2022-2023学年内蒙古包头市第四中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

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2022-2023学年内蒙古包头市第四中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，与复数的共轭复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由共轭复数定义，及复数与点的对应关系可得【详解】复数的共轭复数为，对应得点为，位于第二项限.故选：B2．已知命题，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全称命题改为特称命题的规则修改即可.【详解】全称命题改为特称命题，全称量词改为特称量词，结论改为原结论的反面，故命题的否定为故选：C3．（    ）A．i B． C．1 D．【答案】D【分析】根据复数的运算求解即可.【详解】，故选：D4．设是两个命题， ，则p是q的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式可得命题或，或，判断或或，即可判断答案.【详解】命题即或，即或，由于或或，故p是q的充分而不必要条件，故选：A.5．设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ）A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线【答案】D【分析】由条件可得，即可得答案．【详解】因为，所以动点M的轨迹是射线．故选：D6．设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据离心率和长轴长计算得到，，判断曲线为焦点在轴上的双曲线，根据双曲线的定义计算得到答案.【详解】椭圆的离心率为，，，故，故椭圆的两个焦点为，，曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于8，，故曲线为焦点在轴上的双曲线，，，，，故双曲线方程为.故选：A7．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以．故选：C8．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点做轴，令，则，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解即可.【详解】如图所示过点做轴，令，因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为，所以由抛物线的性质得，解得，所以，故选：B9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm【答案】B【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．10．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．【解析】椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．11．如图，，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（    ）．A．4 B． C．6 D．9【答案】A【分析】结合已知条件得，推出，然后求出，即可求得．【详解】因为点为的中点，所以，又，所以，，所以，所以，解得，所以．故．故选：A.12．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，设A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得则△AFK的面积=4×2m•=4m=8, 故选B.二、填空题13．若，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据条件得到，得到取值范围.【详解】，故，则，又，故.故答案为：14．已知命题：关于的方程有实根；命题：关于的函数在上是增函数，若是真命题，则实数的取值范围是______ ．【答案】【分析】根据条件求出命题，为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【详解】解：命题：关于的方程有实根，则，解得或．命题：关于的函数在上是增函数，，解得．若是真命题，则，同时为真命题，则，即或，故答案为：15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【答案】1和3.【详解】 根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和； （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和； （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”； 所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是和. 16．已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________.【答案】．【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程．【详解】由题意，在线段的垂直平分线上，则，所以，又，所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，，，，则，所以轨迹方程为．故答案为：．三、解答题17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上x，长轴长为4，焦距为2；(2)一个焦点坐标为，短轴长为2．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据长轴长求出，根据焦距求出，从而求出，写出椭圆方程；（2）根据焦点坐标与短轴长求出b，c，从而求出a，写出椭圆方程.【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为（），∵长轴长为4，焦距为2，∴，，∴，，∴，∴椭圆的方程为；（2）焦点坐标为，短轴长为2，设椭圆的方程为（），∴，，∴，∴椭圆的方程为．18．已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合（如图）．(1)写出该抛物线的方程和焦点的坐标；(2)求线段中点的坐标．【答案】(1)；.(2)【分析】(1)根据点在抛物线上，即可求解；(2)由已知条件知：是线段的一个三等分点，且，由此能求出点的坐标.【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得：，所以抛物线的方程为：，焦点坐标为.（2）因为的重心与此抛物线的焦点重合，由三角形重心的性质可得：，设，，，则，解得：，所以线段中点的坐标为.19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．【答案】(1)；(2)的交点坐标为，，的交点坐标为，．【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；(2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出．【详解】（1）因为，，所以，即的普通方程为．（2）因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为．联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标为，．20．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.21．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.【详解】（1）因为l：，所以，又因为，所以化简为，整理得l的直角坐标方程：（2）[方法一]：【最优解】参数方程联立l与C的方程，即将，代入中，可得，化简为，要使l与C有公共点，则有解，令，则，令，，对称轴为，开口向上，，，，即m的取值范围为.[方法二]：直角坐标方程由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，联立，得，即，即有，即，的取值范围是．【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错． 22．设分别是椭圆的左、右焦点．(1)若P是该椭圆上的一个动点，求，求点P的坐标；(2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】(1)求出椭圆的a、b、c，设，利用平面数量积的坐标表示和即可求解；(2)设直线的方程和，联立椭圆方程，根据和为锐角可得，结合韦达定理代入化简计算即可求解.【详解】（1）由题意知，，所以，设，则，又，有，解得，所以；（2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，，，解得，①，则，又为锐角，则，即，，所以，解得，②由①②，解得或，所以实数k的取值范围为.