2022-2023学年河北省邯郸市魏县高二上学期期末考试数学试题（解析版）

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2022-2023学年河北省邯郸市魏县高二上学期期末考试数学试题

一、单选题
1．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(    )

A．存在点F，使得为直角
B．对于任意点F，都有直线∥平面
C．对于任意点F，都有平面平面
D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大
【答案】C
【分析】A：验证是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明⊥平面即可；D：证明∥平面即可．
【详解】对于A，易知，故与不垂直，故A错误；
对于B，连接、AC、EF，则平面平面=EF，

若∥平面，则∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时与EF才平行，故B错误；
对于C，连接、、、、、，

由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥，
∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面，
∴⊥，同理可证⊥，
∵∩=，、平面，∴⊥平面，
∵平面，∴平面⊥平面，故C正确；
对于D，连接、、，

∵∥，平面，平面，
∴∥平面，则F到平面的距离为定值，
又△面积为定值，故三棱锥F-体积为定值，故D错误．
故选：C．
2．已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ）
A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
【分析】将与代入直线方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；
【详解】解：与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，

①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
3．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：

因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
4．已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】得到四点共圆，且圆的直径为，从而设出，表达出圆心和半径，写出圆的方程，与相减后得到直线的方程为，利用点到直线距离公式得到圆心到直线的距离，配方求出的最小值，从而得到的最大值.
【详解】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，
设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：，
整理得：，
将与相减得：，
故直线的方程为，
圆心到直线的距离，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故.
故选：D
5．已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求.
【详解】由，则，

由图知：当位置变化时，或，故，
所以，而直线、斜率存在且不为0，
故，
，
所以，即或，
当，化简得.
当时，，显然，无解.
所以.
故选：B.
6．已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据求出，再在中，利用余弦定理得到关于的齐次方程，结合即可求得双曲线的离心率.
【详解】由题可知，，，
根据对称性，不妨设P为渐近线上一点，坐标为，，
因为，所以，则，故，
故，
在中，，
由余弦定理得，
即，
即，
则，即，
即，即，即，
所以.
故选：A.
7．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“M点”，那么下列结论中正确的是（    ）
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“M点”
C．直线上的所有点都不是“M点”
D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”
【答案】A
【分析】首先判断直线与抛物线的位置关系，确定三点的位置关系，利用共线向量表示出两点的坐标，再根据两点都在抛物线上可联立方程组根据方程是否有根确定点是否存在，即可得出结果.
【详解】由题意可知，将直线和抛物线联立消去整理得，
；
此时该方程，即该方程无解；
可得直线和抛物线无交点，
过的直线交抛物线于两点，由几何关系可知，在点的同侧，如下图所示：

不妨设，
由可得，即；
所以，
又因为在抛物线上，所以
消去并整理得
此时关于的一元二次方程恒成立，
即恒有解，
也就是对于直线上任意一点，过的直线与抛物线交于两点，都有，所以A正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题以新定义的形式考察直线和圆锥曲线的位置关系，关键是将点在直线和抛物线上是否满足一定条件的问题转化成方程解的存在性问题，注意等价转化方能找到题眼求解.
8．正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（    ）
A．3991 B．3993 C．3994 D．3997
【答案】D
【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数的数字个数的关系，找出第组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果.
【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下：
第一组：1                                    共1个数；
第二组：2，4，6                              共3个数；
第三组：7，9，11，16，15                     共5个数；
第四组：16，18，20，22，24，26，28           共7个数；
第五组：29，31，33，35，37，39，41，43，45   共9个数；
……
由此规律可知，第组最后一个数是组数与该组的数字个数的乘积为，且该数在组成的红色子数列中是第个数，
易知，当时，即第45组最后一个数是与数字2021接近，
此时，红色子数列中第个数为，
所以再往前数4个计数即为第2021个数，该数为3997.
故选：D

