2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二上学期期末联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二上学期期末联考数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求出直线的斜率，进而可求解倾斜角.【详解】由题，将直线方程转化为斜截式方程可得，所以直线的斜率，因为，所以，故选:C.2．椭圆的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标公式，代入计算即可得到结果.【详解】因为椭圆，则，则焦点坐标为故选:B.3．在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】如图所示，故选:D.4．若直线和直线平行，则的值为（    ）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得【详解】直线和直线平行，可得，得.故选：A.【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.5．设圆，圆，则圆，的公切线有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．故选：B．6．若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】联立方程，等价转化为二次方程的根，列得不等式组，可得答案.【详解】将代入，可得，由题意，等价于存在两个大于等于零小于等于1且不相等的实数根，则，解得，故选：C.7．已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【详解】由题意，，，即，，整理可得，，则，解得.故选：A.8．已知点为直线上的一点，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（    ）A．5 B．6 C．2 D．1【答案】C【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合，即可求解.【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，可得圆心距，所以，当共线时，取得最小值，故的最小值为.故选：C. 二、多选题9．已知直线，则（    ）A．倾斜角为 B．恒过点C．直线的方向向量为 D．在x轴上的截距为2【答案】BC【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A，点的坐标代入直线方程可判断B，根据直线斜率判断C，求出直线在轴上截距判断D.【详解】由可得，即直线斜率，所以倾斜角为，故A错误；点代入直线方程，成立，故B正确；因为直线斜率，而与原点连线斜率也是，与直线平行，所以是直线的一个方向向量，故C正确；令，可得，即在x轴上的截距为，故D错误.故选：BC10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ）A．当或时，曲线是双曲线B．当时，曲线是椭圆C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则【答案】AD【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确.故选：AD.11．过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ）A．B．四边形的外接圆方程为C．直线方程为D．三角形的面积为【答案】BCD【分析】求出，由勾股定理求解，即可判断选项；利用为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项；利用，求出直线的斜率，即可判断选项；求出直线和的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项.【详解】对于，由题意可得：，由勾股定理可得，，故选项错误；对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为，半径为，则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以，所以直线的方程为，故选项正确；对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，所以两条直线的交点坐标为，则，，故的面积为，所以的面积为，故选项正确，故选：.12．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ）A．椭圆的离心率是B．线段长度的取值范围是C．的面积存在最大值D．的周长存在最大值【答案】ABC【分析】求得半圆的方程和半椭圆的方程判断AB选项，分别求得直线与半圆和半椭圆的交点，利用面积公式判断选项C，由的周长为求解判断.【详解】解：由题意得半圆的方程为，设半椭圆的方程为，又，则，则半椭圆的方程为，则椭圆的离心率，故正确；直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则线段长度的取值范围是；不妨设，则由，可得；由，可得；则，（当且仅当时等号成立），故C正确；的周长为，则在上单调递减，则的周长不存在最大值.故D错误故选：ABC 三、填空题13．已知，，则向量与的夹角为______.【答案】##【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】，故答案为：14．双曲线的渐近线方程为______.【答案】【分析】根据双曲线方程得到焦点在轴，，，即可得到渐近线方程.【详解】双曲线，焦点在轴，，，渐近线方程为.故答案为：15．若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为___________.【答案】4【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆可得圆心，半径为3，直线，即，直线过定点P，又因为，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时，此时，故答案为：4.16．已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为______.【答案】##【分析】连接，设利用双曲线的定义得到利用直角和直角构造的关系，即可求出答案【详解】连接，设则，由双曲线的定义可得在直角中，，即，化简可得，在直角中，，即，将代入上式可得整理可得，所以，故答案为： 四、解答题17．的三个顶点分别是，，.(1)求边的垂直平分线所在直线方程；(2)求内边上中线方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先得到线段的中点，再利用垂直平分线得到，接着用点斜式即可求解；（2）利用截距式即可得到中线的方程，注意加上对应范围【详解】（1）由，可得线段的中点为，，因为是边的垂直平分线，所以，则所在直线方程：即（2）由（1）可得线段的中点为，故边上中线方程为即，所以内边上中线方程：18．已知圆心为，且经过点的圆.(1)求此圆C的方程；(2)直线与圆相交于、两点.若为等边三角形，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据等边三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为圆心为，所以圆的方程设为，该圆过，所以有，所以圆C的方程为；（2）由（1）可知该圆的半径为因为为等边三角形，且边长为，所以该等边三角形的高为，所以圆心到直线的距离为，即，所以直线的方程为或19．如图，四棱雉的底面是矩形，底面，，为的中点，且.(1)求线段的长度；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，设，由，即可得到，从而得到结果；（2）由（1）中的结论，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式，代入计算即可得到结果.【详解】（1）∵平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，设，则、、，、、，则，，∵，则，解得，故；（2）设平面的法向量为，，，由，取，可得，，直线与平面所成角正弦值为.20．已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据椭圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解即可；（2）运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解即可.【详解】（1）设的焦距为，，因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.所以，所以，所以，所以的方程为；（2）设，，代入椭圆方程得两式相减可得，即.由点为线段的中点，得，，则的斜率，所以的方程为，即.【点睛】关键点睛：运用点差法是解题的关键.21．如图，直三棱柱，.(1)证明：；(2)设为的中点，，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据与证明平面.（2）以为原点，分别为非负半轴建立直角坐标是，用空间向量法解决.【详解】（1）直三棱柱，平面，并且平面，又，且，平面平面，又平面，.（2），，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，所以的中点，则，，，设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，因所求角为钝角，所以二面角的余弦值为.22．已知椭圆的离心率为，为其左焦点，过的直线与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)试求面积的最大值以及此时直线的方程.【答案】(1)；(2)最大值为，此时直线的方程. 【分析】（1）根据给定条件，求出a，b即可作答.（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理、三角形面积列出函数式，借助对勾函数性质求解作答.【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，而离心率，则，，所以椭圆的标准方程为：.（2）显然直线不垂直于y轴，设其方程为：，设，由消去x得：，则，，因此的面积，令，有，而函数在上单调递增，因此当，即时，取得最小值4，取得最大值，此时直线，所以面积的最大值为，此时直线的方程.