2022-2023学年辽宁省葫芦岛市兴城市高级中学高二上学期期末 数学 （解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省葫芦岛市兴城市高级中学高二上学期期末 数学 （解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二上学期期末线上质量检测——数学
一、选择题（共8小题，每题5分）
1. 已知直线，，条件，条件，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合直线平行的判定方法，即可求出结果.
【详解】若，则直线与平行，即由能推出；
若，则，解得，当时，与重合，不满足题意，应舍去；故；即由也能推出；
综上，p是q的充要条件.
故选：C.
2. 已知，，，如果，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ）
A. 0 B. 9 C. 5 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间向量的基本定理，即可求解.
【详解】，，
与不平行，
，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，
存在实数x，y使得，
即，解得，
即实数为5时，，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，
故选：C.
3. 的展开式中的系数为（ ）
A. 80 B. 24 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把给定积式化成，再分析展开式即可求解作答.
【详解】依题意，，显然展开式中没有项，
展开式的项为，
所以的展开式中的系数为80.
故选：A
4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则的斜率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，抛物线准线方程为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别作点作，垂足为，过点作交于点，则，因为，所以，在中，由，可得，因为轴，所以，此时；当直线的倾斜角为钝角时，可得，故选C．

考点：直线与抛物线的综合应用．
5. 已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.
【详解】设点，则，
且，由，得
，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
故选：B.
6. 已知二面角大小为，动点、分别在平面、内，到的距离为，到的距离为，则、两点之间距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别作于，于，于，于，连接、，则，在三角形中将表示出来，再研究其最值即可．
【详解】如图所示，分别作于，在平面内作于，作于，
在平面内作于，连接、，
因为，，则，
又因为，，、平面，平面，
平面，，
所以，为二面角的平面角，即，同理，
由题意可得，，

，、，，，同理，
所以，，，
在平面内，因为，，且，
又因为 ，
当且仅当，即点与点重合时取最小值．
故选：D.
7. 重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）

A. 108 B. 36 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.
【详解】由题可知中间格只有一种放法；
十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；
四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；
所以不同放法共有种.
故选：C.
8. 过双曲线C：上一点P作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点Q，的面积为1（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点，写出过点P与一条渐近线平行的直线方程，再与另一条渐近线方程联立，解出点Q的坐标，表示的面积，求解值，得出双曲线C的离心率.另外，作为一个小题，也可以利用特殊值，取P为双曲线的右顶点，再计算结果.
【详解】方法一：设点，代入双曲线C的方程，得，
即.
双曲线的渐近线方程为，过P与平行的直线方程为，直线与轴交于.
联立，解得.
，
得，
∴双曲线C：为等轴双曲线，其离心率为．
方法二：不妨取P为双曲线的右顶点，
双曲线的渐近线方程为，过A与平行的直线方程为，
联立，解得，
则，得a＝2．
∴双曲线C：为等轴双曲线，其离心率为．
故选：A．
二、多选题（共4小题，每题5分，少选2分，多选错选0分）
9. 如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
故A错误；
因为，，，
所以，
所以，故B正确；
因为，，
所以，故C错误；
因为，所以，
因为，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A. 第9行中从左到右第6个数是126
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.
【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
11. 下列命题中，表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；直线过定点，数形结合得判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】解：对于选项A：由可得：，
由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；
对于选项B：圆心到直线距离等于，圆的半径，
平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，
所以，圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；
对于选项C：由题知直线过定点，
曲线表示以为圆心，为半径的圆在直线及上方的半圆，
如图，直线为过点，与半圆相切的切线，切点为，
所以，要使直线与曲线有两个不同的交点，则，
所以，当直线与半圆相切时，有，解得，即
因为，
所以实数的取值范围是，故C选项错误；


对于选项D：设点坐标为，所以，即，
因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，
整理可得：，与已知圆相减可得，
消去可得：，即，
由可得，
所以直线经过定点，故选项D正确.
故选：BD
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）

A. 若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B. 的周长为4a
C. 若的面积为12，则椭圆E的方程为
D. 与的面积的比值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：若椭圆E的焦距为2，则，由离心率，则，
所以，则短轴长为，故A错误；
对B：根据椭圆的定义，的周长为4a，故B正确；
对：由，故可得，，所以椭圆的方程可写为，
易知，则，则，
所以，，，则椭圆E的方程为，故C正确；
对：因为，所以，过点B作，

则，，即，
设，，，则，
代入椭圆方程，整理得，
解得或（舍），
所以，故正确.
故选：BCD．
三、填空题（共4小题，每题5分，双填空第一个空2分，第二个空三分）
13. 空间直角坐标系中，点A（1，2，3）关于xOy平面的对称点为点B，关于原点的对称点为点C，则B，C间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出点的坐标即得解.
【详解】解：空间直角坐标系中，点A（1，2，3）关于xOy平面的对称点为点B，关于原点的对称点为点C，
∴B（1，2，－3），C（－1，－2，－3），
则B，C间的距离为．
故答案为：
14. 已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.
【答案】 ①. 或； ②. .
【解析】
【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或；
直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
所以，由直线可得：，
若不经过第三象限，则，
故答案为：或；.
15. 某县精准扶贫攻坚力公室决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该县甲、乙两个贫困村去参加扶贫工作，若要求每组至少3人，且每组均有男干部参加，则不同的派遣方案共有______种．
【答案】180
【解析】
【分析】根据人数和要求每组均有男干部参加，则人数分3人一组，5人一组，或每组4人，平均分两组，然后进行求解即可．
【详解】解：∵要求每组至少3人，且每组均有男干部参加，
∴从人数上分组由两种方案，3人一组，5人一组，或每组4人，平均分两组，
第一类：分3人一组和5人一组，若女干部单独成组，则只有1个派遣方案，不考虑女子单独成组，有个派遣方案，
又因为有可能派3人去甲县，也有可能派3人去乙县，故第一类有派遣方案
（种）；
第二类：因为女干部只有3人，所以不存在女干部单独成组，则有派遣方案
（种）；
故共有不同的派遣方案（种），
故答案：180．
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，结合人数进行分组是解决本题的关键．
16. 已知抛物线及圆，过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为___________.
【答案】13
【解析】
【分析】根据圆心即为抛物线C的焦点F，利用抛物线的定义，结合基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：