二、多选题
9．下列结论正确的是（    ）
A．， B．若，则
C．若，则 D．若，，，则
【答案】BD
【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.
【详解】当时，为负数，所以A不正确；
若，则，考虑函数在R上单调递增，
所以，即，所以B正确；
若，则，，所以C不正确；
若，，，根据基本不等式有
所以D正确.
故选：BD
【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.
10．圆和圆的交点为，则有（    ）
A．公共弦所在直线方程为
B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】ABC
【分析】对于A，两圆方程作差即可求出公共弦方程；
对于B，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；
对于C，线段的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；
对于D，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值.
【详解】对于A，因为圆：和圆：的交点为，
作差得，所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故A正确；
对于B，圆：的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，
所以圆与圆的公共弦的长为，故B正确；
对于C，因为圆心，，所在直线斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，即，故C正确；
对于D，由选项B易得，到直线的距离的最大值为，故D错误.
故选：ABC.
11．已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线过点
B．直线与双曲线有两个公共点
C．双曲线的一条渐近线的斜率小于
D．双曲线的离心率取值范围为
【答案】ACD
【分析】将点代入双曲线即可判断A选项，然后结合题干信息得到。从而可求出离心率的范围进而可判断D选项，再结合的范围利用放缩即可判断C选项，联立根据即可判断B选项，进而可得出结果.
【详解】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，故A选项正确；
D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确；
C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，故C选项正确，
B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，故B选项错误.
故选：ACD.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12．若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，百选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．
【详解】A，，
，时，，取得最大值，
直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；
B，，，时，，，，此时是函数的最大值，
直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；
C，，，
时，，，
过点的切线方程是，即，因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；
D，，，令，
则，所以即是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．
故选：ABC．
【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的．

三、填空题
13．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
【答案】##
【分析】根据阅读材料可得平面的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解．
【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量，
又直线：上有两个点，，
所以直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：．
14．已知为正方体表面上的一动点，且满足，则动点运动轨迹的周长为__________.
【答案】
【分析】首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹的长.
【详解】由可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，

所以P点只可能在面，面，面上运动，
当P在面上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设，由得：，
即，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，
因为 ,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为

同理，P点在面内情况亦为；
P点在面上时，因为，,
所以，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为：.
15．设是曲线上的点，，，则的最大值等于______．
【答案】10
【分析】作出曲线和椭圆的图象，延长交椭圆于点，可得出，由三角形三边关系得出，当且仅当点为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出的最大值.
【详解】由可得，
作出椭圆和曲线(去绝对值后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：

则点、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义得.
延长交椭圆于点，
当点不在坐标轴上时，由三角形三边关系得，
所以，；
当点为椭圆的顶点时.
综上所述，，因此，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力.
16．函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与x轴交点的横坐标，数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】求出直线的斜率、的方程，令得，设，令解得，从而 ，两式相除可得是等比数列，从而求出.
【详解】由题意，直线的斜率为，
所以的方程为，令得：，
由题意，，设，令可得：，解得：或，
从而，整理得：①，
，整理得：②，
用式①除以式②可得：，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，从而，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：运用“不动点法”，对递推关系为分式型数列，可顺利构造出等比（等差）型数列，求出通项公式.

四、解答题
17．如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，，.

(1)求证：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值；
(3)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可证明；
（2）根据题意求得平面的法向量，结合线面角的公式即可得到结果；
（3）根据题意求得平面的法向量，结合二面角的公式即可得到结果.
【详解】（1）
证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设，则，
故，设平面的法向量为
则，取，则
故，而平面，故平面.
（2）因为，故，即，而，
设平面的法向量为，
故，取，则，故
设与平面所成角为，则

