2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用集合的交集运算即可.

【详解】由题可知，，

故选:A.

2．从编号为的样品中利用系统抽样的方法抽取件样品进行质量检测，若所抽取的样本中包含编号为的样品，则一定不会被抽到的样品的编号是（    ）

A．28 B．42 C．52 D．82

【答案】A

【分析】首先求出抽样间隔，即可判断.

【详解】解：从编号为的样品中利用系统抽样的方法抽取件样品进行质量检测，

则抽样间隔为，因为所抽取的样本中包含编号为的样品，

则按照系统抽样的方法可知编号尾数为的样品会入样，

则编号为的样品一定不会被抽到.

故选：A

3．若，，则下列不等式恒成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过举例的方法判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.

【详解】对于A.取，则，故错误；

对于B.取，则，故错误；

对于C.取，则，故错误；

对于D.由不等式的性质“在不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变”可知D正确，

故选：D.

4．甲、乙两位运动员在场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（    ）

A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定

C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定

【答案】D

【分析】计算出甲、乙得分的平均值与方差，可得出结论.

【详解】由茎叶图可得，，

甲得分的方差为，

乙得分的方差为，

所以，，，故，乙比甲成绩稳定，

故选：D.

5．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）．

A．10层 B．11层 C．12层 D．13层

【答案】C

【分析】设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值

【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层，

即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，

则．

该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，

则有，

又，则有，

即，解得或（舍去），则．

故选：C．

6．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用余弦定理求出，由同角平方关系求，然后结合正弦定理即可求解.

【详解】，，，由余弦定理得：

，

，由正弦定理得：

故选：C.

7．已知直线与圆交于两点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径之间的关系，以及点到直线的距离公式列方程求解即可.

【详解】因为圆的圆心，半径，弦长，

所以到直线的距离，

即，解得．

故选：D．

8．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，用列举法写出所有的基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率.

【详解】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，

则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，

其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，

所以所求概率为.

故选：C.

9．哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为的正方形区域内随机投掷个点，其中落入黑色部分的有个点，据此可估计黑色部分的面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设黑色部分的面积为，利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面积.

【详解】设黑色部分的面积为，

正方形二维码边长为4,

在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，

，解得，

据此可估计黑色部分的面积为9，故选C.

【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

10．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是（计算平均值时同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（    ）

A．63、64、66 B．65、65、67 C．65、64、66 D．64、65、64

【答案】B

【分析】根据频率分布直方图估计众数、中位数、平均数.

【详解】由图可知：各组的频率依次为，

可得的频率最大，故众数的估计值为65，

∵，故中位数位于内，

设中位数为，则，解得，

平均数，

故选：B.

11．已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（    ）

A．9 B．24 C．4 D．6

【答案】C

【分析】由题意可得，利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为函数图象恒过定点

又点A的坐标满足关于的方程，

所以，即

所以

，当且仅当即时取等号；

所以的最小值为4．

故选：C．

12．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由、、依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出关系式代入并利用基本不等式求出的范围，利用余弦函数的性质确定出的范围即可．

【详解】在中，、、依次成等比数列，

，

利用正弦定理化简得，

由余弦定理得（当且仅当时取等号），

因为,

则的范围为，，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

二、填空题

13．当时，执行程序（如图），输出的结果是___________.

【答案】6

【分析】根据条件分支求值即可.

【详解】∵，则.

故答案为：6

14．若实数，满足约束条件，则的最大值是_____________.

【答案】8

【分析】由题中条件作出平面区域，根据目标函数的几何意义分析运算.

【详解】由，作出平面区域，如图所示，

∵，即，表示斜率为2，横截距为的直线，

∴当直线过点时，横截距取到最大值，

故的最大值是.

故答案为：8.

15．在区间上随机选取一个实数x，则事件“”发生的概率为_____.

【答案】

【分析】由对数不等式的解法得：，由几何概型中的线段型：，得解．

【详解】解：解不等式得：，设事件A为“”，

由几何概型中的线段型可得：，

故答案为

【点睛】本题考查了对数不等式的解法及几何概型中的线段型，属基础题．

三、双空题

16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，下图中第一组的1，3，6，10称为三角形数，第二组的1，5，12，22称为五边形数，则三角形数的第7项为___________，五边形数的第n项为___________.

