2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高二上学期11月月练数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高二上学期11月月练数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高二上学期11月月练数学试题 一、单选题1．已知两点到直线的距离相等，则（    ）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.【详解】（1）若在的同侧，则，所以，，（2）若在的异侧，则的中点在直线上，所以解得,故选:D.2．“”是“成等比数列”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件【答案】B【详解】分析：先说明必要性，由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；再说明充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．解答：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac，∴“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的必要条件；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，∴“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的非充分条件．∴“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．故选B点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．解题的关键应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况．3．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，则，解出，得到，则得到离心率.【详解】由题意可得，如下图所示：又因为,根据对称性可得,可得,解得.故，故离心率为，故选：C.4．已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得的取值范围.【详解】因为圆：与：恰好有4条公切线，所以圆与外离，所以，解得或，即实数的取值范围是.故选：D.5．在数列中，，对任意正整数m，n，恒成立，为的前n项和，若，则（    ）．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】令可求出公比，得出等比数列前项和，进而得解.【详解】令，由可得，即，所以该数列为等比数列，，所以，令，解得.故选：A6．已知抛物线：上一点到轴的距离是2，点是抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于另一点，为坐标原点，则点到的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，设的纵坐标为，即可求出的横坐标，从而得到、的坐标，再利用等面积法计算可得.【详解】解：抛物线：的焦点坐标为，又到轴的距离为，不妨令，则，解得，即，此时直线为，所以，所以，设点到的距离为，则，即，解得.故选：D7．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（　　）A．310 B．212 C．180 D．121【答案】D【分析】设数列的公差为，得到，，然后利用数列为等差数列，得到，解得，即可得到，根据数列的增减性即可得到.【详解】解：∵等差数列满足，，设公差为，则，其前项和为，∴，，，，∵数列也为等差数列，∴，∴，解得．∴，，∴，由于为单调递减数列，∴，故选：D．8．已知双曲线：的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若且，则（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则，由得出，再由正弦定理得出.【详解】如图所示，设，则，设，则，即，由双曲线方程可得，所以，又，，则，解得，则，在三角形中，由正弦定理，可得故选：D 二、多选题9．已知圆与圆，则下列说法正确的是（    ）A．若圆与轴相切，则B．若，则圆C1与圆C2相离C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D．直线与圆C1始终有两个交点【答案】BD【分析】对A，圆心到x轴的距离等于半径判断即可；对B，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D，根据直线过定点以及在圆C1内判断即可.【详解】因为，，对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误；对B，当时，，两圆相离，故B正确；对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD10．已知数列是公比的正项等比数列，是与的等比中项，是与等差中项，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先利用等差，等比中项的定义，判断AB；再利用基本不等式判断CD.【详解】由等比中项的定义可知，，等差中项的定义可知，， 故A错误，B正确；若是负数，则，若是正数，则，，因为数列是公比的正项等比数列，所以，根据基本不等式可知，故C正确；D错误.故选：BC11．已知数列满足，则下列结论中确的是（    ）A． B．()为等差数列C． D．【答案】ACD【分析】A.逐项求解判断；B.利用等差数列的定义判断；C.利用并项求和判断；D.利用并项求和判断.【详解】由，则 ，又 ，同理 ，故A正确；因为 ，所以不是等差数列，故B错误； ，故C正确；，故D正确.故选：ACD12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）A．椭圆的长轴长为B．线段AB长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为【答案】ABD【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；，由椭圆性质可知，所以，B正确；记，则取，则，C错误；由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.故选：ABD 三、填空题13．已知圆C的圆心为，且圆C经过抛物线的焦点，则圆C的标准方程为___________．【答案】【分析】求出抛物线的焦点坐标，从而求出圆的半径，得到圆的标准方程.【详解】因为抛物线的焦点为，所以圆C的半径为3，则圆C的标准方程为．故答案为：.14．设等比数列的前n项和为，若，且，则__________.【答案】【分析】由可得，根据前n项和公式即可求解.【详解】因为是等比数列，所以有，所以，所以，因为，所以，即，即：，解得：.故答案为：.15．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，它们的离心率分别为是它们的一个公共点.若，则的最小值为__________.【答案】【分析】根据椭圆和双曲线的定义、余弦定理列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】设椭圆对应，双曲线对应，，所以，两边平方得①，，两边平方得②，①+②并整理得；①-②并整理得.由余弦定理得，整理得，所以，，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：16．数列中，，，若不等式对所有的正奇数恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】对已知等式变形可得是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求得，将问题转化为，对所有的正奇数n恒成立，然后求出的最小值即可.【详解】解：由，得，则是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，不等式对所有的正奇数n恒成立，即，对所有的正奇数n恒成立，当时，，当时，，在且上单调递增，所以，则实数的取值范围为．故答案为：. 四、解答题17．数列满足，．(1)求，；(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式．【答案】(1)，(2)证明见解析， 【分析】（1）由数列的递推关系，令和即可求出答案；（2）由题意可求出，即可求出数列是首项为，公比为的等比数列，即可求出的通项公式.【详解】（1）由，令，则，令，则故，；（2）．因为，所以数列的各项均不为0，所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以．18．已知圆C与x轴相切，圆心C在直线上，且与轴正半轴相交所得弦长为．(1)求圆C的方程；(2)过点的直线交圆于C，于E，F两点，且，求直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由已知设出圆心的坐标，再利用与轴的正半轴相切，截轴所得弦的弦长为，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用，求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）设圆心，因为圆与轴的正半轴相切，所以，圆的半径为，因为圆截轴所得弦的弦长为，所以，即，又，所以，所以圆．（2）①当直线的斜率不存在时，因为直线过点，所以方程为：，代入中解得：，此时，满足题意；②当直线的斜率存在时，设直线方程为：，由圆心到直线的距离为：，由，所以，解得：，所以直线的方程为：，综上，直线的方程为：或.19．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用基本量的计算即可求解等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法和等比数列前n项和公式求解即可【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以（2），则①，②，两式相减得：，所以，的前n项和为，所以.20．已知椭圆经过点.(1)求椭圆的方程及其离心率；(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.【答案】(1)，离心率为；(2) 【分析】（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率；（2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值.【详解】（1）依题知：，所以.所以椭圆方程为，离心率.（2）如图：设，第一象限有，①；由得：，又，，因此②，联立①②解得，故.21．已知有一系列双曲线：，其中，，记第条双曲线的离心率为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）首先利用已知数列的前项和求，再根据双曲线的方程，得与的关系，求数列的通项公式；（2）首先表示，利用错位相减法求和，即可证明不等式.【详解】（1）因为，当时，，解得；当时，，两式相减，可得，所以，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以.由题意，得，所以.（2）所以，故，得证.22．如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，．(1)求p和m的值；(2)点M，N在C上，且．过点A作，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可.（2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论.【详解】（1）由抛物线定义知：，则，又在抛物线上，则，可得.（2）设，，由（1）知：，所以，，又，所以，令直线，联立，整理得，且，所以，，则，，综上，，当时，过定点；当时，过定点，即共线，不合题意；所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上，而中点为，即为定值，得证.