2022-2023学年江苏省连云港市赣马高级中学高二上学期1月期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市赣马高级中学高二上学期1月期末数学试题

一、单选题

1．经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.

【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，

可知 ，且 ，

解得 ，即实数m的范围是，

故选：C

2．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.

【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，

，，

且直线与连接点，的线段总有公共点，

如下图所示，

则，即，

.

故选：B

3．直线被抛物线截得的弦长为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】联立抛物线和直线的方程，求出交点坐标，由两点间距离公式即可求解．

【详解】由得，，解得或；

当时，；当时，；

∴直线和抛物线两交点坐标为，

∴．

故选：B

4．抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将抛物线化成标准方程，确定开口方向及焦准距，即可得抛物线的准线方程.

【详解】解：抛物线的标准方程为：，其开口向上，且焦准距，

故准线方程为：.

故选：A.

5．若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设双曲线的方程为,根据已知条件列方程,确定双曲线的方程,在利用计算即可.

【详解】设双曲线的方程为,

根据已知条件得:,

解得:,

双曲线的方程为,

则,

.

故选:C.

6．在等差数列中，，．则数列中负数项的个数为（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式可得，再求解即可．

【详解】由，

又，则，

所以数列中负数项的个数为12．

故选：B．

7．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中.如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，则＝(   )

A．20 B．10 C． D．

【答案】D

【分析】根据已知几何关系，结合勾股定理写出与的关系，构造等差数列求出的通项公式，从而求出的通项公式即可．

【详解】由题意知，1，且都是直角三角形，

∴，且，

∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

∴．

又，∴．

∴数列的通项公式为．

∴．

故选：D．

8．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，，对求导，将问题转化为存在2个整数使得在直线的下方，求导数可得函数的极值，解，，求得的取值范围．

【详解】设，，则，

，，单调递减；，，单调递增，

时，取最小值，

，，

直线恒过定点且斜率为，

，，

，，由，解得：，

的取值范围为.

故选：D.

二、多选题

9．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】设所求直线的方程为，其中，利用圆心到直线等于圆的半径可求得的值，由此可求得所求直线的方程.

【详解】设所求直线的方程为，其中，

圆的圆心为，半径为，

由题意可知，圆心到直线的距离为，解得，

因此，平行于直线且与圆相切的直线的方程是或.

故选：AC.

10．在等差数列中，若，,则（    ）

A． B．

C．的最大值为15 D．的最大值为25

【答案】ABC

【分析】根据题意求得数列的首项和公差，可判断A;结合等差数列的通项公式判断C;利用等差数列前n项和公式，判断 ，可得答案.

【详解】在等差数列中，，,

设公差为d，则，故A正确；

，B正确；

，故的最大值为，C正确；

由以上分析可知等差数列为递减数列，

且当时，；当时，，

故的最大值为，D错误，

故选：

11．设为实数，方程，下列说法正确的是（    ）

A．若此方程表示圆，则

B．若此方程表示双曲线，则的取值范围是

C．若此方程表示焦点在x轴上的椭圆，则的取值范围是

D．若此方程表示焦点在y轴上的双曲线，则的取值范围是

【答案】BC

【分析】根据圆、椭圆、双曲线方程的特征逐一判断即可.

【详解】若此方程表示圆，则有，所以选项A说法不正确；

若此方程表示双曲线，则有，或，所以选项B说法正确；

此方程表示焦点在x轴上的椭圆，则有，所以选项C说法正确；

若此方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，所以选项D说法不正确，

故选：BC

12．关于切线，下列结论正确的是（    ）

A．过点且与圆相切的直线方程为

B．过点且与抛物线相切的直线方程为

C．过点且与曲线相切的直线l的方程为

D．曲线在点处的切线方程为

【答案】ABD

【分析】依次求四个选项中的切线方程，判断正误.

【详解】对于A，点在圆上，设切线斜率为，则，所以，

切线方程为，即，A正确；

对于B，设切线斜率为（），切线方程为，与联立，

得，则，解得，

所以切线方程为，即，B正确；

对于C，对求导得，设切点为，切线斜率，则，解得，切点为，斜率，

所以切线方程为，即，C错误；

对于D，对求导得，点处的切线的斜率，切线方程为，即，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．设,若直线与直线垂直,则的值是________．

【答案】0

【分析】若与垂直,只需,将两条直线化为一般式,代入即可.

