2022-2023学年广西壮族自治区钦州市第四中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西壮族自治区钦州市第四中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题设条件可以求出椭圆的方程是．再把椭圆和直线联立方程组，由要根的判别式△能够求出的值，从而能够求出椭圆的长轴长．

【详解】设椭圆长轴长为（且，则椭圆方程为．

由 ，可得，

因为直线与椭圆只有一个交点，则，

即．

解得或或，

又由，所以，所以长轴长．

故选：．

【点评】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常把直线的方程和椭圆的方程联立，结合根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，同时本题解题时要注意这个前提条件，不要产生增根．

2．已知，则双曲线：与：的（　　）

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

【答案】D

【分析】分别求得双曲线与的实轴长，虚轴长，离心率，焦距即可求解.

【详解】双曲线：，可知，，

则实轴长，虚轴长，焦距，离心率；

双曲线：，可知，，

则实轴长，虚轴长，焦距，离心率；

所以两条双曲线的焦距相等．

故选：D．

3．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.

【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

4．椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（    ）

A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍

【答案】A

【解析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.

【详解】由＝1可知，，所以，

所以F1(－3，0)，F2(3，0)，

∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，

所以，所以轴，

∴可设P(3，b)，

把P(3，b)代入椭圆＝1，得.

∴|PF1|＝，|PF2|＝.

∴.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，进而可设P(3，b)是解题关键.

5．已知抛物线：（）的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意设直线的方程，代入抛物线方程可得两根之和，进而求出弦中点的纵坐标，由题意可得的值，进而求出抛物线的方程.

【详解】由抛物线方程可得，

由题意可设直线的方程为：，

设，，

联立直线与抛物线的方程：，

整理可得：，

可得：，所以中点的纵坐标为，

由题意可得：，解得，

所以抛物线方程为：，

故选：C.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

6．已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（    ）

A．±1 B．±

C． D．±

【答案】A

【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式解出m即可.

【详解】由，消去y并整理，

得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．

设，

则，．

由题意，得，

解得．

故选:A

7．已知抛物线：()的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，，若，，则（    ）

A． B．4 C．5 D．

【答案】D

【解析】先设出直线的方程，联立直线与抛物线，得到：，，再由，，求出，再根据焦点弦公式即可求出.

【详解】解：如图所示，

由题意知：：，，

设，，直线：，

则，，

由，

得：，

，，

，，

，

解得：，

设抛物线准线交轴于，

则，在中，可得，，

是等边三角形，

，，

.

故选：D.

【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

8．已知双曲线的左、右顶点为、，焦点在轴上的椭圆以、为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出椭圆的方程，设点，可得出，由点在椭圆上，点在双曲线上，可得出关于、的方程组，求出、的值，利用斜率公式可求得的值.

【详解】设所求椭圆的标准方程为，半焦距为，

双曲线的左顶点为，右顶点为，

由于椭圆以、为顶点，则，该椭圆的离心率为，

所以，，解得，所以，椭圆的方程为，

设点，由于，则为的中点，则点，

由于点在椭圆上，点在双曲线上，

所以，，解得，所以，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出点为的中点，结合点在椭圆上，点在双曲线上列方程组求出点的坐标，进而利用斜率公式求解.

9．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】A

【分析】先求出直线AB的方程，利用“设而不求法”求解.

【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标.

直线AB的斜率为,由直线方程的点斜式方程可得AB: .

将直线方程代入到拋物线当中,整理得：.

设，则有，.

所以弦长.

故选：A

10．已知F是抛物线的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．

【详解】解：，故直线的方程为，

联立方程组，可得，

设，，，，由根与系数的关系可知，．

由抛物线的定义可知：，，

．

故选：A．

11．已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=

A． B．4 C．2 D．

【答案】D

【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.

【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，

∴ ，

解得 ，

故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．双曲线的两焦点为，P在双曲线上，且满足，则的面积为

A．1 B． C．2 D．4

【答案】A

【详解】试题分析：假设点在右支上，由双曲线定义可知

的面积为，故选A

【解析】双曲线方程及性质

【方法点睛】双曲线椭圆的焦点三角形面积的问题是常考的题目，求解时主要利用余弦定理和双曲线椭圆定义，双曲线的焦点三角形面积公式为椭圆的焦点三角形面积公式为其中，以椭圆为例，公式推导如下：

，双曲线焦点三角形面积公式推导与椭圆类似

二、填空题

13．若常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则实数a的值为______．

【答案】3或.

【分析】分，讨论，根据条件列出等式，即求.

【详解】由椭圆，可得椭圆，

当时，表示焦点在x轴上的椭圆，

∴，即，

当时，表示焦点在y轴上的椭圆，

∴，即，

综上，实数a的值为3或.

