2022-2023学年山东省滨州市首都师范大学附属滨州中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省滨州市首都师范大学附属滨州中学高二上学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省滨州市首都师范大学附属滨州中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据求解即可.【详解】因为等比数列，，所以.故选：D2．下列关于抛物线的图象描述正确的是（       ）A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】A【分析】把化成抛物线标准方程，依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点坐标即可解决.【详解】，即.则，即故此抛物线开口向上，焦点为故选：A3．若直线与直线平行，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件列式计算，再进行验证即可作答.【详解】因直线与直线平行，则，解得，当时，直线与直线平行，所以.故选：A4．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标与向量的模长分别是（    ）A．；5 B．；C．； D．；【答案】B【分析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.【详解】因点，，所以线段的中点坐标为，.故选：B5．已知公差为的等差数列满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.【详解】∵数列是公差为的等差数列，∴，∴.故选：C6．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.【详解】双曲线，，，因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，所以，，，.故选：B7．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..  当，即时，取得最大值.故选：C.8．已知若函数有两个零点，则实数的取值范围是A． B． C．或 D．【答案】B【分析】依题意画出函数的图象，将函数的零点转化为函数与的交点，数形结合即可得到不等式，从而解得；【详解】解：因为画出函数图象如下所示：函数有两个零点，即函数与有两个交点，所以所以故选：B【点睛】本题考查函数方程的综合应用，数形结合思想的应用，属于中档题. 二、多选题9．下列直线方程中斜率的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】把所给直线方程化成斜截式直线方程，直接读取斜率，与1进行比较即可.【详解】选项A：可化为，斜率，则有.判断正确；选项B：可化为，斜率.判断错误；选项C：，斜率，则有.判断正确；选项D：，斜率，则有.判断正确.故选：ACD10．已知曲线的方程为，则（    ）A．曲线关于直线对称B．曲线围成的图形面积为C．若点在曲线上，则D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为【答案】ABC【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.【详解】对于A，曲线上任意点有：，该点关于直线的对称点有，即曲线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确；对于B，因点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于x轴，y轴对称，当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)，因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以曲线围成的图形面积是，B正确；对于C，点在曲线上，则，则有，即，解得，而，C正确；对于D，曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，D不正确.故选：ABC11．已知函数，其中实数，点，则下列结论正确的是（    ）A．必有两个极值点B．当时，点是曲线的对称中心C．当时，过点可以作曲线的2条切线D．当时，过点可以作曲线的3条切线【答案】ABD【分析】对求导，得到的单调性，判断的极值点个数可判断A；当时，计算可判断B；当时，设切点为，求出过点的切线方程，通过求可判断C；设切点为，求出过点的切线方程，令所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数即可判断D.【详解】对于A，，令，解得：或，因为，所以令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.所以A正确；对于B，当时，，，，所以点是曲线的对称中心，所以B正确；对于C，当时，，令，，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，化简得：，，所以过点不可以作曲线的切线，所以C不正确；对于D，，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得：，令所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.,则在上单调递增，在上单调递减，，如下图所示，当时，过点可以作曲线的3条切线.故D正确.故选：ABD.12．如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ）A．圆和圆外切 B．圆心一定不在直线上C． D．的取值范围是【答案】ABC【分析】由双曲线定义及圆的切线长定理，数形结合可以顺利求得的横坐标，同样由数形结合可得到直线的倾斜角取值范围为，接下来再去求值、证明即可解决.【详解】双曲线的，渐近线方程为、，两渐近线倾斜角分别为和，设圆与x轴切点为G过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为由双曲线定义和圆的切线长定理可知、的横坐标均为，即与x轴垂直.故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确；由双曲线定义知，中，，则AO只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上. 选项B判断正确；在中，，，则由直角三角形的射影定理可知，即则，故.选项C判断正确；由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，则的取值范围为，故则令，则在单调递减，在单调递增.，，，值域为故的值域为.选项D判断错误.故选：ABC【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 三、填空题13．已知车轮旋转的角度（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系为，则车轮转动开始后第时的瞬时角速度为_________．【答案】【分析】求导，然后将代入导函数计算即可求出结果.【详解】因为，则，则，故答案为：.14．已知数列满足，，则 ______.【答案】1023【分析】由数列递推公式求特定项，依次求下去即可解决.【详解】数列中，则，，，，，，故答案为：102315．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.