2022-2023学年河南省信阳高级中学高二上学期月考（五）数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省信阳高级中学高二上学期月考（五）数学试题

一、单选题

1．已知等差数列中，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算，即可得答案.

【详解】由题意等差数列中，

可得，

故选：B

2．已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α的位置关系是（    ）

A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．平行或在平面内

【答案】D

【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，即可求解.

【详解】根据题意，因为，所以，所以直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内．

故选：D.

3．若直线：与：互相平行，则a的值是（    ）

A． B．2

C．或2 D．3或

【答案】A

【分析】根据直线：与：互相平行，由求解.

【详解】因为直线：与：互相平行，

所以，即，

解得或，

当时，直线：，：，互相平行；

当时，直线：，：，重合；

所以，

故选：A

4．已知过点有且仅有一条直线与圆相切，则（    ）

A．-1 B．-2 C．1或2 D．-1或-2

【答案】A

【解析】由为圆的方程可得，又过点有且仅有一条直线与圆：相切，则点在圆上，联立即可得解.

【详解】解：过点有且仅有一条直线与圆：相切，

则点在圆上，

则，解得或，

又为圆的方程，

则，即，

即，

故选：A

5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，故，即，故渐近线方程为.

【解析】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.

6．下列说法正确的是（    ）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．方程不能表示平行轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程为

【答案】D

【分析】根据点斜式不能表示斜率不存在的直线判断A选项；

特殊值的思路，当时直线与轴平行，即可判断B选项；

根据正切函数的定义域即可判断C选项；

根据斜率公式和点斜式即可判断D选项.

【详解】A选项：当斜率不存在时，直线方程不能用表示，故A错；

B选项：当时，直线方程为，跟轴平行，故B错；

C选项：当时，不存在，故C错；

D选项：经过，两点时，直线斜率为，再根据点斜式得到直线方程为，故D正确.

故选：D.

7．在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将三棱锥补成正方体，计算出正方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，设线段的中点为，利用点、球心、点三点共线且球心在线段上时，最长可求得的最大值，由此可得出的最大值.

【详解】因为三棱锥中，、、两两垂直且，

将三棱锥补成正方体，

设三棱锥的外接球半径为，球心为，

则，，

取的中点，连接、，

，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心，

所以，平面，平面，，

，，

由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时，

取得最大值，且.

，，

所以，.

当且仅当时，等号成立.

因此，的最大值为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

8．等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为

A．23 B．25 C．23或24 D．23或25

【答案】D

【分析】先依据条件知等差数列的前25项为正数，从第26项起各项都为负数，所以可以判断的前23项为正数，为负数，为正数，从第27项起各项都为负数，而，故的前项和取得最大值时，的值为23或25．

【详解】，

等差数列的公差，

且

则，且，

由，知的前23项为正数，为负数，为正数，从第27项起各项都为负数，

而与是绝对值相等，符号相反，相加为零，

，之后越来越小，

所以数列的前项和取得最大值时,的值为，故选D.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求数列前项和取最值的判断方法．

二、多选题

9．如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.

【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，

所以

又直线m最陡峭，则，

所以，，．故选项BCD正确.

故选：BCD

10．在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的（    ）

A．若点总满足，则动点的轨迹是一条直线

B．若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个周长为的圆

C．若点到直线的距离与到点的距离之和为1，则动点的轨迹是椭圆

D．若点到平面与到直线的距离相等，则动点的轨迹抛物线.

【答案】ABD

【分析】根据线面垂直的判定定理可得面，可得面，进而可得在面与面的交线上可判断A；由已知可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的小圆（在平面内），可判断B；由可判断C；根据点到平面的距离以及点到直线的距离结合抛物线的定义可判断D；进而可得正确选项.

【详解】对于A：因为面，面，可得，

因为，，所以面，

因为点总满足，所以面，点面，

因为面，所以点在面与面的交线上，

所以动点的轨迹是一条直线，故选项A正确；

对于B：点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹是小圆，设小圆的半径为，因为球心到平面的距离为，所以，交线即以为圆心，为半径的小圆（在平面内），所以小圆的周长为，

故选项B正确；

对于C：点到直线的距离即是点到点的距离，即平面内点满足，所以满足条件的点的轨迹是线段，而不是椭圆，故选项C不正确；

对于D：点到平面与到直线的距离相等，则动点的轨迹是以线段的中点为顶点，直线为对称轴的抛物线，（在平面内），故选项D正确；

故选：ABD.

11．已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ）

A．

B．的最小值为0

C．

D．当且仅当时，取最大值30

【答案】AB

【分析】由递推式可知数列是等差数列，由，，可求得公差，从而可得数列的通项公式，即可判断选项；当时，，可判断B；当时，，当时，，从而可求得，即可判断选项C；当时，取得最小值为0，即可判断选项D．

【详解】由，可得，所以数列是等差数列，

因为，，所以公差，

所以，故A正确；

，当时，取得最小值为0，故B正确；

当时，，所以当时，，当时，，

所以当时，，

当时，

，

所以，故C错误；

当或时，取最大值30，故D错误.

