2022-2023学年江苏省宿迁中学高二下学期入学检测数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省宿迁中学高二下学期入学检测数学试题

一、单选题

1．已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 (　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【答案】D

【详解】∵由条件知过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．

2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.

【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，

依题意有，，

化简整理得，，

即，

则圆的面积为．

故选D．

【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．

3．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依据题意得到，然后根据得到，最后简单计算即可.

【详解】由题意可得，，

所以，所以，，所以离心率.

故选:A.

4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.

【详解】由题意可得

解得，，

因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.

故选：B.

【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.

5．已知数列为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比数列的定义判断．

【详解】设的公差是，即，

显然，且是常数，是等比数列，

若中一个为1，则，则不是等比数列，

只要，，都不可能是等比数列，如，，．

故选：A．

6．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列，记为该数列的第项，则（    ）

A．2016 B．4032 C．2020 D．4040

【答案】A

【分析】通过观察法可得，再利用累加法求出通项公式即可计算的值.

【详解】依题意，，，，…，于是有，

则当时，，而满足上式，因此，，

所以.

故选：A.

7．已知是函数的导函数，若，则（    ）

A． B．2 C． D．8

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解

【详解】

故选：C

8．函数在点处的切线与坐标轴围成的图形面积是（    ）

A．12 B．9 C． D．

【答案】D

【分析】先利用的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.

【详解】由题，，，所以切线为，整理得，易得切线的截距为和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为，

故选：D

二、多选题

9．下列说法中不正确的是（    ）

A．直线与y轴交于一点，其中截距

B．过点，且斜率为4的直线方程为

C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是

D．方程表示过点，的直线

【答案】ABC

【分析】对A，由截距可以为负判断；对B，直线不包括点；

对C，直线不包括截距为0的情况；对D，方程为两点式方程的变形.

【详解】对A，截距可以为负，A错；

对B，该方程不包括点，B错；

对C，截距为0时，不能表示成，C错；

对D，为两点式方程的变形，D对.

故选：ABC

10．已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．双曲线的渐近线方程为

C．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点

D．若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值

【答案】BCD

【分析】利用椭圆与双曲线的定义逐一判断即可.

【详解】A：由椭圆，得a2=25，b2=9，c2=a2-b2=16，∴椭圆的右焦点即双曲线的右顶点为（4，0），

∴a2=16，a=4．A不正确；

B：双曲线的渐近线为．B正确；

C：由上述得椭圆的左顶点是（-5，0），双曲线的左焦点是（-5，0），C正确；

D：椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，恰为双曲线的左、右顶点，设点,

∴为定值，D正确．

故选：BCD．

11．已知数列是公差为的等差数列，若存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A．符合题意的数列有无数多个

B．符合题意的实数有无数多个

C．符合题意的数列仅有一个

D．符合题意的实数仅有一个

【答案】AD

【分析】设从数列抽出的无限多项按原来的先后次序构成数列，分别在，，时探究数列是否为等差数列，由此判断各选项的对错.

【详解】设抽出的无限多项按原来的先后次序构成等差数列，

①若：此时只需为任意非零常数列即可；

②若：则中只存在有限负数项，即存在，当时，，则当时，中均为正项，而另一方面，由上可知中公差，因此存在，当时，中均为负项，取，可知此时矛盾，故舍去；

③若：同②可知需舍去.

综上，符合题意的数列为任意非零常数列，，

故选：AD.

12．下列求导运算不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解.

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误．

故选：ACD

三、填空题

13．若直线l：与直线的交点位于第二象限，则直线l倾斜角的取值范围是__________．

【答案】

【分析】在平面直角坐标系中画出直线，动态变化直线l：后可得倾斜角的范围．

【详解】如图，直线与坐标轴的交点为，，倾斜角为，

直线l：过定点，

直线BC的斜率为，

所以直线BC的倾斜角为，

因为直线l：与直线的交点位于第二象限，

所以直线l倾斜角的取值范围是．

故答案为：．

14．已知为圆上任意一点．则的最大值为__________

【答案】##

【分析】由表示点 与点之间的距离，可转化为圆C上的点M到点的距离．

【详解】圆即，

故圆心，半径为，

又表示圆C上的点M到点的距离，

故其最大值为，

故答案为：

15．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.

【答案】

【解析】由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论

【详解】设数列的公比为q，由，，

得，所以或，

又因为，所以，

从而，

所以.

令，

又因为，所以.

故答案为:6

【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.

