2022-2023学年广西钦州市高二上学期期末考试数学试题 解析版

钦州市2022年秋季学期教学质量监测

高二数学

（考试时间：120分钟；赋分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）

1. 若直线过点和点，则该直线的方程为

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

（法一）利用直线的两点式方程直接求解；

（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．

【详解】解：（法一）因为直线过点和点，

所以直线的方程为，整理得；

（法二）因为直线过点和点，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，整理得；

故选：A．

【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．

2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.

【详解】解：设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且

又，

则

由于，所以

于是可得，，所以椭圆C的离心率.

故选：B

3. 已知，，若，则实数的值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.

详解】∵，

∴，

∴.

故选：B.

4. 我们知道，在日常学习与生活中养成根据现实世界的情景提出问题的习惯对培养自己的创新素养起着至关重要作用.关于实际情景“日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服.一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净”，提出的问题最恰当的是（）

A. 在给定漂洗所用的清水量的前提下，选择什么牌子的洗衣粉能使衣服更干净？

B. 在给定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合适？

C. 在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗时放多少衣物才能使衣服干净？

D. 在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，结合各选项的条件分析、判断作答.

【详解】对于A，好的洗衣粉，去污能力强，但必须经过多次漂洗才能将洗衣粉及污物去掉，所提出问题与漂洗次数无关，A不是；

对于B，漂洗所用的清水量多，附着衣服的污物经过一次漂洗，去掉的不多，所提出问题与漂洗次数无关，B不是；

对于C，漂洗时放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出问题与漂洗次数无关，C不是；

对于D，用适当的清水量，多次漂洗，能使衣服干净，提出的问题最恰当，D是.

故选：D

5. 双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（）

A. 14 B. 26 C. 14或26 D. 16或24

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的方程可得，由即可求解.

【详解】由双曲线的方程可得，故.

因为，故，解得或26.

故选:C.

6. 已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据坐标可求出，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案.

【详解】解：由已知可得，，，

所以.

设为平面与平面的夹角，则，

又，

所以.

故选：C.

7. 已知圆O：上有且只有两个点到直线l：的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出到直线l的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.

【详解】平面内到直线l距离为1的点的轨迹是与直线l平行且距离为1的两条直线，

设的方程为，则，解得或，

即直线，直线，

如图，圆O：上有且只有两个点到直线l的距离为1，则圆O与相交，与相离，

圆O的圆心到直线的距离，到直线的距离，

所以圆O半径r的取值范围为，即.

故选：A

8. 设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（）

A. 16 B. 25 C. 32 D. 41

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可知当时，此时有或.由“交替”的排列的概念可得，当时，或，分别求解即可得到当时，或时，有8种方法.同理可求得当，或，此时也有8种方法.然后得出时，或时“交替”的排列数目，相加即可得出结果.

【详解】由已知可得，，.

（ⅰ）当时，，可推出，，，

此时有或.

①当时，由已知可得或

当，时，此时必有，排列可以是或两种；

当时，时，此时可选择1，2，3中的任意排列，共中排列.

综上所述，共有8种方法；

②同理可得当，可得或，也有8种方法.

综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16；

（ⅱ）当时，，可推出，，，

此时有或.

①当时，由已知可得或

当，时，此时必有，排列可以是或两种；

当时，时，此时可选择3，4，5中的任意排列，共中排列.

综上所述，共有8种方法；

②同理可得当，可得或，此时也有8种方法.

综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16.

所以，“交替”的排列的数目是32.

故选：C.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）

9. 已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.

【详解】对A，若，则，故A正确；

对B，若，又两直线不重合，则，故B正确；

对C，若，则与不垂直，故C错误；

对D，若，则，故D正确.

故选：ABD.

10. 若椭圆的左、右焦点分别为，，则下列b的取值能使以为直径的圆与椭圆C有公共点的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定的条件，确定以为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b的范围作答.

【详解】令椭圆的半焦距为c，则以为直径的圆的方程为，

因圆与椭圆C有公共点，则有，即，解得，显然选项A，B，C满足，D不满足.

故选：ABC

11. 下列结论正确的是（）

A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则

C. 直线的方向向量，平面的法向量，若，则

D. 若，，，则点Р在平面ABC内

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，验证是否平行即可；对于B，验证是否垂直即可；对于C，根据线面关系得，求解得值即可判断；对于D，验证是否四点共面即可.

【详解】解：对于A，因为，，所以，又两条不重合直线，，所以，故A正确；

对于B，平面，的法向量分别是，，且，所以，则，故B正确；

对于C，直线的方向向量，平面的法向量，若，则，则，故C错误；

对于D，因为，，，存在实数使得，则，解得，则，所以四点共面，即点Р在平面ABC内，故D正确.

故选：ABD.

12. 天山社区将红树林中学的甲、乙、丙、丁4名红志愿者分别安排到A，B，C三个村民小组进行暑期社会实践活动，要求每个村民小组至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（）

A. 共有18种安排方法

B. 若甲、乙两名志愿者被安排在同一村民小组，则有6种安排方法

C. 若两名志愿者被安排在A村民小组，则有24种安排方法

D. 若甲志愿者被安排在A村民小组，则有12种安排方法

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，对于B：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，对于C：A村民小组需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A村民小组，对于D；甲志愿者被安排在A村民小组，分两种情况讨论，即可判断各个选项的正误.

【详解】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，

所以安排方法为：，A错误；

对于B：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，

剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：，B正确；

对于C：A村民小组需要两名志愿者，

所以先从4名志愿者中选择2名安排到A村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以安排方法为：，C错误；

对于D；甲志愿者被安排在A村民小组，分两种情况讨论，

当A村民小组安排两名志愿者时，先从剩余3名志愿者选出一个，分到A村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以安排方法为：，

当A村民小组只安排甲志愿者时，剩余3名志愿者安排到两个村民小组中去，

所以安排方法为：，

所以一共有安排方法为：，D正确；

故选：BD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则____________．

【答案】2

【解析】

【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

因为点为抛物线上点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，

所以，得，

故答案为：2

14. 当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】由已知可得直线过定点，当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m值.

