2022-2023学年广西桂林市田家炳中学高二上学期期中测试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西桂林市田家炳中学高二上学期期中测试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西桂林市田家炳中学高二上学期期中测试数学试题 一、单选题1．过点，的直线斜率为（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】将P、Q点坐标代入斜率公式，即可求得答案.【详解】因为，，所以过P、Q的直线的斜率，故选：B2．圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆的标准方程的形式写.【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.故选C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.3．点(3，0)到直线x+y－4=0的距离等于（    ）A．4 B． C．1 D．【答案】D【分析】由点到直线的距离公式计算．【详解】由题意所求距离为．故选：D．4．与直线垂直的直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可.【详解】解：由,所以该直线的斜率为,设与它垂直的直线的斜率为，所以有,设与直线垂直的直线的倾斜角为,则有,所以故选：D5．已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】讨论焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别计算得到答案.【详解】当抛物线焦点在轴上时：直线与轴的交点为，此时抛物线为；当抛物线焦点在轴上时：直线与轴的交点为，此时抛物线为；综上所述：抛物线的标准方程是或故选：【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误.6．已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：，此时，圆心到直线的距离为3<5,不合题意；当直线的斜率存在时，可设直线l：，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：，所以直线l：，即.故选：D【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．7．双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍，则双曲线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线的标准方程为，可得，求解即可.【详解】椭圆的焦点坐标为,离心率为.设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得.所以双曲线的标准方程为.故选:C.8．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B  二、多选题9．已知双曲线，则关于双曲线的结论正确的是（    ）A．实轴长为6 B．焦点坐标为C．离心率为 D．渐近线方程为【答案】ABCD【分析】根据双曲线的方程逐项判断即可.【详解】由方程可得，焦点在轴上，故实轴长为6，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为渐近线方程为.故选:ABCD.10．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则实数的值是（    ）A．-3 B．1 C．-1 D．3【答案】AB【分析】由两直线垂直可得，然后解得即可.【详解】由两直线垂直，可得，即解得或.故选:AB.11．已知圆，则下列说法正确的是（    ）A．圆的半径为B．圆截轴所得的弦长为C．圆上的点到直线的最小距离为D．圆与圆相离【答案】BC【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为，故选项B正确；对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；故选：BC.12．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】BC【分析】根据题意得到直线过抛物线的焦点，得出，再结合抛物线焦点弦的性质得到，求得的长，即可求解.【详解】根据题意，抛物线的焦点为，可得直线过抛物线的焦点，因为所以，即，又由抛物线焦点弦的性质，可得，联立方程组，可得或或，又因为，所以或2.故选：BC. 三、填空题13．过点且与直线平行的直线的方程为________________.【答案】【分析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果.【详解】由直线与直线平行所以直线的斜率为：又直线过点，所以根据点斜式可得直线方程为：即故答案为：【点睛】本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.14．已知圆经过和，圆心在直线上，则圆的标准方程为________.【答案】【分析】求出和连接的线段的垂直平分线，与可得圆心坐标，从而可求圆的标准方程.【详解】和的中点坐标为，过和的斜率为，故该两点连接的线段的垂直平分线为，即.联立，可得，即圆心坐标为.故半径为.所以所求圆的标准方程为.故答案为:.15．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．【答案】【分析】根据双曲线的渐近线可求c与a的关系，根据即双曲线的定义可求，在焦点三角形中，利用余弦定理可求出cos∠，从而可求sin∠，根据即可求出a，从而可求2c．【详解】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b，∴．设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则，设∠=θ，在△中，由余弦定理得，，即，化简可得，∴，∵，，，，，．故答案为：．16．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．【答案】【详解】分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论. 详解：抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为，设，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，，，得到，可得，，，解之得，所以，直线方程为，即,，故答案为.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，以及抛物线与直线的位置关系，属于难题.解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题． 四、解答题17．已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直．(1)求直线l的一般式方程；(2)若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程．【答案】(1)3x+4y+5＝0(2)x2+y2＝17 【分析】（1）由垂直关系得过直线l的斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程．【详解】（1）因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为，即3x+4y+5＝0，因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0；（2）圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，圆心（0，0）到直线l的距离为，则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝17．18．（1）已知直线经过直线与的交点和点，求的方程；（2）已知直线和，若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）两方程联立可得，利用直线两点式方程可整理得到结果；（2）根据平行关系可构造方程求得，验证可得最终结果.【详解】（1）由得：，，的方程为：，即；（2），，解得：或；当时，，，则重合，不合题意；当时，，，则，满足题意；综上所述：.19．已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．⑴求椭圆C的标准方程;  ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．【答案】（1）；（2）【分析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程．（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．【详解】解：⑴由，长轴长为6得：所以∴椭圆方程为⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,∵直线AB的方程为②把②代入①得化简并整理得所以又【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．20．（1）已知点在圆上运动，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；（2）已知两定点，动点满足，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设，根据题意得代入圆的方程解决即可；（2）设，得，，根据题意解决即可.【详解】（1）由题知，点在圆上运动，定点，设，因为点为线段的中点，所以，即，因为点在圆上，即，所以，化简得所以点的轨迹方程为；（2）由题知，两定点，动点满足，即，设，所以，因为，所以，化简得，所以点的轨迹方程为；21．求满足下列条件的双曲线的标准方程．（1）实轴在轴上，实轴长为，离心率为；（2）焦点为，且与双曲线有相同渐近线．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据实轴长可得出，再利用离心率为解出，从而得出，得出双曲线的标准方程；（2）由题意可知，根据双曲线可解出渐近线方程，再根据解出，得出双曲线的标准方程.【详解】解：（1）由题可设双曲线方程为，焦距为，由题意可知，，，双曲线的标准方程为（2）由题可设双曲线方程为，焦距为，则，渐近线方程为的渐近线方程为，即又，则，解得：，双曲线的标准方程为.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，属于基础题，解答时易错点如下：（1）双曲线中，，而不是；（2）焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：.22．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1），（2）证明见解析，定点【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以，得，所以抛物线的方程为，（2）①当直线的斜率不存在时，设，因为直线的斜率之积为，所以，化简得，所以，此时直线的方程为，②当直线的斜率存在时，设其方程为，，由，得，则，因为的斜率之积为，所以，即，即可，解得（舍去），或，所以，即，所以，即，综上所述，直线过轴上的一定点【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题