2022-2023学年河南省信阳市高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省信阳市高二上学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把直线方程化为斜截式，求出斜率可得答案.

【详解】直线化为斜截式为，

斜率为－1，倾斜角为.

故选：D.

2．已知数列为等比数列，若，，则（    ）

A．－4 B．2 C．4 D．

【答案】C

【分析】运用等比数列的下标性质进行求解即可.

【详解】，∴，又，∴，所以，

故选：C

3．焦点坐标为的抛物线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为求出可得答案.

【详解】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为，

由，所以，

所以，抛物线方程为.

故选：B.

4．直线l的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即可求解.

【详解】若，则与共线，故选项错误；

若，则，即，故选项错误；

若，则与垂直，即，故选项正确；

若，则与共线，故选项错误，

故选：.

5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得到第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列，结合圆心角，利用求和公式求出答案.

【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为，第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.，

所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为.

故选：D.

6．方程（m，n为常数）不能表示的曲线是（    ）

A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】D

【分析】通过分析的取值，判断曲线表示的形状对选项一一判断即可得出答案.

【详解】解：若，，方程表示直线；

若，，方程表示椭圆或圆；

若，，方程表示双曲线；

由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线.

故选:D.

7．直线与圆交于A，B两点，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】求出圆心、半径，再求出圆心到直线的距离，利用可得答案..

【详解】由配方得，

所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离，

所以，.

故选：C.

8．已知正三棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，则直线与侧面所成角的正弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解法1取的中点D，连接AD，，根据线面的位置关系得到为直线与侧面所成角，然后在三角形中求解；解法2建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法进行求解.

【详解】解法1：如图，取的中点D，连接AD，，则由正三棱柱的性质可知平面，∴为直线与侧面所成角，在中，，故选A.

解法2：取的中点，连接，则由正三棱柱的性质可知平面.设AC的中点为D，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则，，平面的法向量，又，

设与平面所成角为，则.

故选：A.

9．过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．不能确定

【答案】A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可.

【详解】设直线l：，由，

得，（※）

设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在.

故选：A

10．已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.

【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.

由，得，从而，∴.

∵，∴.

故选:B

11．直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得出答案.

【详解】解：由曲线得，当时，；

当时，；直线恒过点，

所以直线与曲线的图象如图.

当直线与相切时，

此时，得，解得，

当直线与平行时，，

直线与曲线要恰有2个公共点，可得.

故选:A.

12．如图，过抛物线的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若，且，则（    ）

A． B． C．18 D．25

【答案】B

【分析】作出辅助线，求出，由三角形相似得到，进而求出，得到抛物线方程，设，，直线，联立抛物线方程，得到两根之积，由焦半径得到，进而求出，从而由焦点弦长公式求出答案.

【详解】设准线l与x轴交于点M，过A作，垂足为D，由抛物线定义知，

，由得，，

因为，所以，即，得，

所以抛物线方程为.

设，，则，所以.

设直线，联立，得到，

则，

∴，

∴.

故选：B.

二、填空题

13．若向量与向量共线，则______.

【答案】

【分析】考虑与，列出方程，求出.

【详解】当时，此时，，故不共线，

当时，向量，共线，所以，

∴.

故答案为：

14．双曲线的渐近线方程是_________.

【答案】

【解析】直接根据双曲线渐近线的定义求解即可.

【详解】因为双曲线为，所以其渐近线方程是，

故答案为：.

15．引江济淮是一项大型跨流域调水工程，2022年底试通航.如图是某段新开河渠的示意图.在二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为______.

【答案】##

【分析】设二面角为，由，对等式两边平方，由向量的数量积的定义代入化简即可得出答案.

【详解】解：设二面角为，由，得

，

∴，∵，∴.

故答案为：.

三、双空题

16．“雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.

如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第n个图形的周长为______.

【答案】         

【分析】设第n个图形为，边长为，边数，周长为，分析出，，从而求出，求出第3个图形的周长和第n个图形的周长.