【答案】     28    

【分析】根据其图形规律得出其通项，即可得出答案.

【详解】三角形数的每一项是从1开始的连续自然数的和，则，

则三角形数的第7项为，

五边形数的第一项为，第二项为，第三项为，

则五边形数的第n项为，

故答案为：28，.

四、解答题

17．在中，内角，，对应的边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求；

（2）由已知结合余弦定理即可直接求解．

【详解】（1），由正弦定理得，

是三角形内角，，

，是三角形内角，

．

（2）由余弦定理，得，

．

18．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y单位：百万元）之间有如下的对应数据：

(1)求；

(2)求y关于x的线性回归方程.

(3)如果广告费支出为9百万元，预测销售额大约为多少百万元？

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：..

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）利用平均数计算公式，可得答案；

（2）利用题目中提及的计算公式，可得答案；

（3）利用回归直线方程，可得答案.

【详解】（1），.

（2），，

则y关于x的线性回归方程为.

（3）将代入，解得，

则预测销售额大约为百万元.

19．已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，平面ABCD，求证：

(1)平面SAC；

(2)若，求点C到平面SBD的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平面ABCD，可得，再由四边形ABCD为正方形，可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论，

（2）以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，

，

又四边形ABCD为正方形，

，

又，

平面；

（2）因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为，

所以两两垂直，

所以以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系

则，

所以，，

设平面BDS的法向量为，则

，令，则

所以点C到平面SBD的距离

20．已知数列的前项和，且；

（1）求它的通项.

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.

【详解】（1）由，

当时，；

当时，，

当也成立，

所以则通项；

（2）由（1）可得，-

，

，

两式相减得

所以数列的前项和为.

【点睛】本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.

21．卡塔尔世界杯将于2022年11月到来，这是世界足球的一场盛宴.为了了解全民对足球的热爱程度，某足球比赛组委会在某场比赛结束后，随机抽取了200名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，绘制了如下图所示的频率分布直方图.

(1)补全频率分布直方图；

(2)将评分在90分及以上的观众确定为“足球发烧友”.

（i）若该场比赛共有3000名观众观看，请你估计这3000名观众中，有多少人不是“足球发烧友”？

（ii）现从被确定为“足球发烧友”的两组中用分层抽样的方法随机抽取5人，然后再从抽取的5人中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间的概率.

【答案】(1)频率分布直方图见解析

(2)（i）1875；（ii）

【分析】（1）根据频率分布直方图计算出在上的频率比组距，即可补全频率分布直方图；

（2）（i）根据频率分布直方图得出再90分及以上的观众的概率，即可得出该场比赛中是“足球发烧友”的人数，即可得出该场比赛中不是“足球发烧友”的人数；

（ii）根据两组比例关系结合分层抽样得出各有多少人，即可根据古典概型的概率求法求出答案.

【详解】（1）在上的频率比组距为：，

故频率分布直方图如下：

（2）（i）根据已知，该场比赛中是“足球发烧友”的有人，

则该场比赛中不是“足球发烧友”的有人；

（ii）两组的比例为，

则应在内取人，应在内取人，

则这两人中至少有1人的评分在区间的概率.

22．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列的前n项和为，，___________，___________.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和；

(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意列式求解，即可求通项公式；

（2）利用裂项相消法求和；

（3）根据题意可得存在，使得成立，根据存在性问题结合基本不等式运算求解.

【详解】（1）若选①②：设等差数列的公差为，

由题意可得，解得，

故；

若选①③：设等差数列的公差为，

由题意可得，解得，

故；

若选②③：设等差数列的公差为，

由题意可得，解得，

故.

（2）由（1）可得，

故.

（3）∵，

∴，即，

∵，

又∵，当且仅当，即时等号成立，

∴，即，

故实数的取值范围.

【点睛】方法点睛：

（1）裂项相消的规律：①裂项系数取决于前后两项分母的差；②裂项相消后前、后保留的项数一样多；

（2）数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．