2022-2023学年河南省郑州市第九中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市第九中学高二上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市第九中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知空间向量，，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.【详解】.故选：B.2．已知在数列中，，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】推导出数列的周期，利用数列的周期性可求得的值.【详解】因为，则，，故.故选：A.3．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为(    )A． B．C． D．【答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为，半径，∴圆的方程为﹒故选：A﹒4．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（    ）A． B．13 C．45 D．117【答案】C【分析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以.故选：C5．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线标准方程直接判断.【详解】方程即为，由方程表示双曲线，可得，所以，，所以虚轴长为，故选：B.6．在等比数列中，公比是，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：当时，则，因为，所以，所以，故，所以不能推出，当时，则，由，得，则，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】因为的周长为8，所以，由椭圆的定义可知：所以，由题意可得：，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．故选：C【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.8．如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是(    )A． B．C． D．【答案】D【分析】在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,即可求得答案.【详解】连接可得:又故选: D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.9．已知三棱柱的所有棱长均为2，平面，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【详解】以为坐标原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，∴，∴异面直线，所成角的余弦值为.故选：A10．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，动圆圆心为，半径为，当两圆外切时：，所以；当两圆内切时：，所以；即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，， ，所以动圆圆心的轨迹方程为：，故选：C.11．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.【详解】设等边三角形的边长为，则，解得．根据抛物线的对称性可知，且，设点在轴上方，则点的坐标为，即，将代入抛物线方程得，解得，故抛物线方程为．故选：A12．已知双曲线的离心率为，左焦点为F，实轴右端点为A，虚轴上端点为B，则为（    ）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形【答案】A【分析】根据三边的关系即可求出．【详解】因为，所以，而，，，所以，即，所以为直角三角形．故选：A． 二、填空题13．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________．【答案】【分析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程．【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为．故答案为：．14．记为等比数列的前n项和，若，公比，则______．【答案】4【分析】根据给定条件列式求出数列的首项即可计算作答.【详解】依题意，，解得，所以.故答案为：415．若直线与直线平行，且原点到直线的距离为，则直线的方程为____________.【答案】【分析】可设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求得，即可得解.【详解】可设直线的方程为，即，则原点到直线的距离为，解得，所以直线的方程为.故答案为：.16．椭圆C：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，，直线交椭圆于点B，，则椭圆的离心率为______．【答案】（也可以）【分析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与之间等量关系，然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.【详解】由题意知三角形为等腰直角三角形，设，则，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，．故答案为：（也可以） 三、解答题17．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．(1)求p的值；(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；（2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线的方程，与抛物线进行联立可得，利用韦达定理可得，即可得到答案【详解】（1）由抛物线可得焦点，准线方程为，又因为抛物线的焦点到其准线的距离为，所以；（2）由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，则直线的方程为设，联立，整理可得，所以，由抛物线的性质可得．18．已知直线．(1)求证：直线过定点；(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．【答案】(1)直线过定点，证明见详解；(2) 【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明.（2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程.【详解】（1）证明：方程化为：，由直线系方程的性质有：，解得，故直线恒过点（2）设直线，则由题意得：，解得，所以直线，即，所以所求直线方程为：.19．已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求相邻两项的关系计算作答.(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法求出，即可作答.【详解】（1）依题意，，，则当时，，于是得：，即，而当时，，即有，因此，，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以数列的通项公式是.（2）由(1)知，，从而有，所以.20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．                (1) 证明：PB∥平面AEC                (2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积【答案】【详解】试题分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC. (2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝. 因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝. 【解析】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 21．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等比数列的前项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得和公比后可得通项公式；（2）用错位相减法求得和．【详解】（1）设数列的公比为q，由，，得，解之得所以；（2），又，得，，两式作差，得，所以．22．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题可根据题意得出、，然后结合，即可求出、以及椭圆的标准方程；（2）可设、，通过联立直线方程与椭圆方程得出、，然后根据点到直线距离以及三角形面积公式得出，再然后令，则，，最后根据的取值范围即可得出结果.【详解】（1）因为焦距为，所以，，因为点在椭圆上，所以，联立，解得，，椭圆的标准方程为.（2）设，，联立，整理得，，则，，原点到直线的距离为，则的面积，令，则，，令，则，函数在上单调递增，故，，面积的取值范围为.