2022-2023学年湖北省襄阳市第四中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳市第四中学高二上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案.

【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，

所以，

所以的值为，

故选：D.

2．双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（    ）

A．22 B．2 C．2或22 D．24

【答案】A

【分析】设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得.

【详解】设的上、下焦点分别为，则．

因为,,所以，，则，

由双曲线的定义可知，，即，

解得或，

当时，，不符合题意；

当时，，符合题意.

综上所述：.

故选：A

3．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，圆上有且只有一个点满足，则的值为（    ）

A．1 B．3 C．1或5 D．2或3

【答案】C

【分析】设，由两点间的距离公式得，又圆上有且仅有一点P满足，分两圆外切和内切，即可得到答案.

【详解】设，由，

得，

整理得，

又圆：上有且仅有一点满足，

所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为2，

圆：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3，

当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得.

综上可知，或.

故选：C.

4．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分别求解，在同一支上和不在同一支上，结合这样的直线有且只有两条，列出不等式组或，即得解

【详解】若，在同一支上，当时为双曲线的通经，即有；

若，不在同一支上，则．

因为与不可能同时等于6，所以或，

解得或

故选：B

5．已知数列的前项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由得，即，根据等比数列的定义可得答案.

【详解】，，

因为，所以，

可得，而，

所以时，是以为首项，为公比的等比数列，，

所以.

故选：A.

6．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则为等比数列，由此求出塔形表面积的表达式，令即可得出的范围．

【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，

，，，

则为以2为首顶，以为公比的等比数列，

是以4为首项，以为公比的等比数列．

塔形的表面积，

令，解得，

该塔形中正方体的个数至少为5个．

故选：B．

7．在数列中，，且，若数列单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A．（2，） B．（2，3） C．（，4） D．（2，4）

【答案】C

【分析】由递推关系，结合条件，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a的取值范围.

【详解】因为，所以，，

所以，又， ，

所以数列的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，

所以当为偶数时，，

当为大于等于3的奇数时，，

因为数列{an}单调递增，所以，

所以当为大于等于3的奇数时，，化简可得，

当为大于等于4偶数时，，解得，

由可得，，

所以，

故选：C.

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（    ）

A．4956 B．4959 C．4962 D．4965

【答案】B

【分析】先利用累加法求出，得到当时，；当时，；当时，；当时, ，直接求和可得答案.

【详解】由，且，根据累加法可得：

，

所以.

所以.

当时，；

当时，；

当时，；

当时, .

因此.

故选：B.

二、多选题

9．已知等差数列的前n项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．当时，取得最小值

【答案】ACD

【分析】根据题干条件利用可得到，，，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.

【详解】因为，所以，，.

对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误；

对于C，因为，所以，故选项C正确；

对于D，因为，，可知，，等差数列为递增数列，

当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确.

故选：ACD.

10．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ）

A． B．数列的通项公式为：

C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列

【答案】ACD

【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.

【详解】因为，

所以当时，，

两式相减得，所以，

又因为当时，满足上式，

所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，

，

所以

，

故C正确；

因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，

故D正确.

故选:ACD.

11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ）

A．

B．若，则直线AB的斜率为

C．若抛物线上存在一点到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为

D．若点F到抛物线准线的距离为2，则的最小值为

【答案】AD

【分析】通过设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，，

选项均可转化为坐标的运算，代入根与系数的关系，得到结果，

C选项可直接根据焦半径公式，计算并判断.

【详解】设，，直线l的方程为，

由        得，则，．

对于A，，故A正确；

对于B，根据抛物线的定义可知，，

故

，所以，解得，

所以直线l的斜率，故B不正确；

对于C，由题意可知，解得，则抛物线的方程为，故C不正确；

对于D，由题意可知，所以．

易得，其中d是点P到y轴的距离，r为以AB为直径的圆的半径，

且，．又，，且，

所以，，所以，

当时，取得最小值，故D正确．

故选:.

12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由数列的递推公式可判断AB，由累加法可判断CD.

【详解】由知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，

即，A项正确；

根据递推公式，

得，B正确；

，

，

，

，

所以，即，故C正确；

由递推式，得，，…，，

累加得，

所以，

所以，

即，D项错误；

故选：ABC.

三、填空题

13．正项等比数列中，，且存在两项使得，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据等比数列通项公式可构造方程求得，进而化简已知等式得到，根据，利用基本不等式可求得结果.

【详解】设正项等比数列的公比为，

由得：，则，解得：（舍）或，

由得：，，即；

（当且仅当，时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

14．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为___________.

【答案】2

【分析】根据，可得时，，求得的表达式，即可求得，代入化简，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】各项为正的数列，，

时，，

即，化为：，

，，又，解得，

数列是等差数列，首项为1，公差为2．，

，

，

当且仅当时取等号，的最小值为2,

故答案为：2．

15．已知双曲线的左，右顶点分别为，点在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率为__________.

【答案】##

【分析】根据题意结合两角差的正切公式整理可得，利用基本不等式求其最大值，即可得，运算求解即可.

