2022-2023学年江苏省南通市如东县高二上学期12月段考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市如东县高二上学期12月段考数学试题

一、单选题

1．已知直线上有点，则的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据斜率与倾斜角的关系求得正确答案.

【详解】因为直线上有点，

所以，解得，

又，所以l的倾斜角为2．

故选：D．

2．已知是定义在R上的可导函数，若，则=（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】根据极限与导数的定义计算．

【详解】

故选：A．

3．在数列中，已知，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由数列的递推公式可得，数列是以4为周期的数列，可求数列中的项.

【详解】因 所以，

，，

，，

且 的值以4为周期循环出现，所以数列是以4为周期的数列，

.

故选：B

4．已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线的一个焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知求出曲线的即得解.

【详解】解：曲线的实轴是，实轴与渐近线的夹角为，

故与的一个交点坐标是，

与曲线对称中心的距离，

则，故曲线的焦点坐标为．

故选：B．

5．等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（    ）

A．9069 B．9079 C．9089 D．9099

【答案】D

【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列性质，利用裂项相消法化简方程求出，由此可求.

【详解】设等差数列的公差为，因为首项与公差相等，所以，

因为，

所以，所以

所以，

故选：D．

6．几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点是椭圆族上任意一点，如图所示，椭圆族T的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点；③过定点，则的最大值是（    ）

A．5 B．7 C．9 D．11

【答案】A

【分析】根据已知条件及椭圆的定义，结合两点间的距离的公式即可求解.

【详解】如图所示

设点所在椭圆的另一焦点为，则

.

故选：A.

7．小明同学在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放粒米．那么64个方格上一共有多少粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，，，，，，……．小明又查到一个数据：粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是平方米，，．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（    ）

A．0.0012米 B．0.012米 C．0.12米 D．1.2米

【答案】C

【分析】由题意知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列求和公式可得

64个方格上一共有粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为，可得，两边取对数计算可得答案.

【详解】第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，可知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，

那么64个方格上一共有粒米，

设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为，

因为粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是平方米，

所以，

可得，

用近似替代，

所以

，即，可得，又，

故64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（米）.

故选：C.

8．设抛物线的焦点为， 若与抛物线有四个不同的交点， 记轴同侧的两个交点为， 则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】联立抛物线与圆的方程，消元后得到关于的一元二次方程，由于有四个交点，结合韦达定理得的取值范围，再根据抛物线定义得关于的关系式，即可得取值范围.

【详解】解：由题可得，如图：不妨设在轴右侧

将方程与抛物线方程联立：

，得，

设，在轴同侧，不妨设

则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得：

，即，

由抛物线定义可得，

故选：B．

二、多选题

9．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.

【详解】因为，所以，

由题意得直线的斜率，

即，解得或

故选:AD.

10．已知函数，．下列说法正确的是（    ）

A．当时，的图象为函数图象的切线

B．函数，则

C．时方程只有一个解

D．当时，对任意的，恒成立

【答案】ACD

【分析】根据切线、导数运算、图象、最值等知识确定正确答案.

【详解】对于A，时，，

令得，切点为，切线为，即，故A对；

对于B，，，故B错误；

对于C，当时，画出与的图象，显然只有一个交点，故C正确；

对于D，时，恒成立，时，单调递增，且在上最小值为，

故时，对任意的，恒成立，故D正确．

故选：ACD．

11．以下为正奇数从小到大依次排成的数阵：

1

3  5

7  9  11

13  15  17  19

……

第n行有n个数，则（    ）

A．该数阵第n行第一个数为

B．该数阵第n行最后一个数为

C．该数阵第n行所有数的和为

D．若数阵前n行总和不大于2023，则n的最大值为9

【答案】AC

【分析】正奇数从小到大为等差数列，数阵第n行第一个数对应m依次为：，则.

对A，第n行第一个数为；

对B，第n行最后一个数为第行第一个数减2；

对C，第n行所有数的和为首项为该行第一个数，公差为2的等差数列的前n项和；

对D，数阵前n行总和为前n行每行所有数的和相加.

【详解】正奇数从小到大为等差数列，数阵第n行第一个数对应m依次为：，则.

对A，第n行第一个数为，A对；

对B，第n行最后一个数为第行第一个数减2，即，B错；

对C，第n行所有数的和为首项为，公差为2的等差数列的前n项和，即，C对；

对D，由第n行所有数的和为，则数阵前n行总和，则有当时，，当时，，故数阵前n行总和不大于2023时n的最大值为8，D错.

故选：AC

12．如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率

【答案】BCD

【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.

【详解】先求双曲线上一点的切线方程：

不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.

由，得，所以，

则在的切线斜率，

所以在点处的切线方程为：

又有，化简即可得切线方程为： .

不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，

是切线与渐近线在第一象限的交点，

是切线与渐近线在第四象限的交点,

双曲线的渐近线方程是，

联立：，解得：，

联立：，解得：，

则，

又因为，所以，即，A错误；

由，

可知是的中点，所以，B正确；

易知点的坐标为，

则，

当点在顶点时，仍然满足，C正确；

因为，所以，，

因为，则，解得，即，

代入，得，

所以

，

，

所以，

所以，，所以离心率，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点的切线方程，并联立渐近线方程，求得的坐标，判断出是中点.

三、填空题

13．在中，三边长是公差为2的等差数列，若是钝角三角形，则其最短边长可以为______________.（写出一个满足条件的值即可）

【答案】3（答案不唯一）

【分析】设三角形的三边长为，求出最短边的取值范围为即得解.

【详解】解：设三角形的三边长为，所以.

因为三角形是钝角三角形，所以，

所以.

综合得最短边的取值范围为.

