2022-2023学年河南省南阳市第六完全学校高级中学高二上学期9月半月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省南阳市第六完全学校高级中学高二上学期9月半月考数学试题

一、单选题

1．已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.

【详解】解：直线l的斜率为k，且，

∴，.

∴.

故选：B.

2．直线经过第一、二、四象限，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】分析出直线的斜率以及该直线在轴上的截距的符号，即可得出、的符号.

【详解】因为直线经过第一、二、四象限，则该直线的斜率，可得，

该直线在轴上的截距，可得.

故选：C.

3．若直线不过第三象限，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线不过第三象限求得的取值范围.

【详解】过点，若直线不过第三象限，则.

故选：B

4．设m为实数，过两点的直线l的倾斜角为．求m的值（　　）

A．m＝﹣1或m＝﹣2 B．m＝﹣2

C． D．m＝﹣1

【答案】B

【分析】利用直线的斜率公式求解.

【详解】由题可知，

整理得，解得或.

经检验时，，是同一个点，不满足题意;

时，，满足题意.

故选:B.

5．已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】先求出含参数的直线所过定点坐标，然后求出直线两端点的斜率，

画出示意图，写出范围即可.

【详解】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0

，所以直线过点，

由题知，在轴上的截距取值范围是，

所以直线端点的斜率分别为：，如图：

或.

故选：D.

6．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】B

【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围.

【详解】如下图示，

当直线过A时，，

当直线过B时，，

由图知：或.

故选：B

7．“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立；

【详解】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；

当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.

综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.

故选：A.

8．已知直线，与平行，则的值是（　　）

A．0或1 B．1或 C．0或 D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意得：或，故选C.

【解析】直线平行的充要条件．

9．已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】动直线过定点，动直线过定点，且此两条直线垂直，因此点P在以AB为直径的圆上，设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]，代入中利用正弦函数的性质可得结果.

【详解】动直线过定点，动直线

即过定点，且此两条直线垂直．

∴点P在以AB为直径的圆上，，

设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]

，

∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，

∴sin（θ+）∈[，1]，

∴∈[，2]，

故选：D．

【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

10．当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.

【详解】解：因为圆的圆心为,半径，

又因为直线过定点A(-1,1),

故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，

此时有，即，解得.

故选：C.

11．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设椭圆右焦点，连接，，由椭圆对称性可知四边形为平行四边形，再由余弦定理可得出答案.

【详解】设椭圆右焦点，连接，，

根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则．

因为，可得．

所以，则，．

由余弦定理可得，

即，即

故椭圆离心率，

故选：C．

12．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.

【详解】由题意得，由,得，

则,

设()，由，得，

则，

又，由二次函数的性质可知，

，

所以的最小值为.

故选：C.

二、填空题

13．已知和两点到直线的距离相等，则的值为___________.

【答案】-6或

【分析】利用点到直线的距离公式可得，化简解出即可得出.

【详解】解：和两点到直线的距离相等，

，化为：，

解得或.

故答案为：-6或.

14．若两圆，的公共弦长为，则公共弦所在直线的方程为______.

【答案】

【分析】先将两圆方程作差求得公共弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值，再代入即可.

【详解】将，两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为，

圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离，解得，

此时为，即，圆心为，半径为，

易得两圆心距离为，且，所以两圆相交，满足题意，

所以公共弦所在直线的方程为.

故答案为：

15．已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.

【答案】##

【分析】由题意列方程组解出点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径

【详解】由已知条件得，，，则（－1，0），（1，0）.

设点P的坐标为（，），则，

，即①，

∵第一象限点P在C上，

∴则，即②，

联立解得

由椭圆的定义得

设的内切圆半径为r，则

又∵，

∴，即.

故答案为：

16．已知直线，则直线恒过定点______.

【答案】

【分析】依题意可得，令，解得即可.

【详解】解：直线即，

令，解得，所以直线恒过定点.

故答案为：

三、解答题

17．已知直线l:kx-2y-3+k=0.

(1)若直线l不经过第二象限,求k的取值范围.

(2)设直线l与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）根据直线的点斜式方程求出的方程即可；

（2）求出，的坐标，得到关于的方程，解出即可．

【详解】解：（1），

，

若直线不经过第二象限，

则，解得：；

（2）设直线与轴的负半轴交于点，

则，

与轴的负半轴交于点，

则，

故，

解得：，，

当时，直线方程是：，

当时，直线方程是：，

综上，直线方程是：或

【点睛】本题考查了直线方程问题，考查三角形的面积以及转化思想，是一道常规题．

18．已知关于x，y的方程.

（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；

（2）若圆C与直线相交于M，N两点，且，求m的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得，然后根据，可得结果.

（2）根据圆的弦长公式，可得结果.

【详解】（1）化简

得，

则当时，

方程C表示以为圆心，为半径的圆.

（2）圆心到直线l的距离

为.

，

解得.

【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.

19．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）过点作圆的切线，求切线方程.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）设圆心坐标，表示出圆心到直线距离，根据弦长公式，列方程求解；

（2）分类讨论当斜率不存在和斜率存在两种情况结合圆心到直线距离等于半径，分别求切线方程.

【详解】解：（1）设圆心

则圆心到直线的距离.

因为圆被直线截得的弦长为

.

解得或（舍），

圆.

（2）当切线斜率不存在时，直线方程为：，与圆相切，满足题意；

当切线斜率存在时，设直线方程为：，即：

则：

解得：

此时，切线方程为：，即：

所以，所求切线方程为：或

【点睛】此题考查根据圆的几何特征，根据弦长关系求解圆的方程，过圆外一点圆的切线方程，易错点在于漏掉考虑斜率不存在的情况.

20．已知圆经过，，三点.

(1)求圆的方程；

(2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用待定系数法求出圆的方程即可；

（2）设，利用得到点的坐标，将点代入圆，化简即可得到点的轨迹方程.

【详解】（1）设圆的方程为，

将三点，，分别代入方程，

则，解得，，，

所以圆的方程为；

（2）设，，

因为点满足，，

所以，，

则，所以.

因为点在圆上运动，

所以，

所以，所以，

所以点的轨迹方程为.

21．已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得，，即可得答案；

（2）设，，，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；

【详解】解：（1）由题意，∵，椭圆的离心率为，

∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为．

（2）设，，，

∴，

∵P点在椭圆上，∴，，

∴，

由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，

当时，取最小值0，

当时，取最大值12．

∴的取值范围是．

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.

22．已知直线恒过定点，圆经过点和定点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)已知点为圆直径的一个端点，若另一端点为点，问轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）先求出直线过定点，设圆的一般方程，由题意列方程组，即可求圆的方程；

（2）由（1）可知：求得直线的斜率，根据对称性求得点坐标，由在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得的值．

【详解】(1)直线的方程可化为，由解得

∴定点的坐标为． 设圆的方程为，则圆心

则依题意有 解得

∴圆的方程为；

(2)由(1)知圆的标准方程为,∴圆心，半径.

∵是直径的两个端点，∴圆心是与的中点，

∵轴上的点在圆外，∴是锐角，即不是直角顶点．

若是的直角顶点，则，得；         

若是的直角顶点，则，得.       

综上所述，在轴上存在一点，使为直角三角形，或.

【点睛】本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于中档题．