2022-2023学年黑龙江省绥化市海伦市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省绥化市海伦市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，则的公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.

【详解】设的公差为，则，解得．

故选：B．

2．若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量线性关系的坐标运算求即可.

【详解】.

故选：D

3．椭圆的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将椭圆方程化成标准方程即可求出焦点坐标

【详解】由可知

椭圆方程可化为，

设焦距为，

因为，

所以焦点在x轴上，且

，

所以，

所以椭圆的焦点坐标是.

故选：A.

4．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.

【详解】.

故选:C

5．双曲线：的右焦点到其渐近线的距离是（    ）

A． B．4 C．5 D．

【答案】B

【分析】求出右焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由可得，，所以，

所以右焦点坐标为，渐近线方程为即，

所以点到渐近线的距离，

故选：B.

6．直线：与椭圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交

【答案】A

【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系；

方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系.

【详解】方法1：

∵，即：，

∴直线l恒过定点，

又∵椭圆

∴，

∴定点M在椭圆内，

∴直线l与椭圆相交.

方法2：

∴恒成立，

∴直线l与椭圆相交.

故选：A.

7．已知直线l过点，且与直线：和：分别交于点A，B．若P为线段AB的中点，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设出A点的坐标，根据中点坐标公式求出B点坐标，分别代入两条直线方程，解方程组求得A点坐标，利用点斜式求出直线l的方程.

【详解】设，由中点坐标公式，有

在上，B在上，，解得，

，

故所求直线的方程为：，即，

故选：D

8．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的关系性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线，如图从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用双曲线的离心率为，不妨设，利用双曲线的定义结合勾股定理求出，由余弦定理可得出结果.

【详解】由，不妨设，则，

设，则，

由题意可得：，即，

解得或（舍去），

故，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ）

A．18 B．19 C．20 D．21

【答案】BC

【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.

【详解】由题意，得，所以.

故选：BC.

10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ）

A．始终过定点

B．若，则或-3

C．若，则或2

D．当时，始终不过第三象限

【答案】ACD

【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.

【详解】：过点，A正确；

当时，，重合，故B错误；

由，得或2，故C正确；

：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

11．若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（       ）

A．若，则曲线为椭圆

B．若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则

C．若曲线为双曲线，则或

D．曲线可能是圆.

【答案】BCD

【分析】利用椭圆，双曲线和圆的方程特征求解判断.

【详解】A.若方程表示椭圆，则，解得且，故错误；

B.若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，故正确；

 C.若曲线为双曲线，则，解得或，故正确；

D.曲线是圆，则，解得，故正确；

故选：BCD

12．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ）

A．以为直径的圆与抛物线的准线相切

B．

C．

D．若直线的倾斜角为，且，则

【答案】ACD

【分析】根据抛物线焦点弦性质，抛物线定义，数形结合思想解决即可.

【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程是，

由题意知，直线的斜率一定存在，

设其方程为，联立

消去得，

设线段的中点，

所以，

所以点到准线的距离，

所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确；

由韦达定理，得，故B错误；，

所以

，故C正确；

若直线的倾斜角为，且，则点在点左侧，

如图，直线与准线交于点，分别表示点到准线的距离，

则，设，则，

又，

所以，所以，故D正确.

故选:ACD.

三、填空题

13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的点，若，则________．

【答案】3或15##15或3

【分析】由双曲线的方程及定义可求得结果.

【详解】由题意知：，，所以，

由双曲线的定义知，，

又∵，

∴或，

经检验，或都符合条件.

故答案为：3或15.

14．已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为________．

【答案】

【分析】设点P的坐标，代入求距离，消去y，求距离取最小值时点的坐标.

【详解】设点，则，

当时，，此时点.

故答案为：.

15．若周长为15的三角形的三边成等差数列，最大内角为120°，则三角形的面积是__________．

【答案】

【分析】先求出三角形的三边分别为：3、5、7，即可求出三角形的面积.

【详解】设等差数列的公差为.

由周长为15的三角形的三边成等差数列，可得三边分别为.

由余弦定理得：，解得：.

所以三角形的三边分别为：3、5、7.

