2022-2023学年江苏省南京市第九中学高二上学期期末模拟数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市第九中学高二上学期期末模拟数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市第九中学高二上学期期末模拟数学试题 一、单选题1．已知点，直线，点是直线上的一个动点，若是RA的中点，则点的轨迹方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，，由中点坐标公式把用表示，再把代入已知直线方程可得．【详解】设，，，已知，由是的中点，，则①.点是直线上的一个动点，②.把①代入②得：，即.点的轨迹方程为.故选：C.2．已知在圆：上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】题意转化为圆与圆相交，即可求解.【详解】由题意可知圆与圆相交，则，解得或.故选：C3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.【详解】由题意可得解得，，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：B.【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.4．已知，则动点P的轨迹是（    ）A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．一条射线 D．双曲线右边一支【答案】D【分析】根据双曲线的定义直接得到结果.【详解】且    动点的轨迹为双曲线的右边一支故选：【点睛】本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误.5．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.【详解】解：由题意，当，，时，均有，故可知：.故选：A6．若正项数列中，，，则的值是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，则，利用变形，可得数列是首项为，公差为的等差数列，求出，由此再求出，可得.【详解】设，则，当时，，得，因为，所以，当时，，得，得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，因为数列是正项数列，所以，所以，所以当时，，又时，也适合上式，所以，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：利用变形，得到数列是首项为，公差为的等差数列，求出是解题关键.7．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数求得的单调区间，结合函数值确定正确选项.【详解】由，可得函数的减区间为，增区间为，当时，，可得选项为A．故选：A8．已知函数，则“”是“是的一个极小值点”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】若，求出导函数，利用导数符号可知充分性成立；若是的一个极小值点，利用可求出，再验证是的一个极小值点，可知必要性成立.【详解】，若，则,当时，，，单调递减；当时，，，单调递增．故是的极小值点．若是的极小值点，则，解得，经检验．当时，是的极小值点，故“”是“是的极小值点”的充要条件．故选：C9．设、在上可导，且，则当时有A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数推导函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】设，当时，，则，所以，函数在区间上是增函数，当时，，所以，，即；，即.故选：D.【点睛】本题考查函数不等式正误的判断，利用导数不等式的结构构造合适的函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、多选题10．设有一组圆：，则下列说法正确的是（    ）A．这组圆的半径均为1B．直线平分所有的圆C．直线被圆截得的弦长相等D．存在一个圆与轴和轴均相切【答案】AD【分析】由圆的方程可得圆心及半径，利用圆的性质即可判断.【详解】由圆：，可得圆心坐标，半径为1，故A正确；把代入，得不恒成立，即直线不恒过圆心，故B错误；圆心到直线的距离不是定值，而圆的半径为定值，则直线被圆截得的弦长不相等，故C错误；若存在一个圆与轴和轴均相切，则，解得，故D正确．故选：AD．11．已知双曲线的左､右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确的是（    ）A．若直线与双曲线无交点，则B．焦点到渐近线的距离为2C．点到两条渐近线的距离之积为D．当与不重合时，直线的斜率之积为2【答案】BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B；设点，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C；求出的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.【详解】对A，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线无交点，则.A错误；对B，由A渐近线方程为，焦点为，则焦点到渐近线的距离.B正确；对C，设点，则，点到两条渐近线的距离之积为.C正确；对D，易得，由C点满足，所以直线的斜率之积为.D错误.故选：BC.12．已知数列是公差为的等差数列，若存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（    ）A．符合题意的数列有无数多个B．符合题意的实数有无数多个C．符合题意的数列仅有一个D．符合题意的实数仅有一个【答案】AD【分析】设从数列抽出的无限多项按原来的先后次序构成数列，分别在，，时探究数列是否为等差数列，由此判断各选项的对错.【详解】设抽出的无限多项按原来的先后次序构成等差数列，①若：此时只需为任意非零常数列即可；②若：则中只存在有限负数项，即存在，当时，，则当时，中均为正项，而另一方面，由上可知中公差，因此存在，当时，中均为负项，取，可知此时矛盾，故舍去；③若：同②可知需舍去.综上，符合题意的数列为任意非零常数列，，故选：AD. 三、填空题13．已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为________.【答案】1【分析】设点，，直线，直线， 的最小值可转化为点与点两点间距离的最小值，显然最小值为两平行线之间的距离.【详解】设点，，直线，直线，由题意知点在直线上，点在直线上，所以，显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，即.故答案为：1.【点睛】本题考查两点间的距离公式，考查两平行线之间的距离公式，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.14．从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线、，且、为切点，若直线的倾斜角为，则点的横坐标为______.【答案】【分析】设点，求出切点弦所在直线的方程，结合已知条件求出的值.【详解】设点，设点、，对函数求导得，所以，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为直线、的公共点，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的切点弦所在直线的方法如下：（1）求出两切线与圆锥曲线的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；（2）写出圆锥曲线在切点（在圆锥曲线上）处的切线方程，将两切线的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.15．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．【答案】2023【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.【详解】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，，当时，，（），当时，.