圆心即为抛物线C的焦点F.
所以，
由抛物线的定义，，
所以，
又易知：，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为13，
故答案为：13
四、解答题（共6小题）
17. 已知
（1）求的值
（2）求的值
（3）求的值．
【答案】（1）210 （2）
（3）1024
【解析】
【分析】（1）将化为，利用二项式展开式通项公式可求得答案.
（2）采用赋值法即可求得答案；
（3）由题意可得，结合二项式系数和即可得答案.
【小问1详解】
∵,
∴．
【小问2详解】
令 得到,
由（1）知，，所以；
【小问3详解】
∵
，所以，
所以
18. 已知圆C经过点A（－1，0）和B（5，0），且圆心在直线x＋2y－2＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l过点D（－1，1），且与圆C相切，求直线l的方程；
【答案】（1）
（2）x＝－1或4x－3y＋7＝0；
【解析】
【分析】（1）圆C的圆心必定在A，B连线的垂直平分线上，据此与直线 联立方程求出圆心和半径；
（2）运用点到直线距离公式求出l的方程.
【小问1详解】
如图，

圆C的圆心C必定在A，B连线的垂直平分线 上，将代入 ，解得 ，
，半径 ，圆C的标准方程为： ；
【小问2详解】
当直线l的斜率存在时，设直线l：，即kx－y＋k＋1＝0，
则，解得，此时直线l：4x－3y＋7＝0；
当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1显然与圆C相切，
所以直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0；
综上，圆C的标准方程为：，直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0.
19. 如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P－DC－B，连接PA、PB、BD．

（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由直二面角P－DC－B得PD⊥平面ABCD，再利用线面垂直的性质定理和判定定理可得答案；
（2）PD⊥DA，PD⊥DC，DC⊥DA，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
∵PD⊥DC，AD⊥DC，直二面角P－DC－B的平面角为，
∴PD⊥平面ABCD，
又平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又在平面四边形ABCD中，连接BD，由题意易得BD⊥BC，而，
平面PBD，平面PBD，
故BC⊥平面PBD，
又平面PBC，
∴平面PBD⊥平面PBC；
【小问2详解】
由（1）知，PD⊥DA，PD⊥DC，DC⊥DA，故以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
设平面PBC的法向量为，则，
可取，
又，
∴，
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
20. 已知抛物线的焦点为是曲线上的一点，且．
（1）求的方程；
（2）直线交于A、B两点，且的面积为16，求的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）将代入得，再根据抛物线的定义可得，即可求得抛物线的方程；
（2）联立直线与抛物线，根据斜率公式和韦达定理以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）由题意，将代入，得，
又，解得，
∴抛物线的方程为．
（2）直线的斜率显然存在，设直线，
由，得，所以，
又由，解得，
∴直线方程为，所以直线恒过定点，
原点到直线的距离，
∴
，
所以，解得，
所以直线的方程为．
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．

（1）证明：BC⊥平面ACFE；
（2）设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，求cosθ的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）证明BC⊥AC．通过平面ACFE⊥平面ABCD，推出BC⊥平面ACFE．
（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，平面FCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，因AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°
所以AB＝2，所以AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3，
所以AB2＝AC2+BC2，所以BC⊥AC．
因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．
（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则C（0，0，0），，B（0，1，0），M（λ，0，1）．
∴，．
设（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由得，取x＝1，则(1，，)，
∵(1，0，0)是平面FCB的一个法向量
∴cosθ
∵，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．
∴．

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
22. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线与C交于M，N两点．
（1）当m＝2时，求的值；
（2）直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）联立直线与椭圆方程，根据对称关系以及韦达定理，结合弦长公式即可求解，
（2）根据两点式分别求解直线的方程，联立直线的方程，求解交点坐标，进而可求解.
【小问1详解】
折线为，不妨设M在F的右侧，N在F的左侧，
设，，则M，N关于x轴的对称点分别为，，
联立，得，
所以是的两根，
所以，，，（1），
当m＝2时，．
【小问2详解】
由题意知，，
则直线AM的方程为，
又因为M在F的右侧，所以满足，
所以直线AM的方程为①，
由题知，，则直线BN的方程为，
又因为，
所以直线BN的方程为②，
得，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
解得x＝1，
所以定点P在直线x＝1上．

【点睛】直线与椭圆的位置关系和直线与抛物线、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；有关直线与椭圆的弦长问题，则用一般弦长公式．
解析几何简化运算的常见方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；
（3）巧用定义，简化运算.