2022-2023学年吉林省吉林市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年吉林省吉林市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省吉林市第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线，则l的倾斜角为（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角.【详解】由题意直线的斜率为，所以倾斜角为.故选：C.2．椭圆与(0<k<9)的（    ）A．长轴的长相等B．短轴的长相等C．离心率相等D．焦距相等【答案】D【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.【详解】椭圆与 (0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上，前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则．显然只有D正确．故选：D3．设椭圆的焦距为，则数列的前n项和为（    ）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆方程求出椭圆的焦距，证明焦距为等差数列，然后求等差数列的前项和.【详解】椭圆焦距又是以为首项，为公差的等差数列.数列的前n项和为：故选：A4．已知幂函数的图像是等轴双曲线，且它的焦点在直线上，则下列曲线中，与曲线的实轴长相等的双曲线是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】双曲线的实轴长为双曲线与实轴交点的距离，计算出的实轴长，然后在选项中找出实轴相等的双曲线即可.【详解】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点，是双曲线的顶点，故双曲线的实轴长，显然选项A表示的是椭圆；选项B的双曲线实轴长为；选项C双曲线的实轴长为；选项D的双曲线实轴长为.故选：B5．已知空间向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（    ）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量共线、共面、基底等知识确定正确答案.【详解】A选项，设，即，所以，解得，，此时不能构成基底.B选项，，此时不能构成基底.C选项，，设，即，，此方程组无解，故此时能构成基底.D选项，，此时不能构成基底.故选：C6．在数列中，，若为等差数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由为等差数列得，解得.故选：A7．已知数列满足：，，，，则（    ）.A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】把递推关系式里的换成，结合得到，然后把上式的的换成得到周期.【详解】即又是以为周期的周期数列.故选：C8．若数列满足，则称为“必会数列”，已知正项数列为“必会数列”，若，则（    ）.A． B．1 C．6 D．12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列是以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案.【详解】由题意数列满足，可得，故正项数列是以为公比的等比数列，则，故选：D 二、多选题9．下列说法正确的有（    ）.A．已知直线，，若，则B．双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率为C．若数列，则为等差数列D．圆与相交【答案】BD【分析】根据两直线的平行求得，验证后可判断A;根据双曲线的渐近线求得双曲线的离心率，判断B;根据数列的前n项和，求得数列通项公式，验证后判断C;根据两圆的方程，可判断两圆的位置关系，判断D.【详解】对于A，当时，，，两直线不平行，不合题意，故，则由可得，解得，当时，，，两直线重合，不合题意；当时，，，则，故，A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，则双曲线为等轴双曲线，即双曲线的实半轴长和虚半轴长相等，即，故离心率 ，B正确；对于C, 数列,则 ，当时，，由于不适合上式，故不是等差数列，C错误；对于D，圆的圆心为，半径为，圆心为，半径为，则 ，故两圆相交，D正确，故选：10．已知数列满足，，，，是数列的前项和，则下列结论正确的有（    ）.A． B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．【答案】ABD【分析】由可求得的值，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断C选项；利用错位相减法可判断D选项.【详解】对于A选项，，即，可得，A对；对于B选项，由A选项可得，可得，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，B对；对于C选项，由A选项可知，，故，所以，，则，故数列为等差数列，C错；对于D选项，，①，②①②可得，因此，，D对.故选：ABD.11．已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．【答案】ACD【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可.【详解】对于A,数列为等差数列，，数列为递减的等差数列，故A正确，对于B, 数列为递减的等差数列，的最大值为，故B错，对于C, 由得的最小值为,即，故C正确，对于D, 故D正确.故选：ACD12．如图，和所在平面垂直，且，，则下列结论正确的是（    ）. A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为C．直线AD与平面BCD所成角的大小为60°D．三棱锥的体积为【答案】AB【分析】在平面内过作交延长线于，连接，证明两两垂直，得平面，得直线AD与直线BC所成角判断A，直线AD与平面BCD所成角判断C，利用求得体积判断D，过作交于，直线AB与直线CD所成角为或其补角，在三角形中由余弦定理计算余弦值，判断C．