2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期期末质量检测数学（文）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期期末质量检测数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省周口市太康县高二上学期期末质量检测数学（文）试题 一、单选题1．已知，，，则（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的运算法则即可求解.【详解】.故选：C.2．正四棱锥的所有边长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由题可得，进而即为与所成角，然后结合条件可得，进而即得.【详解】因为正四棱锥的所有边长都相等，为的中点，设，连接，则是的中位线，故，所以为异面直线与所成的角或其补角，设，则，，，所以，即，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：C．3．若直线的方向向量，平面的法向量，则（    ）A． B． C． D．或【答案】D【解析】直接利用空间向量数量积的坐标表示计算可得到答案.【详解】直线的方向向量，平面的法向量由，则或，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程.【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以，又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.故选：D5．已知 ， 则 （    ）A．506 B．1011 C．2022 D．4044【答案】D【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.【详解】解：，， ，，，，显然，当时，满足，∴，.故选：D.6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(    )A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值，即可求解.【详解】由题意，易知直线的方程为，且,∵圆可化为，∴圆心为，半径为1，又∵圆心到直线的距离，∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，故面积的最小值为.故选：D.7．点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（    ）A．  B． C．3 D．9【答案】C【分析】根据题意可得：直线l：x－y＋1＝0经过圆心（－，－1），代入运算解得k＝4，再代入求圆的半径．【详解】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，则圆心坐标为（－，－1），半径为因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.故选：C．8．设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的公差（    ）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】D【分析】根据等差数列的求和公式及等差中项化简求值即可.【详解】，，成等差数列，且，，，解得．故选：D．9．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，        故离心率e＝选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 10．一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有（    ）A．442个 B．408个 C．340个 D．306个【答案】C【分析】根据题意可知是等差数列，可得，公差，，求出，然后用等差求和公式即可【详解】设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列，共排座位，故得到首项，公差，，由可得，所以座位总数为，故该礼堂的座位总数共有340个，故选：C.11．已知双曲线：的右焦点为，圆的半径为2，双曲线的一条渐近线与圆相交于、两点，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用列方程，化简求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线，右焦点，一条渐近线，到渐近线的距离，所以，离心率.故选：B12．设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标的特点结合基本不等式求解出的最小值.【详解】如图所示：因为圆的方程为即为，所以圆心为即为抛物线的焦点且半径 因为，所以，又因为，，所以，设，所以，所以，所以，所以，取等号时.综上可知：.故选：D.【点睛】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.(1)已知抛物线上任意一点以及焦点，则有；(2)当过焦点的直线与抛物线相交于，则有. 二、填空题13．已知向量，若，则____________．【答案】【分析】根据向量共线定理，结合其坐标表示列方程组求参数即可.【详解】由题设且，则，解得.故答案为：14．已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，则______．【答案】4【分析】根据抛物线的几何性质以及向量的运算性质即可得出结论.【详解】设，而，则，①，，，由，得，所以，②联立①②得：.故答案为：415．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.【答案】【分析】由线段与y轴交于点Q，得点横坐标，代入椭圆方程得点纵坐标，由为等腰三角形，得，用表示此等式转化为离心率的方程，解之可得．【详解】，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故答案为：．16．将等差数列按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20 行从左至右的第5个数是________.【答案】583【分析】根据题意，记每一行的第1个数组成数列利用累加法分析求出的值，进而分析可得答案.【详解】记每一行的第1个数组成数列则累加得所以则第20行从左到右的第5个数是故答案为：583   三、解答题17．已知向量(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以，又因为，所以故与夹角的余弦值为.18．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．（1）求证：；（2）求EF与C1G所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，所以，即，所以.（2）由（1）知，，，则，因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.19．已知等差数列，(1)求的通项公式(2)求数列的前n项和为【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用等差数列的通向公式列方程求解；（2）利用等差数列的求和公式计算.【详解】（1）由已知得，解得的通项公式为，即；（2）由（1）得数列的前n项和20．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）【答案】（1）直角坐标系见解析，拱桥所在的抛物线方程是  （2）0.6m【分析】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A,B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得；（2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h，再由，可知船身应降低高度。【详解】解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，设拱桥所在的抛物线方程为， 因点在抛物线上，代入解得，故拱桥所在的抛物线方程是． （2）因，故当时，，故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低， 因精确到0.1m，故船身应降低0.6m． 答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞．【点睛】本题考查抛物线性质，是一道实际应用题，难度不大。21．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为.①求的最大值；②当取得最大值时，求的值.【答案】（1），（2）①1，②【解析】（1）设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则由题意可得，从而椭圆方程为，将代入椭圆方程，解出，即可得到椭圆方程（2）由直线与圆相切得，则，设，将直线代入椭圆方程得，，，根据根与系数的关系和弦长公式可得，设点到直线的距离为，可得的面积，设，由直线与圆相切于点，可得，则，可得，可得，由，，即可得答案【详解】解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，将代入椭圆方程，可得，解得，所以椭圆方程为（2）①由直线与圆相切得，则，设，将直线代入椭圆方程得，，，因为，所以，且，所以设点到直线的距离为，所以的面积为，当，得时等号成立，所以的最大值为1②设，由直线与圆相切于点，可得，则，可得，所以，因为，所以，所以【点睛】此题考查了直线与椭圆的位置关系、直线与圆相切、点到直线的距离公式、韦达定理、三角形面积公式、基本不等式的性质、弦长公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题22．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）利用点在双曲线上和点到渐近线的距离等于2得到关于、的方程组，进而求得标准方程；（2）先分析直线l不存在斜率时的情形，再设出直线l方程，联立直线和双曲线方程，得到关于的一元二次方程，利用直线l与双曲线C的右支相交于两点得到斜率的取值范围，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形外心的几何性质进行求解.【详解】（1）解：由在双曲线C上，得，由TP垂直x轴于点P，得，则由到双曲线C的渐近线的距离为2，得，得，联立和，解得，，即双曲线C的标准方程为.（2）解：由题意，，当直线无斜率时，直线方程为，则、，则为等腰三角形，若的外接圆的圆心Q在y轴上，则，而，，，不符合题意（舍）；当直线存在斜率时，设直线方程为，联立，得，即设直线l与双曲线C的右支相交于、，则，解得，即或；则，，从而，则线段AB的中点，且.由题意设，易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，得，即，连接QP，QA，QM，因此.由勾股定理可得，，又，则，化简得，得（舍去），因此直线l的方程为，即或.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知条件和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化，如本题中将是的外心转化为且；二是设而不求，其主要思路是：要先设出直线方程，与圆锥曲线联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系求解，通常情况下设直线方程要注意直线斜率不存在的情况.