2022-2023学年河北省邢台市沙河市高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省邢台市沙河市高二上学期11月期中考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省邢台市沙河市高二上学期11月期中考试数学试题 一、单选题1．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线方程化为斜截式，即可求出直线的斜率.【详解】解：直线即，所以直线的斜率为.故选：C2．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由椭圆定义可直接求得结果.【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离和为.故选：D.3．倾斜角为的直线经过点和，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由倾斜角和两点坐标分别表示出斜率，由此可构造方程求得的值.【详解】直线斜率，.故选：C.4．圆与圆的公切线共有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【分析】判断出两圆的位置关系即可得结果.【详解】圆即的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；圆心距为，满足，即两圆相交，所以公切线共有2条，故选：B.5．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）A．5 B．1 C．1或17 D．17【答案】D【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，则，故，故或.由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，所以舍去.故选：D.6．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明出，.以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求解.【详解】由题意：,所以，所以.同理：.所以可以以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,.所以，.设异面直线与所成角为，则.故选：A7．方程表示的曲线为（    ）A．圆 B．圆的右半部分C．圆 D．圆的上半部分【答案】D【分析】平方后可判断曲线的形状.【详解】因为，所以，即，故方程表示的曲线为圆的上半部分.故选：D.8．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长.【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点，由题意知：，，，作，垂足为，则为中点，，，，城市处于危险地区内的时长为.故选：D. 二、多选题9．已知双曲线，则（    ）A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为C．的虚轴长为 D．的离心率为【答案】CD【分析】根据双曲线的标准方程，求出，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为双曲线，则则焦点坐标为，故A错误；焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误；双曲线虚轴长为，故C正确；离心率为，故D正确.故选:CD.10．如图，正四面体的棱长为是的中点，，，设，则（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量的运算对四个选项一一计算后，即可得到答案.【详解】因为是的中点，所以.又，所以，所以.所以.故A错误，B正确；因为，所以，所以，所以.故C正确；.故D错误.故选：BC11．将两圆方程作差得到直线的方程，则（    ）A．B．直线一定过点C．存在实数，使两圆圆心所在直线的斜率为D．若，则过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等【答案】ABD【分析】由圆方程得，可知，即可判断A；求出直线恒过的定点即可判断B；利用两圆圆心坐标求斜率进而判断C；设直线上一点，利用点到直线的距离公式和勾股定理化简计算即可判断D．【详解】圆，即，则，圆，即，则，其中，解得或，故A正确；将两圆方程作差得到直线的方程：，由，得，由，解得，所以直线恒过定点，故B正确；∵，∴，解得，与矛盾，不合题意，故C错误；∵，， ，，则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，又，得，即直线与圆相离，，得，即直线与圆相离，所以过直线上任一点可作两圆的切线．在直线上任取一点，设过点P作圆的切线的长为，作圆的切线的长为，则，，所以，即，故D正确．故选：ABD．12．如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（    ）A． B．平面C． D．平面【答案】ABC【分析】首先求出底面积，再根据棱柱的体积求出棱柱的高，依题意可得在底面的投影在上，设在底面的投影为，即可说明为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】解：因为底面为边长为的菱形，且，所以四边形的面积为，又平行六面体的体积为，所以平行六面体的高为，因为，所以在底面的投影在上，设在底面的投影为，则，又，所以，又，所以为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，，，，因为，所以、不平行，故A错误；又，所以与不垂直，故B错误；因为，所以与不垂直，故C错误；设平面的法向量为，则，即，不妨取，所以，所以，又平面，所以平面，故D正确；故选：ABC 三、填空题13．古希腊数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆离心率的一个可能值为___________.【答案】，，，（任选一个即可）【分析】根据“逼近法”可得，由此可确定所有可能的取值，由椭圆离心率的求法可求得所有可能的取值.【详解】由题意知：，，，由“逼近法”原理可知，，又，则或或或或或或或；当或时，椭圆离心率；当或时，椭圆离心率；当或时，椭圆离心率；当或时，椭圆离心率.综上所述：椭圆离心率所有可能的取值为，，，.故答案为：，，，（任选一个即可）.14．过点作圆的一条切线，切点为，则___________.【答案】【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长可求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，，.故答案为：.15．圆，关于直线对称的圆的标准方程为___________.【答案】【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，设对称圆的圆心，利用和中点在上可构造方程组求得坐标，由此可得结果.【详解】由圆方程可得：圆心，半径，设圆心关于的对称点，则，解得：，即，圆的标准方程为：.故答案为：. 四、双空题16．若空间中有三点，则到直线的距离为___________；点到平面的距离为___________.【答案】          【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离；利用公式去求到平面的距离【详解】由可得则，又，则则到直线的距离为设平面的一个法向量为则，即，令，则，又则点到平面的距离为故答案为：； 五、解答题17．（1）求两条平行直线与间的距离；（2）若直线与直线平行，求的值.【答案】(1)1;(2) 【分析】(1)利用两平行直线间的距离公式直接求解；(2)根据两直线平行的性质即可.【详解】根据平行线间的距离公式,得.若，不满足直线方程一般式的定义，所以，因为两直线平行，所以，解得或，经检验时，两直线重合，不满足题意，时，两直线平行，满足题意.18．已知圆经过点.(1)求圆的标准方程；(2)过点向圆作切线，求切线方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）利用待定系数法去求圆的标准方程；（2）利用几何法去求过点的圆的切线方程即可解决.【详解】（1）设圆的方程为则，解之得则圆的方程为则圆的标准方程为（2）圆的圆心，半径当过点的直线斜率不存在时直线方程为，与圆相切，符合题意；当过点的直线斜率存在时直线方程可设为则，解之得，则，整理得故过点的圆的切线方程为或19．在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点.(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法证明平面；（2）利用向量法求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由题意可知，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.因为分别是的中点，所以,.所以在长方体中，为平面的一个法向量.因为，且平面，所以平面.（2）,.设为平面的一个法向量，则，不妨设，则.设与平面所成角为，则.即与平面所成角的正弦值为.20．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，则，即，令则，设平面的法向量为，则，即，令则，因为，所以，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面的法向量为，显然平面的法向量可以为，所以，所以，所以二面角的正弦值为.21．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6.(1)求椭圆的方程；(2)为第一象限内椭圆上一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的坐标.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用离心率和弦长公式即可联立求解；(2)利用的坐标，根据三点共线求出两点的坐标，根据面积公式即可求出点的坐标.【详解】（1）因为离心率为,所以，即，又因为，所以，联立，解得，所以过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为，所以由 解得，所以椭圆的方程为.（2）设 由（1）可知，,因为共线，所以,即，解得，又因为共线，所以,即，解得，所以，，所以，整理得，解得或（舍），将代入椭圆方程得或（舍），所以的坐标为.22．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为.(1)求的标准方程；(2)直线与交于两点，点是的平分线上一动点，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆方程可得焦点坐标；利用点到直线距离公式可求得，结合椭圆之间关系即可求得双曲线方程；（2）设中点为，由向量线性运算，结合等腰三角形三线合一性质可知，将直线方程与双曲线方程联立后，得到韦达定理的形式；由可构造方程求得，从而求得和；利用两点间距离公式表示出，，由，结合韦达定理可证得结论.【详解】（1）由椭圆方程知：，则，，到直线的距离，，，双曲线的标准方程为：.（2）由（1）知：，，与双曲线的左右半支各交于一点，设，设中点为，则，，又为的角平分线，；由得：，，，，，，即，解得：，，；，，，，.