【详解】解:由题知直线与直线垂直,

即与直线垂直,

故只需,

即.

故答案为:0

14．经过、两点的椭圆的标准方程是________．

【答案】

【分析】设所求椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出所求椭圆的标准方程.

【详解】设所求椭圆的方程为，

将点、的坐标代入椭圆方程可得，解得，

因此，所求椭圆的标准方程为.

故答案为：.

15．若数列的前项和，满足，则______．

【答案】

【分析】令，得出，令，由可计算出在时的表达式，然后就是否符合进行检验，由此可得出.

【详解】当时，；

当时，则.

也适合.

综上所述，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用求，一般利用来计算，但需要对进行检验，考查计算能力，属于基础题.

16．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中 为蜥蜴的体温（单位：）为太阳落山后的时间 （单位：）．当10 时，蜥蜴体温的瞬时变化率为__________．

【答案】

【分析】由导数的定义，所求蜥蜴体温的瞬时变化率为.

【详解】，，时刻min时，瞬时变化率为．

故答案为：．

四、解答题

17．在等差数列中，已知公差，前项和 (其中)．

(1)求；

(2)求和：．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知的，利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；

（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，分、讨论，由等差数列前和公式求和可得答案.

【详解】（1）由题意公差，前项和，

所以，

解之得，即；

（2）由（1）可知数列{an}的通项公式为，

当时，，

当时，，

即

，

综上所述，.

18．在等差数列中，已知公差，且 成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为和的关系，解方程可求得的通项公式；

（2）根据题意利用裂项相消法求得其前n项和.

【详解】（1）∵ 成等比数列，则，

∴，解得或（舍去），

故数列的通项公式.

（2）由题意可得：，

∴，

故数列的前项和.

19．已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；

(3)求的周长．

【答案】(1)

(2)25

(3)54

【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；

（2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；

（3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长．

【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，

由题意得，解得，所以双曲线方程为.

（2）依题意得直线AB的方程为，设，.

联立，得，

，且，

所以.

（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，

由双曲线定义，，

从而，

的周长为．

20．已知直线与抛物线交于两点.

(1)若,直线过抛物线的焦点,直线的斜率,求的长;

(2)若交于,求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据已知条件写出直线的方程和抛物线方程,联立方程,利用抛物线定义即可求解;

(2)根据题意可求出直线的方程为,联立方程,由根与系数的关系,结合已知条件,即可得到结果.

【详解】（1）若,则抛物线方程为:,焦点坐标为,

所以直线的方程为:,

设,

联立,得,

,

根据抛物线定义得:.

（2）设直线的方程为,,

,,

且,

则,

直线的方程为,

交于,

,解得,

直线的方程为,

由,消得,,

则,,

,则,

即,

化简得,

即,

解得.

21．已知函数，，．

(1)若，函数在处取得极大值，求实数a的值；

(2)若，求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调增区间是和，减区间是

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出的值即可．

（2）代值，求导，根据导数正负得到函数单调区间.

【详解】（1），令，解得；或，

若函数在处取得极大值，则，解得，

当时，，或，

所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.

此时函数在处取得极大值，满足题意.

故．

（2），则，

当时，和；

当时，，

所以函数的单调增区间是和，减区间是.

22．已知函数，．设函数与有相同的极值点．

(1)求实数a的值；

(2)若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用导数得出函数的极值点，再令即可得出的值，再进行验证即可；

（2）首先求出与在上的最值，再对分正负讨论，把已知不等式变形等价转化，即可求出参数的取值范围．

【详解】（1）解：因为，

所以，

由得，由得，

所以在上单调递增，在单调递减，从而的极大值为，

又，所以，

依题意，是函数的极值点，所以，解得，

所以，

则当或时，，当或时，，

所以在和上单调递增，在和上单调递减；

所以函数在处取得极小值，

即当时，函数取到极小值，符合题意，故1；

（2）解：由（1）知，由于，，，

显然，

故时，，，

又，，，故，

所以当时，，，

①当时，问题等价于，

所以恒成立，即，

，，故符合题意；

②当时，问题等价于，

即恒成立，即，

因为，．

综上或.