【详解】在平面内过作交延长线于，连接，如图，由已知得，，，从而，∴，，，平面，∴平面，而平面，∴，即，A正确；又平面平面，平面平面，平面，，∴平面，平面，∴，，与平面所成的角为，C错误；由，，得，，，，D错．过作交于，直线AB与直线CD所成角为或其补角，，，，同理，中，由余弦定理得，所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为，B正确．故选：AB． 三、填空题13．在等比数列中，为其前项和，，，则公比______.【答案】【分析】将题干中的等式作差，可求得的值.【详解】由，两个等式作差可得，则，所以，.故答案为：.14．若直线l将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______.【答案】或【分析】由题意确定已知圆的圆心和半径，并可知所求直线过圆心，讨论直线在坐标轴上的截距是否为0，由此可求得答案.【详解】圆化为 ，圆的圆心坐标 ，半径为3，直线l将圆平分，则直线l经过圆心，若在两坐标轴上的截距都为0，则直线过坐标原点，此时斜率为2，直线l的方程为 ，即 ，若在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为,则,可得 ，∴直线l的方程为，即，综上所述：直线l的方程为或．故答案为：或15．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______.【答案】【分析】根据向量运算求得，进而求得.【详解】所以，所以.故答案为：16．已知和直线，若斜率为的直线与圆O交于 两点，与直线交于点C（C在圆O内），若，则______.【答案】【分析】作 ，可得，推出，继而求出，求得，根据圆的弦长与圆心距以及半径之间的关系，求得.【详解】由题意可知，圆的半径为2，如图示，作 ，垂足为H，则H为的中点，即,所以,则,因为直线的斜率为 其倾斜角为，直线的斜率为,即直线的倾斜角为 ，所以 ，由，可得,所以,故答案为： 四、双空题17．已知数列是等比数列，，则______，圆锥曲线的离心率为____________．【答案】     4或     或【分析】根据给定的条件求出等比数列的公比，求出；由圆锥曲线方程判断曲线形状，再求出离心率作答.【详解】设等比数列的公比为，因，则，即，解得或，所以或；当时，圆锥曲线是焦点在x轴上的椭圆，长半轴长，半焦距，离心率，当时，圆锥曲线是焦点在y轴上的双曲线，实半轴长，半焦距，离心率.故答案为：4或；或 五、填空题18．如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则当四边形面积最大时，的值为______．【答案】【分析】根据切线的性质得到，以及，故四边形面积最大时，即最大，根据椭圆的性质可知当点为椭圆的左顶点时，最大，根据向量数量积公式计算出两个向量的数量积.【详解】连接，设，则，由切线的性质知，所以，故四边形面积最大时，即最大，且.易知当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如图所示，此时，，，所以， .【点睛】本小题主要考查圆的切线的几何性质，考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的计算，属于中档题. 六、解答题19．在正项等比数列中，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前100项和.【答案】(1).(2)5050. 【分析】（1）由题意根据等比数列通项公式列方程组，即可求得答案；（2）由（1）可得的表达式，利用并项求和法求得答案.【详解】（1）正项等比数列中，，,设公比为 ,所以 ，解得 ；所以数列的通项公式为．（2）由，所以数列的前100项的和为： .20．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上一点A到F的距离是4，求A的坐标.【答案】(1)；(2)或， 【分析】（1）由方程写出抛物线焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式求得得抛物线方程；（2）设，由焦半径公式求得，再得．【详解】（1）由已知，双曲线的渐近线方程为，所以，因为，所以，抛物线方程为；（2）设，则，，，，所以点坐标为或，21．如图在四棱锥中，，，，平面平面ABCD，E为PA的中点. (1)求证：面；(2)点Q在棱PB上，若二面角的余弦值为，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点为的中点 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形即可.(2) 取的中点,取的中点，以为原点，分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系解决.【详解】（1）取的中点分别为的中点,并且，又并且，并且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，面.（2）取的中点，，又为的中点，并且，，，，又，，取的中点，易得，.又平面平面ABCD，平面平面，又且为的中点，，平面，平面.又平面，以为原点，分别为轴的非负半轴建立如图所示的直角坐标系.，设，则，即，，又，设平面的法向量为，，令则，，易得平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，，即，所以点为的中点.22．在数列中，，，.(1)求数列的通项公式；(2)满足不等式成立的k的最大值.【答案】(1).(2)4 【分析】（1）由数列递推式变形可得，说明数列 是等差数列，即可求得答案；（2）由（1）可得，利用裂项求和的方法求得，解不等式即可得答案.【详解】（1）因为，，所以，否则与矛盾，故 ，又，∴数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，所以，∴.（2）由（1）知，，∴  ，∵，即 ，,故k的最大值为4.23．易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，.【详解】（1）由题意可知：2b=4，b=2，，双曲线的离心率，则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则a=.所以椭圆的标准方程：.（2）是定值，证明如下：如图，设直线MN的方程为.联立消去y整理得.设，则，.将，代入上式得，即.