【详解】记第n个图形为，边长为，边数，周长为.

有条边，边长；有条边，边长；

有条边，边长；……分析可知，

即；，即.

当第1个图中的三角形的边长为1时，即，，

所以.

当时，.

故答案为：，

四、解答题

17．设等差数列的前n项和为，若，.

(1)求的通项公式；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)-56

【分析】（1）设出公差，利用通项公式基本量，求和公式基本量计算，列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式；

（2）求出，利用二次函数的性质求出最小值.

【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得.

∴.

（2），

当且仅当或时，取最小值，的最小值为.

18．已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，，圆M：.

(1)求C与M的标准方程；

(2)过C上的点P作圆M的切线l，当l的倾斜角为时，求点P的坐标.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）由抛物线定义,求出，即可求出C的标准方程；将圆配成标准方程，由已知圆心即可求出M的标准方程.

（2）设切线l：，由直线与圆相切求出切线方程，两切线方程分别与抛物线联立即可求出点P的坐标.

【详解】（1）由抛物线定义可知，，∴，所以C的方程为.

将配方，得，

圆心，即圆M的标准方程.

（2）设切线l：，由，得，或.

所以，切线l：，或.

联立，，得点P的坐标为或；

联立，，得，此方程无解.

综上，所求点P的坐标为或.

19．如图，四棱锥中，为等边三角形，，，，E为CD的中点，平面平面ABCD.

(1)求点E到平面PBC的距离；

(2)求平面PBC与平面PBE的夹角.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由题意可得，平面ABCD，，分别以OB，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出和平面PBC的法向量，再由点到平面的距离公式代入即可得出答案.

（2）求出平面PBC与平面PBE的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】（1）取AB的中点O，连接OP，因为，为等边三角形，所以.

因为，平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD.

又，E为CD的中点，∴，∵，∴.

分别以OB，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设平面PBC的法向量为，则

，即.

令，得平面PBC的一个法向量为.

又，

所以点E到平面PBC的距离.

（2）又，

设平面PBE的一个法向量为，

则，即，

令，得平面PBC的一个法向量为.

则.

故平面PBC与平面PBE夹角为.

20．已知双曲线C与双曲线的渐近线相同，且点在C上，直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ关于直线对称.

(1)求C的方程；

(2)求直线l的斜率.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）设双曲线C的方程为，将点的坐标代入双曲线方程可得答案；

（2）易知直线l的斜率存在，设直线l：，设，，与双曲线方程联立，由，可得，韦达定理代入可得答案.

【详解】（1）设双曲线C的方程为，将点的坐标代入得，

∴，所以，双曲线C：，即C：；

（2）易知直线l的斜率存在，设直线l：，设，，

联立，可得，

所以，，

，

由直线AP，AQ关于直线对称，知，

可得，

即，

即，

所以，

化简得，即，

所以或，

当时，直线l：过点，与题意不符，舍去，

故.

21．已知数列前n项和为，，.

(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）根据数列前n项和与第n项的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；

（2）运用错位相减法进行求解即可.

【详解】（1）由题知，

即，

即，∵，∴，

∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，

∴，∴；

（2），

∴，①

∴，②

①－②得，

，

∴.

22．已知椭圆C：过点，点N为其左顶点，且MN的斜率为.

(1)求曲线C的方程；

(2)设，垂直于x轴的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AP和曲线C交于另一点D，证明：直线BD恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由点在上，可得，再由MN的斜率为，即可求出的值，即可求出曲线C的方程；

（2）设，，，设直线AP方程为，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理代入表示出直线BD的方程，化简即可求出直线BD恒过的定点.

【详解】（1）根据题意，把点代入椭圆得到①，

设，又，

∴，代入①式，求得，

∴椭圆C的方程为.

（2）证明：设，，，显然直线AP斜率不为0，

设直线AP方程为，

联立，消去x并整理得

，

由，

由韦达定理可得，，

直线BD的方程是，

化简得：

，

∵，

∴当时，.

∴直线BD过定点.