16．若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】首先设函数，转化为，利用单调性得，参变分离后，转化为求函数的最小值，从而求得的取值范围.

【详解】设，则，所以在上单调递增，

由已知得，

因为，，，

所以，

，，所以在上单调递增，，

由在单调递增，得到，

所以，因为，

所以，令，

则，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，参数问题，本题的关键是利用指对变形，通过构造函数，不等式转化为，利用函数的单调性，解抽象不等式后，后面的问题迎刃而解.

四、解答题

17．（1）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且，求直线的方程；

（2）已知，若直线过点，且原点到直线的距离为，求直线的方程.

【答案】（1）2x-y-3=0   （2）x+y-1=0或x+7y+5=0

【分析】（1）根据两直线垂直关系，求出的斜率，代入点斜式方程；

（2）讨论直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，若斜率存在，根据距离求出斜率.

【详解】（1）由已知得，直线的斜率为，所以直线的斜率为2.

又直线经过点，所以直线的点斜式方程为：，即2x-y-3=0.

（2）当直线斜率不存在时，方程为：x=2.原点到的距离为2，与已知矛盾，舍去；

所以，直线斜率存在，设为k，则直线的点斜式方程为：y+1=k(x-2)，

可化为kx-y-2k-1=0.

又原点到直线的距离为，即，解得k=-1或.

代入直线方程整理可得，直线的方程为x+y-1=0或x+7y+5=0.

18．在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称.

(1)求圆N的标准方程；

(2)设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.

（i）过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；

（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)（i）7；（ii）是，

【分析】（1）先求出圆的方程，再根据对称性求出圆的方程即可得解；

（2）（i）设出直线、的方程，利用几何方法求出弦长和，再求出面积，然后根据基本不等式求出最大值可得结果；（ii）联立直线与圆的方程，设，，得到和.联立直线和的方程求出交点的横坐标，代入直线的方程，利用和变形可得交点的纵坐标为定值，从而可得结果.

【详解】（1）由题意得：圆M的半径为，

圆心M即AB的中点为，

圆M的方程为：，

因为圆N与圆M关于直线对称，

所以圆N的圆心，半径为，

所以圆N的标准方程为：；

（2）依题意可知，直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，则，，

则，

若，则直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则

，

当且仅当即时取等号，

综上所述，因为，所以S的最大值为；

（ii）设，，

联立，消去y得，恒成立，

则，，

直线OP的方程为，

直线DQ的方程为，

联立，解得，

因为，，所以，所以，

则

，

所以，

所以点G在定直线上.

19．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆C的方程为．

（2）依题意，点，设，

因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．

所以直线斜率必不为0，设其方程为，

与椭圆C联立，整理得：，

所以，且

因为点是椭圆上一点，即，

则，

所以，即

因为

，

所以，此时，

故直线：恒过x轴上一定点．

20．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________

(1)求数列的通项公式；

(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，设等差数列中，公差为，进而得，解方程得，再求通项公式即可；

选②，由题知，进而解得 ，再求通项公式即可；

选③，由题知，即，解得，再求通项公式即可；

（2）由题知，再结合，，，求解即可.

【详解】（1）解：选①

设等差数列中，公差为，因为，，

所以，解得，

所以，

选②

因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，

所以，即，解得

所以.

选③

因为等差数列中，，，

所以，即，解得

所以

（2）解：由（1）知，

因为，，，，

所以当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以

21．已知函数，（）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当时，在上恒成立．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，根据导数判断单调性；

（2）当时，可证不等式成立，当时，可转化为证明成立，构造函数，利用导数证明其单调性与最值情况，进而可得证.

【详解】（1）由，，（），

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，令，解得，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）要证，即证，

①当时，，，该不等式成立；

②当时，，结合，得，

即问题转化为证明：（），

即证（），

令，，

令，则，在上恒成立，即在上单调递增，

又，，所以存在，使得，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以问题得证，

综上所述，当时，在上恒成立.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22．已知（e为自然对数的底数）

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）设，若对任意，总存在．使得，求实数a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；

（Ⅱ）问题转化为，即在恒成立，分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可.

【详解】（Ⅰ），，

令，解得；令，解得，

在单调递增，在单调递减，

；

（Ⅱ）对任意，总存在．使得等价于，

由（Ⅰ），

则问题转化为在恒成立，化得，

令，则，

当时，，得，在单调递增，

，则，即，

故的取值范围为

【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，即在恒成立.