故答案为：3或.

14．设椭圆的焦点为，，点P在该椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为______．

【答案】7

【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，t)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.

【详解】由＝1可知，，

所以，

所以F1(－3，0)，F2(3，0)，

∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，

所以，所以轴，

∴可设P(3，t)，

把P(3，t)代入椭圆＝1，得.

∴|PF1|＝，|PF2|＝.

∴.

故答案为：7.

15．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则________

【答案】

【分析】根据双曲线方程可得焦点在轴上, 所以椭圆的焦点也在轴上,由此可得,再根据焦距相等列方程可解得.

【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点

且双曲线的焦点在轴上,所以椭圆的焦点也在轴上,

所以,且,解得,所以.

故答案为:.

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质(焦点),解题关键是根据双曲线标准方程得到椭圆中4和的大小.属于中档题.

16．已知、为双曲线且的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，点O为坐标原点．下面四个命题：

①的内切圆的圆心必在直线上；

②的内切圆的圆心必在直线上；

③的内切圆的圆心必在直线上；

④的内切圆必通过点．

其中真命题的代号是___________．（写出所有真命题的代号）

【答案】①④

【分析】设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，设M点坐标为(x，0)，代入即可求得x＝a，故判断①④正确．

【详解】设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，如图，

则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，

又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，

设M点坐标为(x，0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④正确．

故答案为：①④．

三、解答题

17．已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：

(1)曲线C是椭圆；

(2)曲线C是双曲线．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；

（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.

【详解】（1）∵曲线C的方程为，

∴，又曲线C是椭圆，

∴，解得且，

∴实数m的取值范围为；

（2）∵曲线C是双曲线，

∴，

解得或，

故实数m的取值范围为.

18．证明：以椭圆C：（）的焦点F为圆心的圆与该椭圆最多有两个公共点．

【答案】详见解析.

【分析】不妨设，设点是椭圆C上点，利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性可得，然后通过讨论圆的半径的大小即得.

【详解】不妨设，设点是椭圆C上点，则由，可得，

∴，

又，

∴，

∴当以焦点F为圆心的圆的半径时，该圆与椭圆有两个公共点，且公共点的横坐标相等，

当以焦点F为圆心的圆的半径或时，该圆与椭圆仅有一个公共点，

当以焦点F为圆心的圆的半径或时，该圆与椭圆没有公共点,

综上，以椭圆C：（）的焦点F为圆心的圆与该椭圆最多有两个公共点．

19．已知椭圆若四边形四个顶点在椭圆上，则称四边形为椭圆的内接四边形椭圆的内接四边形可以是平行四边形、菱形（顶点不在椭圆顶点处）、矩形(边不与椭圆对称轴平行）吗请说明理由．

【答案】答案见解析；

【分析】根据椭圆的对称性，结合平行四边形、菱形、矩形的对称性进行判断即可.

【详解】因为平行四边形对角线互相平分，关于对角线的交点成中心对称，椭圆也关于坐标原点成中心对称，所以椭圆的内接四边形可以是平行四边形；

因为菱形的对角线互相垂直且平分，椭圆关于坐标原点、对称轴对称，

所以椭圆的内接四边形可以是菱形，但是菱形的顶点是椭圆顶点，因此椭圆的内接四边形不可以是菱形（顶点不在椭圆顶点处）；

因为矩形的对角线互相平分且相等，矩形的邻边互相垂直，椭圆关于坐标原点、对称轴对称，所以椭圆的内接四边形不可以是矩形（边不与椭圆对称轴平行）.

20．已知直线l：与抛物线C：（）的一个交点是，求抛物线C的焦点到直线l的距离．

【答案】.

【分析】根据交点可求出，再根据点到直线的距离公式即可解出．

【详解】∵直线l：与抛物线C：（）的一个交点是，

∴，，

解得，，

所以抛物线的焦点为，直线l的方程为，

∴抛物线C的焦点到直线l的距离等于．

21．已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围．

【答案】.

【分析】利用两点间距离公式及椭圆方程可得，再利用椭圆的有界性即求.

【详解】由题可设，且，

由，可得，

∴又，

∴，

∴，

由，可得，即，

∴实数m的取值范围为.

22．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于M，N两点，求面积的最大值，并求此时的直线l的方程．

【答案】面积的最大值为；直线的方程为.

【分析】根据题意设直线，，进而与椭圆联立方程得，进而，再根据对勾函数的单调性求解即可.

【详解】解：由题知，，

所以当直线与轴重合时，不满足条件，

因为直线经过点，故设直线，，

所以联立方程得，

所以，

所以

令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数，

所以，此时，，

所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为