利用判别式为0，即可求解出切线的斜率，然后代入方程，即可求解切点坐标.（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系，以及两点间斜率公式，得到点的坐标，进而用斜率公式算斜率，即可求解.(3)将椭圆类比为抛物线，提出类似结论即可.【详解】（1）设切线的方程为： 联立方程   —①因为直线与椭圆C相切，所以 当时，代入①式中得，解得，进而代入直线方程可得，故（2）由题意知：直线有斜率，设 的斜率分别为， 联立方程，由根与系数的关系可知： ，又从而，，同理可得：，, ，故设直线为 所以直线MN与ET平行.（3）由(2)可得：过轴负半轴上一点作抛物线的切线，再过的中点作直线与抛物线交于A，B两点，直线EA与抛物线C的另一个交点为M，直线EB与抛物线C的另一个交点为N，则.【点睛】进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．