所以三角形的面积是.

故答案为：.

16．香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”．如图2所示，在“相似椭圆”，中，由外层椭圆的下顶点和右顶点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则该组“相似椭圆”的离心率为________．

【答案】##0.5

【分析】分别写出切线的方程，与内层椭圆联立方程，根据判别式为零分别表示出，再根据斜率之积等于解出离心率.

【详解】设内层椭圆的方程为，

因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，

设切线的方程为，与联立，得，

又，所以.

设切线的方程为，与联立，得，

又，所以.又，

所以，因此.

故答案为：

四、解答题

17．记为的等差数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求的最小值及取得最小值时的值．

【答案】(1)

(2)当时，的最小值为

【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和的基本量列方程组求解；

（2）求出数列的前项和根据二次函数的特点求出最值.

【详解】（1）设等差数列的公差为

，即，又因为

，

故

（2）

当时，的最小值为

18．已知双曲线C：的离心率为，且经过点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)求双曲线C的左顶点到渐近线的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求解双曲线方程；

（2）根据双曲线方程，分别求左顶点坐标，以及渐近线方程，代入点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为，且经过点，

所以，解得：，

所以双曲线C的方程为．

（2）双曲线C：的左顶点为，渐近线方程为，

所以双曲线C的左顶点到渐近线的距离为．

19．在正四棱柱中，，E为的中点，F为上靠近B的三等分点．

(1)求异面直线CF与所成角的余弦值；

(2)求直线CF与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量的数量积计算求解；

（2）根据线面角的正弦等于线法角余弦的绝对值求解．

【详解】（1）解：以D为原点，分别以方向为轴，建立如下所示的空间坐标系，

则由题意可知：，，，，，，，

∴ ，，

设，

则，

∵ F为上靠近B的三等分点，

∴ ，

，

，

，

，

，

设异面直线CF与所成角为且，

则．

（2）解：由（1）可求得：，，，

设为平面的法向量，

则，

即，

解得：，

，

，

设直线CF与平面所成角为，

则．

20．已知圆：和点．

(1)过点向圆引切线，求切线方程；

(2)求以点为圆心且被直线截得弦长为8的圆的方程；

(3)过点的直线与圆交于，两点，求弦中点轨迹的方程．

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）根据直线与圆的位置关系运算求解，注意讨论直线斜率是否存在；

（2）先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求半径，即可得结果；

（3）根据几何性质求点A的轨迹方程，注意x的取值范围.

【详解】（1）由题意可知：圆：的圆心，半径，

对于过点的直线，则有：

当斜率不存在时，则，此时圆心到直线的距离，即符合题意；

当斜率存在时，设斜率为，则，即，

可得，解得，

故直线；

综上所述：所求直线方程为或.

（2）由题意可得：点到直线的距离，

则圆的半径，

故圆的方程为.

（3）设弦中点为，则，故点在以为直径的圆上，

即点在以为圆心，半径的圆上，故点满足，

联立方程，整理可得，

由题意可知：点在圆：内，

即弦中点的轨迹方程为.

21．已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为．

(1)求的方程；

(2)已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解；

（2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解.

【详解】（1）由题意可知，点F的坐标为，

因为，所以点P的横坐标为，不妨设，

将点P坐标代入得，

所以的面积，解得，

所以C的方程是.

（2）当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意.

当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，，

则，两式相减得，

因为点(1,1)是线段AB的中点，所以，

所以

所以直线的方程为，即.

22．已知椭圆C：的离心率为 ，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，理由见解析．

【详解】试题分析：（1）由右焦点求得值，由离心率求得值，进而，从而确定椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，借助于根与系数的关系将转化为用两交点坐标来表示，进而转化为直线的斜率和点坐标来表示，观察关系式得到为定值时需满足的条件

试题解析：（1）由已知可得，解得，所求的椭圆方程为

（2）设点且斜率为的直线的方程为

由得，则

解得

设，则

又，

．

设存在点，则，，

所以

，

要使得（为常数），只要，

从而，

即

由（1）得，

代入（2）解得，从而，

故存在定点，使恒为定值．

【解析】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题