2022-2023学年河北省邢台市襄都区等5地高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省邢台市襄都区等5地高二上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【分析】根据抛物线的准线方程列式得出结果.

【详解】由题意得：，

解得：.

故选：A.

2．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离.

【详解】解：由，得，渐近线方程为，

由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为，

则焦点到渐近线的距离为

.

故选：B.

3．如图，三棱锥中，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的加法，减法，数乘向量运算的定义求解即可.

【详解】由题意，得

，

故选：D

4．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2所示，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，从而位于焦点处的信号接收器可以接受到较强的信号波.已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为A，B，则由题意可得，代入抛物线方程求出p，从而可求焦点坐标，进而可求焦点到顶点的距离．

【详解】建立如图平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，

设轴截面所在的抛物线的标准方程为，

由已知条件，得点，所以，解得，

所以所求焦点坐标为，

因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为.

故选：B．

5．圆与圆的公共弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可．

【详解】将两圆，的方程相减得：，

由圆，即，可知圆心为，半径为2，

圆心到直线距离，

所以公共弦长.

故选：C.

6．记双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于两点，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】不妨设，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得a和c的关系，从而可求双曲线的离心率．

【详解】如图，设

由双曲线定义可知：，

，所以，即；

在直角中，，即，

解得：，则；

在直角中，，即，

即，所以.

故选：A

7．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且以线段为直径的圆过点，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】先设椭圆的长半轴长为双曲线的半实轴长 焦距为，因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，根据椭圆及双曲线的定义可以用 表示出 ，然后由勾股定理可求结论.

【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且，设在第一象限，，

由椭圆的定义可知：，

由双曲线的定义可知：，

由此可解得：，

以线段为直径的圆过点，所以，

由勾股定理可知：，即，

化简得：，即，

所以，即.

故选：C.

.

8．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】B

【分析】根据题意设直线l的方程为，，代入抛物线方程得，从而有，，再利用抛物线的定义得，结合坐标关系与基本不等式即可得最小值．

【详解】由已知得.显然，直线不与轴垂直.

设直线.联立，得，

得.

设，则，得，

所以，

当且仅当时等号成立，此时，满足条件，

故的最小值为9．

故选：B．

二、多选题

9．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（    ）

A．若为双曲线，则或

B．若为椭圆，则

C．曲线可能是圆

D．若为双曲线，则焦距为定值

【答案】BD

【分析】A，B，C中，由曲线为双曲线或椭圆或圆，可得参数所满足的条件，进而求出的范围，即可判断A，B，C的真假；D中，分焦点在，轴，可得的值，与有关，判断D的真假.

【详解】若为双曲线，则，故或，所以选项A正确；

若为椭圆，则且，故且，所以选项B错误；

若为圆，则，故，所以选项C正确；

若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.

综上，选项BD错误，

故选：BD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．直线的斜率越大，则倾斜角越大

B．若方程表示圆，则

C．圆上有且只有三点到直线的距离都等于

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】对于A：取特殊值，和否定结论；对于B：由圆的一般方程直接判断；

对于C：利用圆的几何性质即可判断；对于D：取直线否定结论.

【详解】对于A：当时，对应倾斜角，当时，对应倾斜角，故A错误；

对于B：表示圆，则，即，故B正确；

对于C：圆心到直线的距离，且圆心为且半径为，故圆上有三个点到直线距离为1，故C正确；

对于D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，故D错误.

故选：.

11．已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若，则

C．以为直径的圆与轴相切

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【分析】由抛物线的方程可知焦点坐标及准线方程，再根据抛物线的性质对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】抛物线的标准方程为，则，，易知点的坐标为，选项A错误；

若，则过点，根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；

的中点到轴的距离，故以为直径圆与轴相切，选项C正确；

抛物线的准线方程为，

过点分别作准线的垂线，垂足分别为

所以，

所以，所以线段，

所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确.

故选：BCD.

12．已知分别为双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支一点，过右焦点的直线与双曲线相交于两点，为的内心，若成立，则下列结论正确的是（    ）

A．离心率

B．满足的直线有三条

C．若都在双曲线的右支上，则

D．点的横坐标为1

【答案】AD

【分析】根据三角形面积公式及双曲线的定义求出的关系进而求出离心率判断A，根据直线过定点可得双曲线方程，按两点位于双曲线异支同支分情况讨论判断B，根据双曲线方程求渐近线进而判断C，利用，及中的相等关系判断D即可求解.

【详解】

设的内切圆半径为，因为成立，

所以，即，

由双曲线的定义得，所以，选项正确；

因为直线过定点，所以， ，

双曲线实轴长为，所以满足条件与双曲线左右两支相交的直线有两条，当垂直于轴时，此时，斜率不存在，不符合题意，所以B不正确；

双曲线方程为，渐近线方程为，所以，或，所以C不正确；

设内切圆与的切点分别为，

所以，

由，

可得，所以的坐标为，

即的横坐标为1，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13．已知点和点到直线的距离相等，则___________.

