2022-2023学年青海省海东市第一中学高二上学期12月期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年青海省海东市第一中学高二上学期12月期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间点关于直线对称的知识确定正确选项.
【详解】空间点关于轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反，
所以关于轴的对称点为.
故选：B
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】根据倾斜角的定义可得结果
【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为，
故选:C.
3．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程即得.
【详解】因为圆的圆心为，
则圆的圆心坐标是.
故选：C．
4．正三棱柱，如图所示，以四边形的前面为正前方画出的三视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三视图的知识确定正确答案.
【详解】由于四边形的前面为正前方，
所以主视图为矩形，左视图为三角形，
俯视图是中间有一条横线的矩形，
所以A选项正确.
故选：A
5．已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由两条直线平行的直线求参数，再利用两平行线间的距离求解即可.
【详解】因为直线与互相平行，
所以有，
所以与的距为：
．
故选：C.
6．圆和圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相切C．内含D．相交
【答案】D
【分析】求出两个圆心距与半径和半径差的关系.
【详解】
又
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，∴，∴，圆与圆相交．
故选：D
7．一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据球半径，球心距与底面圆半径构成直角三角形求解.
【详解】画图为：
从图像得半径
又因为球心到这个平面的距离为3，即
所以球半径
所以该球的体积为：
故选：A
8．已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据圆关于直线对称，可知直线经过圆心，得到的关系式，然后结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】因为圆的圆心为，且圆关于直线（，为大于0的常数）对称，
所以直线过圆心，所以，又，，
所以．（当且仅当，时，取“=”）．
故选:A．
9．设直线，交圆于A，B两点，当面积最大时，（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】设圆心到直线的距离为，利用来表示的面积，然后得到当时面积最大，利用点到直线的距离公式列方程，解方程即可得到.
【详解】由题意知圆的圆心为，，
直线经过定点，该点在圆外，
设圆心到直线的距离为，，则，，
令，则，，当，即时，最大，
所以，解得.
故选：C
10．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标；
【详解】设C点标为，直线AH斜率，
∴，而点B的横坐标为6，则，
直线BH的斜率，
∴直线AC斜率，
∴，
∴点C的坐标为．
故选:.
11．如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】C
【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案.
【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示,

因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以，
所以，即小虫爬行的最短距离为,
故选：C
12．在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案
【详解】连接，
在中，因为是的中点，
所以，平方得，
将代入可得，
因为，所以，
所以，
在，，
所以，
当且仅当即时，取等号,
故选：A
二、填空题
13．已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为________．
【答案】0或1
【分析】根据两直线垂直关系，建立方程求解即可.
【详解】因为直线，直线
所以当，
有，
所以或
解得或1．
故答案为：0或1
14．若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①，；②，；③，：④，．其中正确命题的序号有________．
【答案】①③
【分析】依据直线与平面、平面与平面的位置关系，找出反例逐一分析，即可得出答案.
【详解】若，则又因为,所以则，①正确.
如果是长方体相对的两侧面,则它们都垂直底面,但这两个平面互相平行,故也可能平行,②不正确.
,则存在,,则由面面垂直的判定定理,③正确.
如果是长方体相邻的两侧面,为长方体不在这两个面内的侧棱, ,,也可能相交,④不正确.
综上，正确的命题的序号是①③.
故答案为:①③.
15．过点作圆的切线，则切线方程为___________．
【答案】或
【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.
【详解】①直线的斜率不存在时满足，
②直线斜率存在时，设切线方程为，则，
所以切线方程为，即．
故答案为：或.
16．已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．
【答案】
【分析】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.则EF＋FG＋GC＋CH＋HE为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解．
【详解】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；
则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG．
∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝，
∴AN＝，∴，
∴，，；
同理，，，；
∴平面CEF截正方体所得截面的周长为：
EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．
故答案为：.
三、解答题
17．已知空间直角坐标系中有三点．
(1)求三角形ABC的中线CM的长；
(2)证明三角形ABC是等腰直角三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出AB的中点M的坐标，由两点间的距离公式可得答案；
（2）求出，，，再由勾股定理可得答案.
【详解】（1）由题意可知AB的中点为，即M为，
则，
（2）∵，
，
，
∴，，
综上三角形ABC是以A为顶点的等腰直角三角形.
18．求符合下列条件的直线的方程：
(1)过点，且斜率为；
(2)过点，；
(3)过点且在两坐标轴上的截距相等．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）利用点斜式写直线方程即可；
（2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程；
（3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程.
【详解】（1）∵所求直线过点，且斜率为，∴，即；
（2）∵所求直线过，，∴，
∴，即；
（3）当直线过原点时，设直线方程为，
∵直线过点，∴，直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入上式，得，解得，
故直线的方程为，综上，直线方程为或．
19．如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，点E为PC的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求证：平面平面PAC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线以及线面平行的判定定理证得平面BDE.
（2）通过证明平面PAC，来证得：平面平面PAC．
【详解】（1）连接AC交BD于O点，连接EO，
∵底面ABCD是菱形，O为AC的中点，
∵点E为PC的中点，，
∵平面BDE，且平面BDE，∴平面BDE；
（2）∵底面ABCD是菱形，∴，
∵，，平面PAC，平面PAC，
∴平面PAC，
又平面PBD，
∴平面平面PAC．
20．已知圆的方程为．
(1)求实数的取值范围；
(2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可；
（2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值.
【详解】（1）方程可化为，
∵此方程表示圆，
∴，即，即.
（2）由（1）可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
由弦长公式及，得，解得，
∴，得．
21．已知点，，点A关于直线的对称点为点
(1)求B点坐标；
(2)在中，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合点关于线对称可得，解方程组即可求出结果；
（2）求出动点的轨迹，进而可得点在或时，三角形的面积最大，从而结合三角形的面积公式即可求出结果.
【详解】（1）设B的坐标为，则，解得，
则B的坐标为
（2）设，
，圆心为，半径为，
当点在或时，三角形的面积最大，
此时
故面积的最大值为.
22．如图，四边形ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，，AB＝AF＝2CE，H点为FB的中点.
(1)证明：平面AEH⊥平面FBC；
(2)试问在线段EF（不含端点）上是否存在一点P，使得平面FBD．若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，P点是靠近E端的三等分点
【分析】（1）由AF⊥平面ABCD，可得AF⊥平面ABCD，再由四边形ABCD是正方形，可得BA⊥BC，然后由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面AFB，则AH⊥BC，再由等腰三角形的性质可得AH⊥BF，则由线面垂直的判定可得AH⊥平面FBC，然后由面面垂直的判定可得结论，
（2）假设存在点P使平面FBD，作AF的中点G，连接AC与BD交于O点，连接CP，FO分别交GE于点M，T，然后由线面平行的性质结合三角形相似可求得点P的位置
【详解】（1）证明：∵AF⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AF⊥BC，
又∵四边形ABCD是正方形.∴BA⊥BC，
又∵，平面AFB.平面AFB，
∴BC⊥平面AFB，
∵平面AFB，∴AH⊥BC，
又∵H为FB的中点，AF＝AB，∴AH⊥BF，
∵.∴AH⊥平面FBC，
∵平面AEH，
∴平面AEH⊥平面FBC；
（2）解：假设存在点P使平面FBD，作AF的中点G，连接AC与BD交于O点，连接CP，FO分别交GE于点M，T，
∵面FBD，面面FBD＝FO.
∴，
∵四边形ACEG是矩形，
∴.
又，∴，
∴P点是靠近E端的三等分点.