2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县高二下学期开学考试数学试题 解析版

这是一份2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县高二下学期开学考试数学试题 解析版，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设，则（ ）
A．B．C．2D．5
4．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知{ }是等差数列，且，则该数列的公差是（ ）
A．3B．C．－4D．－14
8．过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．垂直于同一个平面的两平面平行
B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等
C．一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行
D．一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行
10．函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知圆，直线，则（ ）
A．圆C的圆心为B．点在l上
C．l与圆C相交D．l被圆C截得的最短弦长为
12．函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．
C．时，取得最大值
D．的解集是
三、填空题
13．函数的定义域为______．
14．已知，，则________.
15．已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率______________．
16．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图．这1000名用户满意度的第25百分位数是______．
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期T；
(2)求函数的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x的值.
18．已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．
19．如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小．
20．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆C经过点，且直线，与圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围．
21．某校在2022年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于分的学生为“良好”，成绩在分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．
(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；
(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人都“优秀”的概率是多少？
(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前22%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？
22．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值；
(2)当时，求的单调区间；
(3)已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，．
参考答案：
1．A
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
2．A
【分析】根据题意，由充分性必要性的定义，分别验证即可得到结果.
【详解】根据题意，显然当，可得成立，所以充分性满足；
当时，可得或，所以必要性不满足；
即“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3．B
【分析】将复数化简后再求共轭复数的模长,
【详解】解：，，∴．
故选：B．
4．C
【分析】由题意可得，解此不等式即可.
【详解】解：因为，
所以，
解得或，
所以不等式的解集为：.
故选：C.
5．D
【分析】取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，结合三角形中位线性质可确定为上靠近的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.
【详解】取中点，连接，交于点，
，，四边形为平行四边形，
，又为中点，，同理可得：，
，
.
故选：D.
6．A
【分析】由不等式的性质，逐个验证选项的结果.
【详解】A选项中，因为，所以，故A选项正确；
B选项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B选项错误：
C选项中，因为，则，故C选项错误；
D选项中，若，，满足，但，故D选项错误．
故选：A．
7．A
【分析】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得关于和 d的方程组.
【详解】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得：
.
故选：A
8．B
【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线斜率，得到切线方程，代入切线过的点，求出未知数即可得到方程.
【详解】由，则，
设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为，
由切线过点，代入切线方程解得，则切线方程为，即.
故选：B
9．BC
【分析】AD考虑包含、相交、平行的可能即可判断；BC由性质定理判断即可.
【详解】对A，垂直于同一个平面的两平面可能平行，也可能相交，A错；
对B，两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等（性质推论），B对；
对C，一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行（判定定理），C对；
对D，一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行或在另一平面内，D错.
故选：BC.
10．ABCD
【分析】由图像最高点可得A及T，由T可得，后由可得.
【详解】对于AB，由图可得，周期为，又，得，故AB正确；
由图可得，，即，又，得，故C正确；
对于D，由图可得，图像最高点对应纵坐标为5，又，则，故D正确.
故选：ABCD
11．ABC
【分析】根据圆的标准方程可判断A，直线方程的点斜式表示方法判断B，根据点与圆的位置关系判断C，根据弦长公式判断D.
【详解】圆，所以圆心为，A正确；
因为，所以，所以直线过点，B正确；
因为,所以点在圆内，
所以l与圆C相交，C正确；
因为圆心到直线的距离，
所以l被圆C截得的弦长为，D错误，
故选:ABC.
12．BC
【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上升下降可得以及的解集.由此可判断A、D项；由图象分析可知，1和3是函数的两个极值点，所以有以及，代入可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理可得到，即可判断C项.
【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增，所以的解集是，故A项错误；
对于B项，因为.又由图象知，函数在处取得极小值，
所以有，故B项正确；
对于C项，由图象知，当时，单调递增，则；当时，单调递减，则；
当时，单调递减，则.所以的解集为，的解集为.
又为二次函数，根据二次函数的图象可知.因为函数在以及处取得极值，
所以有，即，所以，
所以，
因为，所以时，取得最大值，故C项正确；
对于D项，由可得或.由图象知，
当时，.又的解集为.所以由可得；
由图象知，当时，.又的解集为.