【答案】3或

【分析】利用点到直线距离公式建立等式求出参数即可.

【详解】因为点和点到直线的距离相等，

所以由点到直线的距离公式可得：

，

解得或，

故答案为：3或

14．双曲线的一条渐近线方程为，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据双曲线的标准方程及渐近线方程即可求解.

【详解】双曲线的方程可化为：

渐近线方程为，

所以，

解得：，

故答案为：.

四、双空题

15．如下图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远，则曲线的轨迹方程（以中点为原点）是___________；现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物，那么这两条公路的路程之和最短是___________.

【答案】         

【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程；结合图像得到，由此得解.

【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图，

.

由题意得，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，

故，

所以曲线的轨迹方程为；

因为，

所以，

当且仅当共线时，等号成立，

所以这两条公路的路程之和最短为.

故答案为：.

五、填空题

16．已知的顶点都在抛物线上，若重心的纵坐标为，则___________.

【答案】##0.5

【分析】设三角形三个顶点的坐标，结合点在抛物线上，表示出三条直线的斜率，根据关系式及三角形的重心纵坐标即可交集问题.

【详解】设坐标分别为，

又点都在抛物线上，

则，

则，

同理，

所以.

故答案为：.

六、解答题

17．回答下列问题

(1)已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，求双曲线的标准方程.

(2)已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点，求抛物线方程及双曲线的渐近线方程.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，设双曲线的标准方程为，代入点的坐标求出的值即可求解；

（2）根据抛物线和双曲线方程求出焦点坐标，根据题意求出的值即可.

【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，

又双曲线经过点，代入方程可得，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）抛物线的焦点为，

由双曲线，可得，

则，

解得或（舍去），.

所以抛物线方程为，双曲线的渐近线方程为.

18．在平面直角坐标系中，的顶点分别为.

(1)求外接圆的面积；

(2)过点的直线与（1）中圆相交与两点，当最小时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)设出圆的一般方程，根据圆上三点得到三个等式，联立求解即可；

(2)利用弦长公式分析得到当最大时，最小，且即可求解.

【详解】（1）设圆的方程为，.

因为圆过三点，

所以有，解得，

外接圆的方程为，

即，

外接圆的面积.

（2）设圆心到直线的距离为，

所以当最大时，最小，

因为，此时，所以.

直线的方程为，即.

综上可得，直线的方程为.

19．如图，四边形为正方形，平面，，点分别为的中点.

(1)证明：；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知得出与，即可得到平面，即，结合得出平面，得出，即可结合已知证明；

（2）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量求法求出结果.

【详解】（1）平面，平面，

四边形为正方形，

，，平面，

平面，

平面，

，

，，平面，

平面，

平面，

，

又为的中点，

；

（2）由于四边形为正方形，平面，

设，

以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

，，，

设平面的法向量，

则，令，则，即，

设直线与平面所成角为，

则.

即直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知椭圆过点分别为椭圆的左､右焦点，且焦距为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)若不与坐标轴平行的直线与椭圆相切于点为坐标原点，求直线与直线的斜率之积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程；

（2）可设的方程为()，与椭圆联立解出切点坐标，求出直线的斜率，即可求出直线与直线的斜率之积.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，

由已知可得，解得，

所以椭圆的方程为；

（2）由题意：可设的方程为，

与椭圆联立消去可得，

由直线与椭圆相切，可设切点为，

由判别式，整理得：.

解得，故点的坐标为

因此，直线的斜率为，

而直线的斜率为，

即直线与直线的斜率之积为.

所以直线与直线的斜率之积为.

21．已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.

(1)若直线又过的左焦点，求的值；

(2)若点的坐标为，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知求得的坐标，写出直线方程，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系及数量积的坐标运算求解；

（2）设直线方程为联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及平面向量数量积的坐标运算求解.

【详解】（1）解：由双曲线，可得，所以，

所以，设，，

所以直线的方程为，

由联立得：，

所以，

，

所以；

（2）解：由题意知直线的斜率存在，不妨设直线，

由，可得，

所以，

又，

所以

，

所以为定值.

22．在平面直角坐标系中，过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径，设点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)在轴正半轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】(1)方法一：由已知及抛物线的定义，通过数形结合可知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，从而可求其方程．

方法二：设动圆的圆心为，则，通过直接法求轨迹方程的方法，列出满足的关系式，化简即可得到点的轨迹方程．

(2) 假设在存在点满足题意，设直线的方程为，点，通过联立得，，由韦达定理可得，从而，同理可得，代入化简，由为定值可求，从而可求该点坐标．

【详解】（1）方法一：如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，

设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为，

在梯形中，由中位线性质可得

所以，又，所以，

由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为：；

方法二：设动圆的圆心为，则，

由圆与轴相切可得

即，整理可得；

（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，

设直线的方程为，点，

由得，，

则.

又，

同理可得，

则有.

.

若为定值，则，此时点为定点.

又当时，，所以，存在点，

当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值1．