2022-2023学年山东省东营市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省东营市高二上学期期末考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省东营市高二上学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，根据过两点的斜率公式列式求解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为.所以，解得.故选:C.2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意设双曲线方程为，则其渐近线方程为，将代入中可求出，从而由可求出离心率.【详解】由题意设双曲线方程为，则其渐近线方程为，因为双曲线的一条渐近线经过点，所以，所以，所以离心率，故选：D3．在三棱锥中，G是的重心，M是线段的中点，若，则（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据空间向量的运算，用基底表示出相关向量，根据空间向量基本定理，即可求得答案.【详解】如图在三棱锥中，连接并延长交于D，则D为的中点，M是线段的中点，G是的重心，则,故，故.故选：A4．在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线线平行可用几何法找到两异面直线所成的平面角，再利用锐角三角函数即可求解.【详解】取中点,连接,，不妨设正方体的棱长为2，由于分别为的中点，则，又在正方体中，易得，所以，故异面直线与所成角为或其补角，因为，平面，所以平面，又平面，故，所以在直角三角形中，，易知异面直线与所成角为锐角，所以其余弦值为.故选：D..5．如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（    ）A．14 B．18 C．30 D．36【答案】B【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为其中两名女航天员在一个舱内的方案数为所以满足条件的方案数为种.故选:B.6．已知点P为圆C：上一点,，，则的最大值为（    ）A．5 B．7 C．10 D．14【答案】D【分析】设，表示出，继而得，将问题转化为圆上的动点到的距离的最大值问题，可得答案.【详解】设，则，∵，，∴，，则，故，而的几何意义为圆上的动点到的距离，其最大值为，∴的最大值为，故选：7．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是等腰三角形，，且球O的直径，则该三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合正弦定理求出△ABC外接圆半径，利用勾股定理求出，进而得到，结合三棱锥体体积公式即可求解.【详解】由△ABC是等腰三角形，，,易得，如图，设△ABC外接圆圆心为M，则平面ABC，作平面ABC,又，,故，则，,故选：C. 二、多选题8．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（    ）A．动点的轨迹方程为B．动点的轨迹与圆：没有公共点C．直线：为成双直线D．若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则【答案】CD【分析】根据题意先求出动点P的轨迹方程为椭圆，再借助判别式判断直线、圆与椭圆的位置关系即可；选项D直接计算的值．【详解】解：设，则，化简得，故A错；联立消y得，整理得，，故动点的轨迹与圆：有两个公共点，故B错；联立消去y得，，故直线上存在这样的点，所以直线：为成双直线，故C对；联立消整理得，解得，故，不妨设，设，故，则，，将代入上式，，故D对．故选：CD．【点睛】本题D的结论应当记住，也即．当时，，此时动点P的轨迹为圆，而这个结论是显然的，可以帮助我们记忆上述结论．9．已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ）A．若，，则m与β相交B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】BCD【分析】对于A，判断m与可能相交也可能平行；对于B，根据线面垂直以及面面平行的性质即可判断；对于C，根据平面的法向量可判断正误；对于D，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可判断正误.【详解】对于A, 若，，则m与可能相交也可能平行，错误；对于B，若，，则，由于，则，正确；对于C，若，，则可在直线m上取向量作为的法向量，在直线n上取向量作为的法向量，因为，故，即有，正确；对于D,由，，可得或，由于，故，正确，故选：BCD10．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（    ）A．若不选择政治，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；对于B，若物理和化学选一门，选法总数为，若物理和化学都选，则选法数有种，故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B错误；对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C正确；对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法；当物理和化学中只选化学时，有种选法；当物理和化学中都选时，有种选法，故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D错误，故选：11．已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是A． B． C． D．【答案】ABC【解析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则，，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，，（抛物线定义），C选项正确；，，D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12．