2022-2023学年湖北省襄阳市第四中学高二下学期开学考试数学试题 Word版

襄阳四中2021级高二下学期开学数学考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A.             B.           C.        D.或

2.等比数列的前项和为，，，则为（   ）

A.             B.            C.          D. 28或-21

3.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（   ）

A.          B.        C.       D.

4.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ）

A. B. C.D.

5.设不同直线：，：，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件   C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

6.在等差数列中，其前项和为，若，，则中最大的是（    ）

A.             B.          C.             D.

7.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(     )

A.         B.        C.           D.

8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（    ）

A. 椭圆C的离心率为

B.M到C的右焦点的距离的最大值为

C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则

D.面积的最大值为

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（    ）

A. 数列的公差为                  B.

C. 数列是公差为的等差数列        D.

10.已知圆，直线，则下列命题中正确的有（    ）

A. 直线恒过定点

B. 圆被轴截得的弦长为

C. 直线与圆恒相离

D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为

11.抛物线的焦点为，直线过点，斜率为，且交抛物线于、两点点在轴的下方，抛物线的准线为，交于，交于，点，为抛物线上任一点，则下列结论中正确的有（    ）

A. 若，则                B.的最小值为

C. 若，则                   D.

12.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ）

A. 平面平面                         B.平面

C. 异面直线与所成角的取值范围是    D. 三棱锥的体积不变

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.圆与圆的公切线共有__________条.

14.设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式________．

15.已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________．

16.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_________．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.在中，已知点，，．

(1)求BC边上中线的方程．

(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．

18.已知圆的方程为．

(1)求过点且与圆相切的直线的方程；

(2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．

19.数列（）的前项和满足.

(1)求；

(2)设（）的前项和为，求.

20.已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，x轴是∠PBQ的角平分线，为垂足，是否存在定点，使得为定值，说明理由．

21.如图①，已知矩形的长为4，宽为，点是边上的点，且.如图②，将沿折起到的位置，使得平面平面，平面平面.

(1)求证：平面；

(2)在线段（不包含端点）上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

22.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．

(1)求椭圆C的标准方程

(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

数学答案

1-8  DACAC  CBD

9-12  ABC  AD  ABD  ABD

13. 4   14.6n－5（n∈N*）   15.     16.  

17.解：在中，已知点，，．

（1）线段BC的中点为，即，

故BC边上中线的方程为，即；

（2）直线过B点且x轴上截距是y轴上截距的2倍，

(i)若直线过原点，则直线方程为，即；

(ii)若直线不过原点，设y轴上截距为m，则直线方程为，

代入B点解得，故直线方程为，即；

故该直线的一般式方程为或.

18.解：（1）当直线斜率不存在时，，显然与相切；

当直线斜率存在时，可设，

由几何关系可得，解得，

故，即，

故过点且与圆相切的直线的方程为或；

（2）设，可设中点为，

因为是等腰直角三角形，

所以，

即圆心到直线距离，

解得或7，

故直线或，

即或.​​​​​​​​​​

19.解：（1）①当n=1时，a1=S1=1+2+1=4，

②当n∈N*且n≥2时，，

∴；

（2）由（1）bn=an•2n，

①当n=1时，T1=8；当n=2时，T2=28，

②当n∈N*且n≥3时，Tn=，

∴2•Tn=，

-Tn=

∴-Tn=8+22+2•23+2•24+…+2•2n-（2n+1）•2n+1=8+22+2•（23+24+…+2n）-（2n+1）•2n+1

==12+2n+2-24-n•2n+2-2n+1，

∴，

由①②得，（n∈N*）

20.解：(1)设动圆圆心为点P(x,y),

则由勾股定理得+=+,

化简即得圆心的轨迹C的方程为=8x；

(2)证明:由题意可设直线l的方程为y=kx+b(k0)，

联立得+2(kb-4)x+=0，

​由=4->0,得kb<2，

设点P(,),Q(,),则+=-,=，

因为x轴是PBQ的角平分线,所以kPB+kQB=0,

即kPB+kQB=+

=

​​​​​​​==0,

所以k+b=0,即b=-k,所以l的方程为y=k(x-1)，

故直线l恒过定点D(1, 0)，

于是|BD|为定值且BND为直角三角形且|BD|为斜边，

所以BD中点R满足|NR|为定值|NR|=|BD|=1此时点R的坐标为(0,0).

21.(1)证明:BMCD, 又BM平面A'CD, CD平面A'CD,BM平面A'CD.

又BM平面A'MB,平面A'MB平面A'CD=l,lBM,

l平面BMDC,BM平面BMDC,

l平面BMDC.

(2) 解：假设存在点P,

由题意知3AM=MB,AB=4,AM=1,MB=3,

又BC=AD=,由勾股定理可得CM=2,MD=2,

+=,CMMD，

又平面A'MD平面BMDC,平面A'MD平面BMDC=MD,CM平面BMDC,

CM平面A'MD,

过点M作垂直于平面BMDC的直线MH,以M点为原点,分别以MC,MD,MH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则M(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),A'(0,,),

则=(0,,),=(2,0,0),=(-2,2,0),

设=(,,)为平面A'MC的法向量,=0,=0,

,则=0,令=,则=-1,

=(0,,-1)为平面A'MC的一个法向量，

设=,由题意,知(0,1),

则=+=+=(2-2,2,0),

设=(,,)为平面A'MP的法向量,=0,=0,

,令=,则=,=-1,

则=(,,-1)为平面A'MP的一个法向量,

由|<,>|=得=,

解得=(0,1)，

在线段DC(不包含端点)上存在一点P,使得平面A'MP与平面A'MC所成角的余弦值为,此时点P为线段DC的中点.

22.解：（1）M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，

，

四边形OMPN的周长为，

，

，

，

椭圆C的标准方程为．

（2）设，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代入，整理得，

则，

．

易知，

，

化简得，

或(舍去)，

直线的方程为，即，直线l过定点．

当直线的斜率不存在时，设，

代入，解得，

由得，

，解得或(舍去)，

此时直线过点．

综上，直线过定点．