2022-2023学年广东省广州市第六十五中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第六十五中学高二上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第六十五中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．若向量，，则（    ）A． B．4 C．5 D．【答案】D【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.【详解】解析：由题意，得，.故选：D.2．在等比数列中，，则（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】A【分析】根据求出，再根据可得答案.【详解】设等比数列的公比为，由，可得q＝2，所以.故选：A.3．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线得， ，即 ，所以双曲线的渐近线方程是，故选：D．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是．4．圆关于直线对称的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为，故所求圆的圆心坐标为，半径为，因此，所求圆的方程为.故选 ：A.5．在数列{}中，=2，，（    ）A．2 B．1 C． D．－1【答案】D【分析】结合递推公式可求得数列是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3项即可求解.【详解】由题意，，故，，故数列是周期为3的周期数列，从而，由知，，，故.故选：D.6．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.【详解】因为平行六面体中，点M在上，且故可得故选：D.7．直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案．【详解】由，得，如图，当直线与相切时，．当直线过点（0,2）时，有两个交点若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是．故选：．8．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小值时的条件即得解.【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱形，其周长为，，当且仅当，即时取“=”，由得a2=12，b2=4，所求标准方程为.故选：A【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答. 二、多选题9．已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.【详解】A．若，此时可能平行或异面，故A错误；B．根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B正确；C．若，此时或，故C错误；D．选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D正确，故选：BD.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：（1）利用定理、定义、公理等直接判断；（2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析.10．下列关于抛物线的说法正确的是（    ）A．焦点在x轴上B．焦点到准线的距离等于10C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.【详解】抛物线的焦点在x轴上，，正确，错误；设是上的一点，则，所以正确；由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确.故选：.11．圆：和圆：的交点为A，B，则有（    ）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作出得出公共弦所在直线方程，判断选项；利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项；利用垂径定理和点到直线的距离公式可判断选项；利用点到直线的距离即可判断选项.【详解】对于，由圆：与圆：的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故错误；对于，圆：的圆心为，，则线段中垂线斜率为－2，即线段中垂线方程为：，整理可得，故正确；对于，圆：，圆心到的距离为，半径，所以，故不正确；对于，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线距离的最大值为，故正确.故选：BD.12．对于数列，定义为的“优值”.现已知数列的“优值”，记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．的最小值为－62【答案】AC【分析】由题可得，进而可得判断A，再由等差数列求和公式求出判断B，由分析数列的项的符号变化情况判断C，求出判断D.【详解】由题意知，，则①，当时，，当时，②，①－②得，，解得，当时也成立，∴，A正确；，B错误；∵，当时，即，且，故当或9时，的前n项和取最小值，最小值为，C正确，D错误.故选：AC. 三、填空题13．已知，，若，则________.【答案】【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.【详解】因为，所以.所以，，解得，所以.故答案为：14．已知直线与，若，则实数a的值为______．【答案】【分析】由可得，从而可求出实数a的值【详解】因为直线与，且，所以，解得，故答案为：15．若是等差数列的前项和，且，则______．【答案】2【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，化简得，所以．故答案为：216．，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则的面积为_____.【答案】【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出，设，，根据双曲线定义和余弦定理解焦点三角形，列出两个方程，解得，利用面积公式可求得答案。【详解】，是双曲线的两个焦点，，，设，，点是双曲线上一点，且，，解得的面积故答案为：. 四、解答题17．已知直线和的交点为．(1)若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；(2)若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；（2）设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.【详解】（1）解：联立的方程，解得，即设直线的方程为：，将带入可得所以的方程为：；（2）解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，则直线与两坐标轴交点为，由题意得，解得：或所以直线的方程为：或，即：或.法②：设直线的斜率为，则的方程为，当时，当时，所以，解得：或所以m的方程为或即：或.18．已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用基本量代换列方程组求出的通项公式，进而求出的首项和公比，即可求出的通项公式；（2）利用分组求和法直接求和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以.，又，，，；（2），.19．问题：平面直角坐标系xOy中，半径为3的圆C过点，且______.（在以下两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆心C在直线上且圆心在第一象限；②圆C过点.(1)求圆C的方程；(2)过点作圆C的切线，求切线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】(1) 选①条件，通过圆心在直线上，设出圆心坐标，利用圆心到圆上一点的距离等于半径解求解；若选②条件，设出圆的标准方程，将点的坐标代入即可求解；(2)先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求出切线方程.【详解】（1）选①条件设圆心为，则，解得，则圆C的方程为.所以所求圆的方程是.选②条件设所求圆的方程为，由题意得:，解得，，所以所求圆的方程是.（2）因为点在圆外，①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为，满足条件.②切线斜率存在时，设切线l：，即，则圆心C到切线的距离，解得，则切线的方程为：.所以过点的圆C的切线方程为：或.20．如图，在四棱雉中，底面满足，，底面，且，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直得，即可进一步证平面，最后证平面平面；（2）由线面垂直证，，即可以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角余弦值.【详解】（1）底面，平面，.，，、平面，平面，平面，平面平面；（2）底面，平面，，，又，∴以点A为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量是，则，即，令，则，，于是，由（1）知平面，故可取平面的法向量为，设平面与平面的夹角为锐角，.平面与平面的夹角的余弦值为.21．设数列的前项和为，(1)求的通项公式；(2)若数列，求的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）当时，可求得；当，由可证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）当时，，解得：；当时，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，.（2）由（1）得：，，，，.22．在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设P(x，y)，由P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数求解；（2）直线MN斜率不存在时，由直线AM，AN分别为，，求得与双曲线的交点即可；直线MN斜率存在时，设其方程为，()，与双曲线方程联立，根据AM⊥AN，结合韦达定理得到k，m的关系即可.【详解】（1）解：设P(x，y)，因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，所以，化简得，所以曲线E的方程为.（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为，，分别联立，解得M(，)，N(，－)，此时直线MN的方程为，过点(，0)；当直线MN斜率存在时设其方程为，()由，消去y得，所以，即，，，因为AM⊥AN，所以，即，即，即，将，代入化简得：，所以或，当时，直线MN方程为(不符合题意舍去)，当时，直线MN方程为，MN恒过定点(，0)，综上所述直线MN过定点(，0).