故选：AB

12．已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ）

A． B．的最小值为2

C．直线BE的斜率为 D．为钝角

【答案】AC

【分析】对于A，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到；

对于B，利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值；

对于C，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到；

对于D，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知.

【详解】由椭圆C：得，则，，，

对于A，设将圆C的右焦点为，如图，连接，，

由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形，

故，故A正确；

.

对于B，，

当且仅当，且，即时，等号成立，

故的最小值为，故B错误；

对于C，设，，，故直线BE的斜率，故C正确；

对于D，设，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则，

又点P和点A在椭圆C上，故，，

两式相减得，则，故，

易知，则，得，

所以，故，故D错误.

故选：AC．

三、填空题

13．已知数列的前n项和，则其通项公式______．

【答案】

【分析】利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.

【详解】当时，，

当时，不适合上式，

∴，

故答案为:.

14．《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当 时，符合条件的最大的为____________.

【答案】

【分析】由题意可设，则，对m整除5的余数分情况讨论，即可求出符合题意的n的值，再结合即可求出符合条件的最大的．

【详解】由题意可设 ，

则 ，设 ，

当时，不存在，

当 时， ，n不存在，

当 时， ，满足题意，

当 时， ，n不存在，

当 时， ，n不存在，

即时满足题意， ，

又，则，即 ，

故k的最大值为，∴符合条件的最大的为 ．

故答案为︰．

15．如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段______.

【答案】或

【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.

【详解】因为，所以，

由于，，则，，

又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，

故，可得或.

故答案为：或

16．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．

【答案】

【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.

【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，

因为，所以，，，

因为，，，所以，则，

因为，，由，所以，因此．

故答案为：.

四、解答题

17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

18．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．

(1)求直线l的方程；

(2)若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.

（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.

【详解】（1）.

直线的斜率为，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为.

（2）设圆的标准方程为，

则，

所以圆的标准方程为.

19．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点．

(1)若，求证：平面；

(2)若是的中点，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于，连接，则可得∽，得，再结合已知可得，则∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）过作于，过作于，连接，可得是二面角的平面角，从而可求得结果

【详解】（1）证明：连接交于，连接，

因为∥

所以∽，

所以，

因为，

所以,

所以∥,

因为平面平面

所以∥平面

（2）过作于，

因为平面，平面，

所以平面平面，

因为平面平面，

所以平面，

因为平面，所以

过作于，连接，

因为，所以平面，

因为平面，

所以

所以是二面角的平面角，

不妨设，则，

因为，所以，

所以，所以，

所以，

所以，

所以

20．已知抛物线．过动点且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B．

(1)若，求a的取值范围；

(2)若线段的垂直平分线交于点Q，交x轴于点N，试求的面积．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据弦长公式可得，求解即可；

（2）根据中点坐标公式可求，根据两点间的距离公式可得，又是等腰直角三角形，从而可求.

【详解】（1）直线的方程为，

将代入，得.

设，

则

所以.

因为，

所以且，解得.

故a的取值范围是.

（2）设，由中点坐标公式，得，

，故.

所以.

因为线段的垂直平分线交于点Q，交x轴于点N，且直线的倾斜角为，

所以是等腰直角三角形，

所以.

21．如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.

(1)求证：；

(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明.

（2）由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.

【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，

又平面平面，且平面平面平面，

所以平面平面.

所以

（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，

所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.

因为异面直线与所成角的正切值为，

所以，即

又平面平面，

所以平面，又平面，平面平面，

所以

所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.

以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.

因为为正三角形所以，从而

由已知E，F分别是的中点，所以

则，所以，

所以，

因为，所以可设，平面的一个法向量为，

则，取，得，

又，则.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的取值范围为.

22．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

【答案】（1）；（2）证明见解析，公差为或．

【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．

（2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．

【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法

设，则.

两式相减，并由得，

由题设知，于是.①

由题设得，故.

［方法二］：【通性通法】常规设线

设，，当时，显然不满足题意；

由得，，所以，，

，即，而，所以，

又，所以，

，即，解得： ．

［方法三］：直线与椭圆系的应用

对原椭圆作关于对称的椭圆为．

两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．

又点在椭圆C内部可得，解得：．

所以．

［方法四］：直线参数方程的应用

设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．

（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想

由题意得，设，则

.

由（1）及题设得.

又点P在C上，所以，从而，.

于是.

同理，所以.

故，即，，成等差数列.

设该数列的公差为d，则

.②

将代入①得.

所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.

故，代入②解得.

所以该数列的公差为或.

［方法二］：硬算

由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．

由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．

由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，

，所以，而，故．

即该数列的公差为或.

［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用

因为线段的中点为，得．

由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，

由椭圆方程可知，

由椭圆的焦半径公式得，．所以．

由方法二硬算可得，或，从而公差为，即该数列的公差为或.

【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；

方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可证出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法．

方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；

方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；

（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；

方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；

方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．