2022-2023学年广西梧州市藤县第六中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西梧州市藤县第六中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．3弧度的角终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】可得，即可得出.

【详解】因为，所以3弧度的角终边在第二象限.

故选：B.

2．设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．

【详解】，它是实数，

则，．

故选：C．

3．点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】判断的值的正负，可得答案;

【详解】,

所以点位于第四象限，

故选：D

4．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式直接计算即可得出结果.

【详解】因为.

故选A.

5．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】已知三角形中两角和其中一角的对边，可以用正弦定理求另一角的对边.

【详解】在中，由正弦定理得，

，即，

解得：.

故选：A.

6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.

【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故，所以选项A说法正确；

因为，，所以，而，因此，所以选项B说法正确；

当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C说法不正确；

因为，，所以，而，所以，因此选项D说法正确，

故选：C

7．已知函数一个周期的图象如图所示，则该函数可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件求出A，和的值即可．

【详解】由图象知，函数的周期，得，此时，

由五点对应法得，得，

则，

故选：B．

8．已知向量，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由投影向量的定义代入公式求解即可.

【详解】由投影向量的定义知，

在上的投影向量为.

故选：D

二、多选题

9．已知向量和实数，下列说法正确的是（    ）

A．若，则或

B．若且，则当时，一定有与共线

C．若

D．若且，则

【答案】BC

【分析】根据平面向量的共线定理、向量数乘和向量数量积的定义逐项分析判断.

【详解】对于A选项：若，则或或，A错误；

对于B选项：根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，B正确；

对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即，

故与的夹角为或，可得；

当与至少有一个是零向量时，显然；

综上所述：，C正确；

对于D选项：∵且，则，

∴，但不能确定，D错误．

故选：BC．

10．以下选项中，能使成立的条件有（    ）

A． B．或

C． D．与都是单位向量

【答案】BC

【分析】对于A、D：取特殊向量分别为x、y轴上的单位向量，否定结论；

对于B：由零向量与任何向量平行，即可判断；对于C：由向量平行的判定定理即可判断.

【详解】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误；

对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确；

对于C：因为，所以.故C正确.

故选：BC

11．已知函数，则下列直线中是图象的对称轴的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，求出函数的对称轴方程，利用赋值法可得合适的选项.

【详解】，

由，解得，

当时，；当时，；当时，.

故选：ABC.

12．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】利用线面平行的性质、线面垂直的性质推理判断A，B，C；举例说明判断D作答.

【详解】对于A，因，则存在过直线的平面，使得，于是得，

而，即有，因此，A正确；

对于B，因，则，B正确；

对于C，因，则，C正确；

对于D，当，，且时，满足，显然没有，D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13．若复数（i为虚数单位），则______．

【答案】

【分析】利用复数模的定义去求即可解决.

【详解】由，可得

故答案为：

14．若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为_________．

【答案】

【分析】根据扇形面积公式即可求出.

【详解】扇形的圆心角为60°，转化为弧度为，

该扇形的面积为.

故答案为：.

15．已知的三个顶点是，则的面积为________．

【答案】##

【分析】利用两点间的距离公式求得的长度，然后根据，的坐标求得直线的方程，进而利用点到直线的求得到直线的距离，即三角形的高，最后利用面积公式求得答案．

【详解】

设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得

，求得，，

直线的方程为，即，

点到直线的距离

．

故答案为：

16．已知向量，其中，且，则向量与的夹角为____.

【答案】##

【分析】根据条件求出，然后可得答案.

【详解】因为，，

所以，所以，

所以，因为，所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，．

(1)求与的坐标；

(2)求向量，的夹角的余弦值．

【答案】(1)，．

(2)

【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；

（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.

【详解】（1），．

（2），，，

,．

18．的内角所对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）5.

【分析】（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．

【详解】（1）因为，根据正弦定理得，

又，从而，

由于，所以．

（2）根据余弦定理，而，，，

代入整理得，解得或（舍去）．

故的面积为．

【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

19．在中，角所对的边为，且

(1)求角的大小；

(2)设向量，试求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得，进而可求角；（2）根据向量的坐标运算，利用坐标表示模长，利用二倍角公式以及和差角公式，辅助角公式进行化简，根据余弦最小即可求解.

【详解】（1）由正弦定理得：,

,且,因此得:,由于为三角形的内角，故

（2）由得,所以,因为,所以,故,当时，，此时有最小值，故此时取最小值，且最小值为.

20．在三棱锥中，已知二面角的大小为，为等边三角形，且，为的中点．

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据，是中点，得到，再由是等边三角形，是中点，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明；                               

（2）由（1）得到，再由求解．

【详解】（1）证明：，是中点，

，                            

又是等边三角形，是中点，

，                               

又，，平面，

平面，                     

又平面，

；

（2）由（1）得，，

又二面角的大小为，

，                                                                  

又，，为等边三角形，

，，，

，   

，

，

 ．

21．已知函数的最小正周期为．

(1)求的值；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数的图象，求在区间上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角函数的恒等变换，将化为，根据正弦函数的周期公式，即可求得答案；

（2）根据三角函数图象的平移变换伸缩变换规律可得的解析式，根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得：

，

因为的最小正周期为，所以，所以；

（2）由（1）知

故由题意得 ，

，，                                          

故，

， ，

的值域为．

22．如图，在四棱锥中，平面平面∥平面，，E是的中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面平面；

(3)若M是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点N，使得∥平面？请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)当为中点时，∥平面.

【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明.

（2）由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面.

（3）取的中点，连接，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得∥平面.

【详解】（1）∥平面平面平面平面,

所以.

（2）因为平面平面平面平面，

，所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

（3）取的中点，连接，

分别为的中点，所以，

平面，平面，所以平面，

又因为，，所以四边形为平行四边形，

所以，平面，平面，所以平面，

，所以平面平面，又因为平面，所以∥平面.

线段上存在点N，使得∥平面.