2022-2023学年吉林省长春市第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市第二中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．如图，直线的斜率分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.

【详解】由斜率的定义知，.

故选：D.

2．在等比数列中,，,则等于

A． B． C． D．或

【答案】D

【详解】∵为等比数列，∴，又

∴为的两个不等实根，

∴

∴或

∴

故选D

3．直线被圆截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.

【详解】由圆的方程知其圆心为，半径；

圆心到直线的距离，

所求弦长为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：

（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；

（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.

4．有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】先排与老师相邻的: ,再排剩下的： ,所以共有 种排法种数，选D.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

5．若双曲线（k为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（    ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【分析】根据题意得到，进而根据离心率求出k，而后得到b,最后求出答案.

【详解】由题意，，则，双曲线的离心率，所以，，即虚轴长为8.

故选：B.

6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

7．的二项展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二项式的通项公式即可得出．

【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，

令，解得：，

二项式的展开式中的常数项为.

故选：A．

【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题．

8．若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.

【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得．

故选：C.

二、多选题

9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（    ）

A．若，则C为椭圆

B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则

C．曲线C可能是圆

D．若C为双曲线，则

【答案】AD

【解析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，曲线为C表示圆，故不正确；

对于B选项，当曲线C为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故正确；

对于C选项，当时，曲线为C表示圆的方程，故正确；

对于D选项，当曲线C为双曲线时，则，解得或，故错误；

综上，错误的是AD.

故选：AD.

【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.

10．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率

C． D．的面积的最大值是4

【答案】BCD

【分析】根据椭圆的性质同、定义计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项．

【详解】由椭圆方程得，，所以，

焦点为，A错；离心率为，B正确；，C正确；当短轴端点时，的面积的最大，最大值为，D正确．

故选：BCD．

11．若，则（    ）

A．展开式中所有的二项式系数之和为

B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项

C．

D．

【答案】ABC

【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.

【详解】展开式中所有项的二项式系数和为,故A正确；

展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确；

在二项式展开式中，令可得，故C正确；

令可得,∴,故D错误.

故选：ABC

12．设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意，都有，则称数列为“数列”.则以下结论正确的是（    ）

A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”

B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”

C．若，则数列是“数列”

D．若，则数列是“数列

【答案】BC

【解析】写出等差数列的前项和结合“数列”的定义判断A；写出等比数列的前项和结合“数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当无限增大时，也无限增大判断D．

【详解】在A中，若是等差数列，且，公差，则，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故A错误.

在B中，因为是等比数列，且公比满足，

所以，所以数列是“数列”，故B正确.

在C中，因为，所以

.所以数列是“数列”，故C正确.

在D中，因为，所以，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

三、填空题

13．有名男演员和名女演员，演出的出场顺序要求名女演员之间恰有名男演员，则不同的出场顺序共______种

【答案】36

【分析】本道题目是一个排列问题，先将2名女生和1名男生捆绑，然后排列，在作为一个整体参与全排，即可．

【详解】采用捆绑法，将2名女演员和1名男演员捆绑有，然后在全排，有，

共有36种方法．

【点睛】本道题目考查的是排列问题，可以采取捆绑法进行解答．

14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．

【答案】

【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】∵直线与平行，∴，解得，

∴直线：，直线：，

∴直线与之间的距离．

故答案为：

15．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．

【答案】2020

【分析】先证得，利用倒序相加法求得表达式的值.

【详解】解：由题意可知，

令S=

则S=

两式相加得，

．

故填：

【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律．

16．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______.

【答案】

【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.

【详解】设,,,

依题意,得,

即,

两边平方化简得,则圆心为,半径,

当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,

解得；

当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,

解得,

故双曲线的离心率为.

故答案为:

【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.

四、解答题

17．已知展开式的二项式系数之和为

(1)求；

(2)若展开式中常数项为，求的值；

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）根据二项式系数之和为，可得的值；

（2）根据二项式的通项得到，从而得到，即可得到答案.

【详解】（1）展开式的二项式系数之和为，

，解得

（2）的通项公式：

令，解得，则

解得

18．已知等差数列的前项和为，

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据公式可求得．

（2）结合（1）得，再根据裂项相消法求数列的和．

【详解】（1）解：因为，

当时，

当时，

又也适合上式

所以

（2）解：由（1）知

所以，，

所以，

19．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，得到图②的四棱锥．

(1)求四棱锥的体积的最大值；

(2)若棱的中点为，求的长；

(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；

（2）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到即可得所求值；

（3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得即可.

【详解】（1）解：取的中点，连接，

因为，则，

当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，

此时平面，且，

底面为梯形，面积为，

则四棱锥的体积最大值为；

（2）解：取中点，连接，，

则因为为中点，所以为的中位线，

所以且，

因为为的中点，四边形为矩形，

所以且，

所以且，

故四边形为平行四边形，

所以；

（3）连接，过作于点，由题意得平面，

因为，所以，

所以为的平面角，即，

所以，，

过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则,0,，,1,，,2,，,2,，，

设平面的法向量为，又，

则，令，则，

设平面的法向量为,,，又因为，

则，令，可得：，

设两平面夹角为，

则

所以平面和平面夹角余弦值为.

20．已知点在抛物线上，且点的纵坐标为1，点到抛物线焦点的距离为2

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线与轴的交点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，，且，求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2，故，可得解

（2）可转化为，代入坐标可得，即，可得解

【详解】（1）设，由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2

故

故抛物线的方程为：；

（2）抛物线的焦点为，准线方程为，；

设，

直线的方程为，代入抛物线方程可得，

∴，，…①

由，可得，

又，，

∴，

∴，

即，

∴，…②

把①代入②得，，

则.

【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

21．已知数列满足，，设.

（1）证明：为等差数列；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据等差数列的定义，证明为常数，即可得到答案；

（2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和；

【详解】（1），

为等差数列；

（2），，

，

，①

，②

①②得：，

22．已知椭圆：，为左焦点，为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为.

（1）求的标准方程；

（2）是否存在过点的直线，与和的交点分别是，和，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，或.

【分析】（1）由可得，进而求得，即可得答案；

（2）由题可知的方程为，假设存在符合题意的直线，设该直线为，

，，，，利用韦达定理、面积关系，即可得答案；

【详解】（1）因为所以，

由右顶点得，，

所以的标准方程为.

（2）存在，由题可知的方程为，假设存在符合题意的直线，设该直线为，，，，联立

得，，，

则

联立

得，，

所以

若，则，解得，

所以符合题意的直线为或.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的定直线，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用.