（3）由（1）可得，而，
设平面的法向量为，
则，取，则，故，
因为平面，故，
故存在非零实数，使得，
即，
故，解得，
故，由（2）可得
故与平面夹角的余弦值为
18．已知在平面直角坐标系中，平面内动点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与轴的交点，E为直线上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据题意用两点间距离公式求解即可；(2)利用韦达定理求出M，N的坐标，进而求得的直线方程，即可利用基本不等式求出的最小值.
【详解】（1）设，则，化简得．
（2）由题意得，
设，则直线CE的方程为，
直线DE的方程为，
联立得，
则，即，
则，
联立得，
则，即，,
，
①当时，直线MN的斜率，
则直线MN的方程为，
即，，
②当时，直线MN垂直于x轴，方程为，也过定点．
综上，直线MN恒过定点．
又，
所以，
所以，
当且仅当时取等，
所以的最小值为.
19．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点.
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
(3)设的斜率为，且，求双曲线的离心率.
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；
（2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率．
（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的，即可得到、的关系，从而求出离心率．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
故双曲线的焦点坐标为．
（2）解：双曲线，可得，
设，直线的斜率为：，
设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
消去得，
由直线与双曲线有两个交点，则且，即，
可得，则，
又，
，可得，
即，
将代入上式，可得，
得，可得，
解得，即的斜率为．
（3）解：右焦点为，设直线的方程为，，
联立直线与双曲线的方程，
消去得：，
，
，
则，
由，得，
整理得，则，
即，
则，
整理得，
因为的斜率，所以，整理得，
则，，，
所以离心率.
20．设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列．
(1)判断以下两个数列是否为数列：
数列：3，5，8，13，21；
数列：，，5，10．
(2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
(3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值．
【答案】(1)数列是，数列不是；
(2)不存在，理由见解析；
(3)答案见解析.

【分析】（1）根据定义验证是否恒成立，即可判断；
（2）假设存在，则由已知可推得.
当时，，这与假设矛盾，所以不存在；
（3）根据已知推出，进而推出，， ，，相加可推得.根据基本式，结合题意可得的最小值不小于30.进而得出的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到的所以可能的取值.
【详解】（1）根据定义，数列应满足，都有，
即恒成立.
对于数列：有，，，均满足，所以数列是数列；
对于数列，因为不满足，所以数列不是数列.
（2）不存在正实数，使得数列是数列.
说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列，
则，都有，即恒成立.
因为，
所以，
当时，，这与假设矛盾.
所以，不存在正实数，使得数列是数列.
（3）因为数列是数列，所以.
所以，
所以，，，，，，
所以，
即，所以.
所以，
因为数列是整数列，所以的最小值不小于30.
假设，必有，解得，
因为，所以可取9，10，11，12.
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，；
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，，；
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，，，；
当时，，存在满足条件的数列.
，，，，，，，，，，，.
以上都是的充分条件.
所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，，20，.
21．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)若，证明：．
【答案】(1) 时单调递增， 时，单调递减；
(2) ；
(3)证明见解析.

【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调区间；
（2）运用参数分离的方法，构造函数求导，计算函数最大值即可；
（3）作图，根据函数图像确定 的范围，再构造函数，利用函数的单调性证明.
【详解】（1） ，显然有 ，当 时， ，单调递增，
当 时， ，单调递减；
（2）由 得： ， ，
令 ，则有 ，令 ，
显然 是减函数， ， 当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减；
，a的取值范围是 ；
（3）当 时， ，由（1）的结论作函数图像如下：

，
对于 ，得 ，不妨设 ，则有 ，
由图可知当 时，对应的自变量有2个值 ，其中 ，
要证明 ，只需 取 中较小的数 即可，
， ， ， ，
要证明 ，只需证明 ，在 时， 单调递增，
只需证明 ， ， 只需证明 ，
即 ，构造函数 ，
，
，
， 是增函数，又 当 时， ，
即，命题得证；
综上，（1）当 时，单调递增，当 时，单调递减；（2） .
【点睛】本题的难点是第三问，根据函数的图像确定和 的范围，再将原问题转化为函数的单调性问题.
22．若椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意可得，因为点在椭圆上，将点坐标带入椭圆方程求解即可．
（2）过点的直线与椭圆相交，首先要考虑直线斜率不存在的情况，然后在直线斜率存在的条件下，设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求解交点横坐标之间的关系，然后求解直线的斜率之和即可．
【详解】（1）由题意得离心率为，点在椭圆上，
所以，解得，所以椭圆方程为
（2）当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则．
当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，，则，得，
设，则，
所以


综上可得，直线的斜率之和为3．
【点睛】过椭圆上一定点,作两条直线分别与椭圆交于A,B两点,且两直线斜率之和为,则
  (1)当时,直线恒过一个定点.
  (2) 当时,直线AB的斜率为定值.