【详解】设双曲线的右焦点为F，，则，

由题意可得：

，

∵，当且仅当，即时等号成立，

∴，整理可得：，

故，即.

故答案为：.

16．已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________.

【答案】

【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可.

【详解】如图所示：

设，，因为点在第一象限，所以.

又因为均在以线段为直径的圆上，

所以四边形为矩形，即.

因为，所以，即.

因为，，

所以，即.

因为，

设，，即，.

因为，所以在区间单调递增.

所以，即.

当时，解得，即，解得；

当时，解得，即，即.

综上.

故答案为：

四、解答题

17．已知椭圆经过点．

(1)求的标准方程；

(2)若直线与交于、两点，且弦的中点为，求直线的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）分析可知直线的斜率存在，设点、，由题意可得，利用点差法可求得直线的斜率.

【详解】（1）解：依题意可得，故椭圆的标准方程为．

（2）解：，所以，点在椭圆内，

若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，

设点、，由题意可得，

则，两式相减，得．

即，所以直线的斜率．

18．已知数列的前n项和为，且，．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求证：数列是等差数列；

(3)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)．

【分析】（1）首先利用，消元后再构造数列的递推形式，证明数列是等比数列；

（2）根据（1）的结果可知，再根据等差数列的定义，即可证明；

（3）由（2）可得，再利用错位相减法求和.

【详解】（1）证明：因为，时，，得

所以当时，，

两式作差得，

所以，

又，所以，

即，

所以数列是首项为，公比为2的等比数列．

（2）证明：由（1）可知，即，

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

（3）由（2）可知，即，

根据题意得，

则，

所以，

两式相减得，

即，

所以．

19．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.

（2）设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段和共中点，从而证得线段与线段的长度始终相等.

【详解】（1）由双曲线可得渐近线方程为，

由渐近线方程的斜率为，有，可得.

将点代入双曲线的方程，有.

联立方程，解得，

故双曲线的标准方程为.

（2）设点的坐标分别为，

线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为.

依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，

联立方程，得；联立方程，得.

所以可得.

联立方程，消去后整理得，

由解得，且，

由于直线与双曲线左右两支分别相交，所以.

所以，可得，所以，

所以线段和共中点，故有.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

20．已知等比数列的前n项和为，且对，恒成立，，．

(1)求数列的通项公式及前n项和；

(2)设，求证：．

【答案】(1)，，（）；

(2)证明见解析．

【分析】（1）根据题意解出、，再利用等比数列通项公式以及求和公式即可.

（2）首先求出，再利用裂项相消求和，结合的范围即可证明.

【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为q，

由，，则，故．

由得，解得

∴，．（）

（2）由（1）可知，，故

∵，，则

∴．故命题得证.

21．在xoy坐标平面内，已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于A、B两点．

(1)记d为A到直线的距离，当变化时，求证：为定值；

(2)当时，求的值；

(3)过B作BM⊥x轴，垂足为M，OM的中点为N，延长AN交于另一点P，记直线PB的斜率为，当取何值时，有最小值？并求出此最小值．

【答案】(1)答案见详解；

(2)；

(3)答案见解析.

【分析】（1）设，求出以及，进而可推出，即可证明为定值；

（2）由平行四边形可得.根据椭圆的定义有，根据余弦定理即可求出结果；

（3）设，，则.令直线的斜率为，则直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据韦达定理得到坐标与的关系，进而表示出之间的关系，推出，然后根据基本不等式即可得出结果.

【详解】（1）证明：设点坐标为，则有，.

由已知可得，，，，，，.

则，到直线的距离为.

则，

所以，是个与无关的定值，即当变化时，为定值.

（2）

如图，连结，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形.

由椭圆的定义可得，，

所以有.

因为，所以.

在中，由余弦定理可得，，

即，又，

两式作差可得，则.

（3）设，则，，

故，.

令直线的斜率为，则直线的方程为：，

代入椭圆方程可得，，

根据韦达定理可得，，于是.

故，又因为.

故.

又因为，所以，.

于是根据基本不等式，可得，

当且仅当，即时，等号成立.

所以，当，有最小值.

【点睛】“设而不求”是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法.本题中，设出点的坐标较多，直线数量较多，需要转化的量也较多.引入直线的斜率，通过表示出几个点之间的关系，以作为纽带，将与联系起来，最终求得，然后借助基本不等式求出结果.

22．已知数列，且满足，有.

(1)求数列的通项公式：

(2)若，设数列的前项和为，试求和：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过和分奇偶求出数列的通项公式即可.

（2）先利用分组求和得到数列的前项和为，然后写出数列的通项公式，根据裂项相消法即可求和.

【详解】（1）由题设知，且，

易得，所以.

因为，①

所以，②

①②得，，

所以数列分别以为首项，公比都是4的等比数列，

从而，

所以.

即所求数列的通项公式为所以.

（2）由（1）及题设得，，

所以

，

所以，

所以

.