【详解】由已知可将直线的方程化为，

解可得，所以直线过定点.

又由圆的方程可得圆心，半径，

则，所以点在圆内.

当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短.

因为，所以直线的斜率为，即，所以.

故答案为：.

15. 已知，则实数的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】先求出的展开式的通项，再分别求出选取以及时，的系数，相加即可得出结果.

【详解】的展开式的通项，.

当选取时，应取展开式中含项，令，则，，此时的系数为；

当选取时，应取展开式中含的项，令，则，，此时的系数为.

所以.

故答案为：.

16. “结题”是研究小组向老师和同学们报告数学建模研究成果并进行答辩的过程，结题会是展示研究小组“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界”的重要场合.一般来说，结题会是结题的基本形式，小组长负责呈现研究的核心内容.假设你是研究小组的组长，研究的实际问题是“车辆的运行速度和刹车距离之间关系”，那么，为了准备结题会材料，你整理研究成果的核心内容是：______.

【答案】论文

【解析】

【分析】根据课题结题的一般形式即可写出答案.

【详解】根据课题结题的一般形式而言，论文是整理研究成果的核心内容，

故答案为：论文.

四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知点和直线l：.

（1）求经过点P且与l平行的直线方程；

（2）求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

【答案】（1）；

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据已知可设直线方程为，代入点坐标求出的值即可得出直线的方程；

（2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，求出直线的斜率，得出直线的方程；当截距不为0时，可设直线方程为，代入点坐标求出的值即可得出直线的方程.

【小问1详解】

设与直线l平行的直线方程为.

因为直线经过点，所以，解得.

所以直线方程为.

【小问2详解】

当经过点且在两坐标轴上截距都为0时，

斜率，此时所求直线为；

当经过点且在两坐标轴上截距都不为0时，

由已知可设直线方程为，

因为直线经过点，所以，解得.

所以直线方程为.

综上所述，直线的方程为或.

18. 已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点和右焦点都在轴上，长轴长为12，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点为椭圆上一点且在第一象限.若为等腰三角形，求点的坐标.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意布列基本量的方程组，即可得到结果；

（2）讨论两腰的位置，结合椭圆定义即可得到结果.

【小问1详解】

根据题意：，解得，.

∴，∴椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

∵在第一象限，∴，

当时，与矛盾.

所以，即，

设点的坐标为，则，

又，∴，解得，

∴，解得（舍去），∴的坐标为.

19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）.

【解析】

【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.

【小问1详解】

证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，，

，，，

∵∴，

∵，∴，

∵,且平面，∴平面.

（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，，

设是平面的一个法向量.

，.

取，有

∴，，

则，.

∴平面.

（法三）证明：连接

∵平面，平面,∴.

在中，，.

∵，∴，且，

∴平面，

又∵平面，∴.

∵，又∵，

∴，∴.

且，且平面，∴平面.

【小问2详解】

（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.

平面的一个法向量为.

.

∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.

（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.

∵，∴平面，∵，∴平面.

∴平面平面.

过D做于，连接.

∵平面，∴.

又，，

∴平面，又平面，∴.

又∵，，平面,

∴平面，∴，

∴为二面角的平面角.

在中，，

∴.

∴平面与平面的夹角的余弦值为.

20. 用0，1，2，3，，9这十个数字.

（1）可组成多少个三位数？

（2）可组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？

【答案】（1）900；

（2）648；（3）379.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；

（2）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；

（3）根据题意，分成三种情况，分别计算得出各种情况的种数，根据分类加法计数原理相加即可得出结果.

【小问1详解】

要确定一个三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；

第二步，确定十位数，有10种选法；

第三步，确定个位数，有10种选法.

根据分步乘法计数原理，共有种.

【小问2详解】

要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，有9种选法；

第二步，确定十位数，有9种选法；

第三步，确定个位数，有8种选法.

根据分步乘法计数原理，共有个无重复数字的三位数.

【小问3详解】

由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，

第一类，满足条件的一位自然数：有10个，

第二类，满足条件的两位自然数：有个，

第三类，满足条件的三位自然数：

第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；

第二步，确定十位数，有9种选法；

第三步，确定个位数，有8种选法.

根据分步乘法计数原理，有个.

由分类加法计数原理知共有，共有379个小于500且无重复数字的自然数.

21. 平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.

（1）求线段的长；

（2）若，，，用空间向量的一组基底表示向量.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）易得，根据向量数量积的运算律结合已知条件可求出，即可得出结果；

（2）设.由以及不共面，得出方程组，求解即可得出结果.

【小问1详解】

解：因为，

所以

=，

所以，

所以线段的长为.

【小问2详解】

解：.

设，，则.

因为不共面，所以有，解得.

所以.

22. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点.

（1）求圆心为，过A，B两点的圆D的方程；

（2）求经过点A和点B且面积最小的圆的方程.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）联立直线与圆的方程，求出交点，.求出圆的半径，即可得出圆的方程；

（2）当线段为圆的一条直径时，面积最小.求出以及线段的中点，即可得出圆的方程.

【小问1详解】

解：联立直线与圆的方程可得，，

解得，，代入直线方程可得，，不妨设，.

又圆心为，

则圆D的，

所以圆D的方程为.

【小问2详解】

解：要使圆的面积最小，则应使半径最小.当线段为圆的一条直径时，面积最小.

，所以圆的半径，

又圆心即线段的中点，

所以圆的方程为.