所以由可得.所以，的解集是，故D项错误.
故选：BC.
13．
【分析】利用根式有意义及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】要使函数有意义，
只需,即，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式求解.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，
故答案为: .
15．
【分析】根据对立事件的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故答案为：
16．54
【分析】利用频率分布直方图结合百分位数的定义求解即可.
【详解】由已知可得，样本中满意度在区间内的样本的频率为，
样本中满意度在区间内的样本的频率为，
样本中满意度在区间内的样本的频率为，
所以样本中满意度在区间内的样本的频率为0.15，满意度在区间内的样本的频率为0.40，故用户满意度的第25百分位数在区间内，
设用户满意度的第25百分位数为，则
，所以，
所以这1000名用户满意度的第25百分位数是54.
故答案为：54.
17．(1)
(2)最大值，
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式变形化简，然后根据公式可得周期.
（2）利用正弦函数的性质可得的最大值及取最大值时x的值.
【详解】（1）由已知
所以函数的最小正周期；
（2）由（1）得
函数的最大值为，
此时有，即.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）等差数列的首项，公差设为，
由，，成等比数列可得
，即，
即，解得，
所以.
（2）由（1）得，
所以
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3)重合时，符合题意，.
【分析】（1）以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.利用向量法证明；
（2）利用向量法求出二面角的余弦值，得到二面角的大小；
（3）利用向量法判断出当与重合时，符合题意，进而求出.
【详解】（1）因为四边形是正方形，平面，所以以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.
因为，，为的中点，所以.
所以.
因为，所以，即.
（2）因为平面，平面，所以.
又，,平面,平面,
所以平面.
因为平面，所以.
又，,平面,平面,
所以平面,即为面的一个法向量.
设为面的一个法向量，则,
不妨设，则.
由图示，二面角为钝角，设其为，所以.
因为，所以，即二面角为.
（3）假设在棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
设,,则.
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，即，所以，解得：.
所以当与重合时，直线与平面所成角的正弦值为.
此时，.
20．(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆过点可得，然后再利用直线与圆相切得到，进而求解方程；
(2)由已知条件可得：，进而得到，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式得到点横坐标的表达式，根据直线的方程和基本不等式即可求出点横坐标的取值范围.
【详解】（1）∵椭圆C经过点，∴，
由题意得直线的方程为，即，
∵直线与圆相切，∴，∴，
∴，∴椭圆C的方程为；
（2）设，点是的中点，
由得，∴，∴，
∵，
∴，∴，
∴直线的方程为，
∴点M的横坐标为，
∵，∴，∴．
∴“点M的横坐标的取值范围为．
21．(1)82.5
(2)
(3)92分
【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；
（2）先计算出人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再列出样本空间，确定事件这两人都“优秀”所包含的基本事件数，根据古典概型的公式即可求解；
（3）由条件列方程组求出，，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第四组，设为至少x分能进入面试，列方程即可求解.
【详解】（1）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为：
（2）“良好”的学生频率为，“优秀”学生频率为；
由分层抽样可得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有3人，
将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，
则这5人中选2人的基本事件有：共10种，
其中事件这两人都“优秀”包含的基本事件有：共3种，
所以事件这两人都“优秀”的概率
（3）由第三、四、五组的人数成等差数列得
，①
又由（2）知，②
由①②可得
第五组人数频率为，
第四、五组人数的频率为
故初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第四组，设至少得x分能进入面试，则
，
解得，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到92分才能直接进入复试
22．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；
（2）对进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性；
（3）由题可得，进而可得函数的最小值为，再构造函数，通过导数证明即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，可得，
∴，
所以.
（2）由（1）得，，
①当时，令，解得或，
令，解得.
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
②当时，，所以，函数的单调递增区间为，
③当时，令，解得或，
令，解得，
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）因为导函数在区间上存在零点，则，
由（2）可知在上单调递减，在单调递增，
所以在上的最小值为，
设，，，
令，因为，
所以，在上单调递减，
又，所以在上单调递减，
又因为，
所以，即，
所以当时，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，，把问题转化为证明.