又，.故答案为：202316．已知对任意都成立，则实数a的最小值是__________.【答案】【分析】根据题意可得对任意都成立，利用导数求在内的最大值.【详解】因为，所以可等价变形为，令，由得，则函数在上单调递增，由得，则函数在上单调递减，所以时，则，故.故答案为：. 四、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为.（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当时，求折痕长的最大值.【答案】（1）；（2）；(3).【详解】试题分析：（1）若折痕的斜率为时，由于点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出；（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，即可得出；（3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．试题解析：（1）∵折痕的斜率为时，点落在线段上∴折痕必过点∴直线方程为（2）①当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程.②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，则与关于折痕所在的直线对称，有，即．∴点坐标为从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程，即．综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：．（3）当时，折痕长为2．当时，折痕所在直线交于点，交轴于．∵ ，∴折痕长的最大值为.∴综上所述，折痕长度的最大值为点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题18．在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称.(1)求圆N的标准方程；(2)设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.（i）过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)（i）7；（ii）是， 【分析】（1）先求出圆的方程，再根据对称性求出圆的方程即可得解；（2）（i）设出直线、的方程，利用几何方法求出弦长和，再求出面积，然后根据基本不等式求出最大值可得结果；（ii）联立直线与圆的方程，设，，得到和.联立直线和的方程求出交点的横坐标，代入直线的方程，利用和变形可得交点的纵坐标为定值，从而可得结果.【详解】（1）由题意得：圆M的半径为，圆心M即AB的中点为，圆M的方程为：，因为圆N与圆M关于直线对称，所以圆N的圆心，半径为， 所以圆N的标准方程为：；（2）依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则，当且仅当即时取等号，综上所述，因为，所以S的最大值为；（ii）设，，联立，消去y得，恒成立，则，，直线OP的方程为，直线DQ的方程为，联立，解得，因为，，所以，所以，则，所以，所以点G在定直线上.19．已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，(1)求抛物线方程；(2)若，求的值；(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；（2）由可得，设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由可构造方程求得；（3）设，，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点坐标，进而表示出，由，利用基本不等式可求得最小值.【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：；（2）由题意知：，可设直线，，，，，即，由得：，，，即，解得：，；（3）由题意知：直线的斜率均存在，不妨设，，，，，则；由得：，则，即；，，，；同理可得：，，（当且仅当，即时取等号），面积的最小值为.20．已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.（3）先判断出数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有项.由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】（1）当时，由，得，得，由，得，两式相减，得，即，即因为数列各项均为正数，所以，所以所以数列是以为首项，为公差的等差数列.因此，，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以所以所以令，则所以是单调递增数列，数列递增，所以，又，所以的取值范围为.（3）设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，.因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以.又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾．又因为，所以，即偶数只有两项，则奇数最多有项，即的最大值为.设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且.由，得，，此数列为，，，，.同理，若从大到小排列，此数列为，，，，.综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，.【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.21．设函数().（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：.【答案】（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）由得到，然后分别令，，再根据极值的定义求解. （2）由，分，，，，由，求解.（3）根据（1）知在上为减函数，得到，即，然后令，得到，再利用不等式的性质求解.【详解】（1）的定义域为，当时，，若，则，若，则,在上单调递减，在上单调递增．，没有极大值．（2），当时，若，则，若，则，在上单调递减，在上单调递增，当，即时，若，则或，若，则在上单调递减，在，上单调递增当，即时，恒成立，在上单调递增．当，即时，若，则或;若，则，在上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增;当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增;（3）由（1）知在上为减函数，时，，令，得，即，…, ，将以上各式左右两边相加得：，.【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是联系到在上为减函数，再从不等式的结构和对数的运算，想到构造求解.22．已知抛物线C：上有一动点，，过点P作抛物线C的切线交y轴于点Q．(1)判断线段PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；(2)过点P作的垂线交抛物线C于另一点M，若切线的斜率为k，设的面积为S，求的最小值．【答案】(1)线段的垂直平分线过定点(2) 【分析】（1）设切线的方程为，并与抛物线方程联立，利用判别式求得点坐标，进而求得点坐标，从而求得线段的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标.（2）结合弦长公式求得的面积，利用基本不等式求得的最小值.【详解】（1）依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于.设直线PQ的方程为，.由消去并化简得，由得，，则，解得，所以，在中，令得，所以，PQ中点为，所以线段PQ的中垂线方程为，即，所以线段的垂直平分线过定点.（2）由（1）可知，直线PM的方程为，即.由消去并化简得：，所以，而，所以得，，，.所以的面积，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.