故答案为：3（答案不唯一）

14．函数的单调递减区间为______．

【答案】##

【分析】利用导数求得的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，∵，

令得，

∴函数的单调递减区间是．

故答案为：

四、双空题

15．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，用符号表示（），已知，，（）.

（1）若，则___________；

（2）若，则___________.

【答案】     11     ##

【分析】（1）利用已知和的性质计算可得答案；

（2）利用已知和的性质计算可得答案.

【详解】（1），∴；

（2）

.

故答案为：①11；②.

五、填空题

16．星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，

①星形线关于对称

②星形线图像围成的面积小于

③星形线上的点到轴，轴距离乘积的最大值为

④星形线上的点到原点距离的最小值为

上述说法正确的是有_________.

【答案】①②④

【分析】把已知方程中的与互换方程不变，判断①；由星形线图像围成的区域在曲线所围成的内部区域判断②；利用基本不等式求最值判断③④.

【详解】对于①，把方程中的与互换，方程不变，可得星形线关于对称，故正确；

对于②，曲线所围成的区域面积为2，而，

即星形线图像围成的区域在曲线所围成的区域内部，

所以星形线图像围成的面积小于，故正确；

由，得，当且仅当时等号成立，

即星形线上的点到轴，轴距离乘积的最大值为，故③错误；

因为

即星形线上的点到原点距离的最小值为,故④正确

故答案为: ①②④.

六、解答题

17．已知函数，．

(1)若在处的切线倾斜角为，求a的值；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由求得的值.

（2）求得，对进行分类讨论，由此求得函数的单调区间．

【详解】（1），

令，解得 ；

（2）因为，，

①时，恒成立，故是上的减函数；

②时，令得，

由得，得，

故的单调减区间为，单调增区间为．

综上，时，是上的减函数；

时，的单调减区间为，单调增区间为．

18．已知数列满足，且，.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)若数列满足，求的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意化简可得证明即可；

（2）由（1）可得，进而得到，再根据错位相减法求的前n项和即可.

【详解】（1）由，得，

所以

，

又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.

（2）由（1）可知，，

所以.记的前n项和为，

则①，

②，

由①-②得

，

所以.

【点睛】等差数列的判定与证明的方法

19．已知数列满足，()，且()．

(1)求数列的通项公式；

(2)若()，求数列的前n项和．

【答案】(1)，；

(2)．

【分析】（1）根据递推关系结合条件求得，然后利用累加法可得的通项公式；

（2）由题可得，然后利用裂项相消法即得.

【详解】（1）因为，，，

可得，，

又，

则当时，

，

上式对也成立，

所以，；

（2）由，

可得，

则数列的前n项和为

．

20．已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求出所有的正整数m ，使得．

【答案】(1) ；(2) m= 1，或m=3．

【分析】（1）首先根据条件前项成等差数列可以将，用公差的代数式表示，再由条件从第项起依次成等比数列可以得到关于公差的方程：，从而解得或（舍去），即可得数列的通项公式为；（2）考虑到（1）中求得数列的分段性，因此首先可验证或时符合题意，或时不合题意，接下来只需说明当，条件给出的方程无解即可：，

若，则，∴，而这是不可能成立的，从而得证.

【详解】（1）设数列前项的公差为，则，(为整数)

又∵，，成等比数列，∴，即，得或（舍去），

当 时，， 6 分 ∴，，数列从第项起构成的等比数列的公比为，

∴当时，，故，

（2）由（1）知，当时等式成立，即，

当时等式成立，即，

当或时等式不成立，

当时，，

若，则，∴，

 ，，从而方程无解，∴ .

故所求或．

21．已知A(3,0)，B(-3,0)，C是动点，满足（为常数），过C作x轴的垂线，垂足为H，记CH中点M的轨迹为，

(1)若是椭圆，求此椭圆的离心率；

(2)若在上，过点G(0,m)作直线l与交于P、Q两点，如果m值变化时，直线MP、MQ的倾斜角总保持互补，求△MPQ面积的最大值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据条件，列方程即可；

（2）根据条件设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出 和M点到直线l的距离，再计算三角形MPQ的面积，利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）设M(x,y)，则，

∴方程为，

仅当时此方程表示椭圆，

此时，

.

（2）把代入，得，∴方程为，

设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l方程为y=kx+m，代入方程可得(1+4k2)x2+8kmx+ 4m2-8=0，

①，

∵直线MP、MQ的倾斜角互补，

∴，

，化简得②，

把①代入，整理得，

， ，   

此时，直线l方程为 ，

∴，P到直线l距离，

面积，

当时，取等号，满足 ，

∴面积的最大值为2；

综上，椭圆 的离心率 ，面积的最大值为2.

22．已知离心率为的椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，为左右焦点，为椭圆上的点，且．直线过椭圆外一点，与椭圆交于两点，满足．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，求三角形面积的取值范围；

(3)对于任意点，是否总存在唯一的直线，使得成立，若存在，求出直线的斜率；否则说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】(1)利用椭圆定义求出椭圆的标准方程；

(2)联立直线与椭圆方程，利用面积分割求出面积取值范围；

(3)联立直线与椭圆方程，由平行关系与韦达定理化简求解.

【详解】（1）由题可设椭圆方程为，则，

由椭圆定理可得，

则，

所以椭圆的方程为：.

（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，则设直线方程为，

联立，

可得，，

∴，

∴，

令，则，

当且仅当，即时等号成立，

所以三角形面积的取值范围为.

（3）设直线方程为（斜率必存在），

则，，

∵，∴，

∴，

化简得①，

联立得，

∴，

∴，

代入①得，，

∴②，

∴，

代入②得：，故，

而点在轴上方，所以对于任意一个，存在唯一的使得，

故直线有且只有一条使得．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；

(2)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(3)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．