2022-2023学年黑龙江省绥化市肇东市第四中学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省绥化市肇东市第四中学校高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.

【详解】若等差中项为m，则，可得；

若等比中项为n，则，可得；

故选：B

2．直线的倾斜角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.

【详解】由可得，所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以，

故选：D.

3．已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为-2，则的方程为（    ）

A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0

C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=0

【答案】C

【分析】根据直线方程的截距式即可求解.

【详解】由题意可得直线的方程为，

整理可得2x-3y-6=0.

故选：C

4．经过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，联立方程组交点为，设所求直线方程为，把点代入直线，求得，即可求解.

【详解】由题意，联立方程组，解得，即交点为，

设与直线垂直的直线方程为，

把点代入，即，解得，

即所求直线方程为.

故选：D.

5．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（    ）

A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)

【答案】B

【分析】将直线方程化为点斜式可得答案.

【详解】将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，

故选：B.

6．已知数列是等差数列，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质计算即可判断作答.

【详解】因数列是等差数列，又，则，解得，

所以.

故选：B

7．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则

A． B． C． D．与相交

【答案】C

【分析】由已知得，从而得到l⊥．

【详解】解：∵直线l的方向向量为，

平面的法向量为，

∴，∴，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝16，a6＝8，则数列{an}的公差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】由等差数列前n项和公式及等差数列性质得S84×（a1+a8）＝4×（a3+a6）＝16，从而求公差．

【详解】解：由题意知，S84×（a1+a8）＝4×（a3+a6）＝16，故a3+a6＝4，

而a6＝8，故a3＝﹣4，故d4，

故选：D．

9．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】由椭圆中a，b，c的关系求出短半轴长b的值，再按焦点位置分别写出所求方程.

【详解】因椭圆中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则，，，

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：，

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：．

故选：D

10．为等比数列的前项和，且，，则的值为（    ）

A． B．或 C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据，求出公比为即可.

【详解】设公比为，则解得或，故或．

故选：C.

11．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题不正确的是（    ）

A．的最大值为12 B．数列是公差为的等差数列

C．是4的倍数 D．

【答案】D

【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断．

【详解】设等差数列的首项为，则由，得

，解得,

所以等差数列的通项公式为

，

故C正确；

等差数列的前项和为

，

由二次函数的性质知，当取与最接近的整数即或时，取最大值为

，故A正确；

，故D不正确；

，

所以是关于的一次函数，

即数列是公差为的等差数列，故B正确

故选：D．

二、概念填空

12．直线与椭圆的位置关系是(        )

A．相离      B．相切      C．相交      D．无法确定

【答案】C

【详解】联立，则

所以直线与椭圆相交

故选：C

三、填空题

13．已知点在焦点为、的椭圆上，则______．

【答案】8

【分析】根据椭圆的定义计算可得；

【详解】解：因为点在焦点为、的椭圆上，所以，所以，

所以，

故答案为：

14．已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.

【答案】

【分析】由题意可得，根据线面平行可得，则，进而得到的值.

【详解】由题意，知，

∴，即，∴.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.

15．已知数列的前n项和，则的通项公式是__________．

【答案】

【分析】根据计算可得；

【详解】解：因为数列的前n项和，当时，当时，，当时，不成立，所以；

故答案为：

16．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的取值范围.

【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，

可得，解得：，

所以实数的取值范围为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.

17．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且面积的最大值为，求椭圆的标准方程.

【答案】

【分析】由面积的最大值为列出方程求解即可.

【详解】∵面积的最大值为，∴

，则，

故答案为:

四、解答题

18．中, , 边上的高所在直线的方程为,边上的中线所在直线的方程为 .

(1)求直线的方程;

(2)求直线的方程;

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由所在直线的方程，利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，再由点斜式可得出的直线方程；

（2）先求出点，点的坐标，再根据两点式写出的直线方程.

【详解】（1）由已知得直线的斜率为,

∴边所在的直线方程为，即.

（2）由,得.

即直线与直线的交点为.

设,

则由已知条件得,

解得,

∴.

∴边所在直线的方程为,

即.

19．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.

（1）求的值.

（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长、焦距、离心率

【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解.

（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.

【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，

得，解得

（2）由（1）知，椭圆方程为，则

椭圆的长轴长；’

短轴长；

焦距；

离心率.

【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.

20．已知数列是公差不为零的等差数列，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解出答案；

（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可求出答案．

【详解】（1）解： ，即，

故，

又，

，，

．

（2）解：，

．

即

21．记为等差数列的前n项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式；

（2）利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）设公差为，，

∴，解得，

∴．

（2）∵，，

∴＝，

∴当时，最小，最小值为．

22．如图，在直三棱柱中，为的中点.

（1）证明：平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【分析】（1）由等腰三角形有，结合面面垂直的性质易得面，再由线面垂直的性质有，由勾股定理知，即可证平面.

（2）过D作，构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，标注、、、的坐标，进而求面、面的法向量，利用法向量夹角与二面角夹角的关系求二面角的余弦值即可.

【详解】（1）∵为的中点，

∴，

∵直三棱柱中，面面，面，面面，

∴面，又面，即，

由题设易知：，故，又，

∴，则，又，

∴平面.

（2）过D作，由（1）可构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：

∴由题意：，，，，

∴，，，

显然，是面的一个法向量，

若是面的一个法向量，则，令，则，

∴，由图知：钝二面角的余弦值为.