【答案】【分析】过焦点作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.【详解】抛物线的焦点当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程可设为，不妨令则，故当过焦点的直线斜率存在时，直线方程可设为，令由整理得则，综上，故答案为：16．已知圆与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终相切；②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；③时，圆被直线截得的弦长为；④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4其中正确命题的序号为___________.【答案】①③④【分析】对于①，两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和或差，由此可解；对于②，两圆外切时，只有三条公切线，故可判断；对于③，代入求得圆，再利用弦长公式即可求得所截弦长；对于④，由两圆外切可知的最大值就是两圆的直径之和，由此得解.【详解】对于①，由题意得，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距，又，即，即两圆外切，所以对于任意，圆和圆始终相切，故①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，故②错误；对于③，当时，圆的方程为，故圆心为，又直线，故圆心到直线的距离为，设其被所截弦为，故由弦长公式得，故③正确；对于④，由①知两圆相切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，所以，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题通过命题的形式考查了直线与圆及圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系离不开圆心距与半径的和、差的关系，本题中利用两点间的距离公式和三角函数知识即可得到圆心距为定值，恰好等于半径的和，得到两个圆为外切关系，公切线有条；关于圆的弦长通常求出弦心距利用勾股定理即可求得弦长；两动点间的距离根据图形转化为两定点间的距离来解决就容易多了. 四、解答题17．已知函数的图像过点，且在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）求函数的极大值.【答案】（1）；（2）7.【分析】（1）由图象过点求出的值，再代入求出导数，再由切线方程求出、，分别代入求出和的值；（2）由（1）知，，求出函数的导函数，再令，求出，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极大值；【详解】解：（1）的图象经过，，，.点处的切线方程为，①，还可以得到，，即点满足方程，得到②，由①、②联立得，故所求的解析式是.（2）由（1）知，，，令，得或，当时，，当时，，当时，，即函数在和上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为.【点睛】本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的性质：单调性和极值等，属于中档题.18．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.(1)若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?(2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.【答案】(1)(2)120 【分析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得；（2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得.【详解】（1）根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，当时，则轮船返港的直线为，因为没有触礁危险，所以原点到的距离，解得.（2）根据题意可得，，点C在直线上，故点C，设轮船返港的直线是，则， 所以. 当且仅当时取到最小值.19．如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.【详解】（1）证明：∵，，∴△≌△, ∴,设，在△中，由余弦定理得，即，则, 即，，连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，则，， ∵，∴.（2）由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即， 则，记直线与平面所成角为，.20．已知数列的前项和分别是，满足，，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列对任意都有恒成立，求.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，由等差数列、等比数列的定义即可求解；（2）根据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，求出，最后利用错位相减法即可得答案.【详解】（1）解：因为，，所以， ，得，所以是以2为首项2为公差的等差数列，是以1为首项2为公差的等差数列，所以，，所以；因为，所以，又由得，所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以.（2）解：当时，，当时，，得，即， 记，则,,则.21．如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)记,的面积分别为，求的取值范围；(3)若的重心在圆上，求直线的斜率.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件得到，，即可得到椭圆的方程.（2）首先设直线为，与椭圆联立得到，根据得到的范围，从而得到的范围.（3）设重心，根据重心性质得到，，再代入求解即可.【详解】（1）因为左顶点，所以，根据，可得，解得，所以；（2）设直线为，则，则，，    那么，根据解得，所以.（3）设重心，则：，，所以，所以，即所求直线的斜率为.22．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为.  (2) ,(3)详见解析【详解】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小.试题解析:(1)解： ．当时，，函数在上单调递增，函数的单调增区间为．当时，由，得；由，得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.   (2)解：由(1)得，若函数有两个零点则，且的最小值，即.因为，所以.令，显然在上为增函数，且，，所以存在，.当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知.不妨设，则，.两式相减得，即．所以.因为，当时，， 当x∈时，，故只要证即可，即证明，即证明，即证明.设．令，则.因为，所以，当且仅当t＝1时，，所以在上是增函数．又，所以当时，总成立．所以原题得证点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.