已知在边长为2的菱形ABCD，，AC与BD相交于点O，将△ABD沿BD折起来，使顶点A至点M的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（    ）  A．B．当为等边三角形时，C．当时，二面角的大小为60°D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°【答案】ABD【分析】通过证明平面可判断A；当为等边三角形时，是棱长为2的四面体,根据体积公式可判断B；时，是棱长为2的四面体，求解二面角可判断C；先找出线面角，然后考虑其正弦值范围即可判断D．【详解】对于A，因为四边形是菱形，依题易知，因为平面,所以平面.又MC平面MOC，所以，故选项A正确. 对于B,当为等边三角形时，是棱长为2的四面体，，的外接圆半径为，故四面体的高为,所以,故选项B正确.对于C,取BC的中点H，连接DH,MH，由知：，又,平面，所以平面.因为平面，则，于是，故是棱长为2的四面体. 设二面角的大小为，由选项B的解析可得,故，故选项C错误.对于D,设点M在平面BCD射影为Q，则∠MDQ是直线DM与平面BCD所成角，则，易知，所以当最大时，，此时 最大为，则直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°．选项D正确．故选:ABD. 三、填空题13．若直线l：与直线m：互相平行，则______．【答案】##【分析】根据两直线方程，判断斜率存在，由题意可得，解出a后，验证是否符合题意，可得答案.【详解】由题意可知直线l：的斜率为，因为直线l：与直线m：互相平行，故直线m：的斜率存在，且为，则，解得或，当时，直线l：与直线m：重合，不合题意，当时，直线l：与直线m：互相平行，故答案为：14．已知，则______．【答案】10【分析】，根据二项式定理即可求解.【详解】，其二项展开式的通项为，是展开式的系数，令，可得.故答案为:10.15．已知直线：，则圆截直线所得的弦长的取值范围是______．【答案】【分析】求出直线所过的定点、圆心及半径，根据垂径定理可求弦长的最小值，最大值为直径的长度.【详解】直线的方程即，故直线恒过定点.圆的标准方程为，圆心为，半径为4，因为，所以在圆内，直线恒与圆相交.圆心到点的距离为，则圆截直线所得的弦长的最小值为，最大值为直径的长度.所以圆截直线所得的弦长的取值范围是.故答案为:. 四、双空题16．Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dominique Cassini（1625—1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数．b是正常数，设，的距离为2a，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线．若，．动点P满足．则动点P的轨迹C的方程为______：若A和是轨迹C与y轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为______．【答案】          【分析】由题意可得，即可确定曲线形状，结合，可求得曲线方程；由此可求出A和的坐标，利用曲线的对称性，可考虑P在第一象限内情况，要求面积的最大值，需求的P点横坐标的最大值，利用换元法结合二次函数的性质即得.【详解】由题意可得，，故动点P的轨迹为双纽线，设，因为，所以 ，即 ，所以动点P的轨迹C的方程为；令，可得，解得或,所以不妨设，由对称性，故可考虑P在第一象限的情况，因为为定值，所以面积最大时，即点P的横坐标最大，又即，所以，令，则因为，所以，故， 当时，取得最大值1，即的最大值为1，则x的最大值为1，所以的最大值为，故面积的最大值为.故答案为：；.【点睛】难点点睛：求出曲线的方程，可判断曲线形状，由此求的面积的最大值时，根据曲线的对称性，考虑点P在第一象限内，要利用方程，采用换元法，结合二次函数的性质求得点p的横坐标的最大值. 五、解答题17．已知向量，(1)求与的夹角；(2)若与垂直，求实数t的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1），，，，，令与的夹角为，则，则与的夹角为.（2），，又与垂直，，即，解得.18．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256．问题：在展开式中，(1)求的值与展开式中各项系数之和；(2)这个展开式中是否存在有理项？若存在，将其一一列出；若不存在，请说明理由．【答案】(1)选三个中的任意一个，；展开式中各项系数之和为1．(2)存在，展开式中有理项分别为；；． 【分析】（1）利用二项展开式的性质列方程即可求得的值，利用赋值法即可求得展开式中各项系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式，由x的幂次为整数列方程即可求得展开式中有理项.【详解】（1）选①，第3项与第7项的二项式系数相等，则，所以；令，则，则展开式中各项系数之和为1．选②，只有第5项的二项式系数最大，所以，解得；令，则，则展开式中各项系数之和为1．选③，所有项的二项式系数的和为256，则，解得：．令，则，则展开式中各项系数之和为1．（2）二项式展开式的通项公式为：．依题意可知，当，3，6时，二项展开的项都是有理项．所以：当时，；当时，；当时，．所以展开式中有理项分别为；；．19．如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作平面于点I，作于点G，于点K，连接，需证明I在上，再证明，结合，根据线面垂直的判定定理即可证明结论.【详解】（1）证明：如图，在平行六面体中，底面是菱形，连接，交于O点，则O为的中点，连接，因为E为的中点，故,因为平面，平面，故平面；（2）证明：作平面于点I，作于点G，于点K，连接，因为，,故≌,所以,∵平面，平面，∴,故≌,故,又平面，平面,故,又，平面,故平面，平面，故,同理可证,结合，可知I在的平分线上，即I在上，则平面，而平面，平面,故,又底面是菱形，则 ,平面，故平面.20．已知圆C与圆M：相外切，且圆心C与点关于直线l：对称．(1)求圆C的标准方程；(2)求经过点圆C的切线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）得到点在直线上，从而得到关于直线的对称点是其本身，确定圆心坐标，由两圆外切，列出方程，求出半径，得到圆的标准方程；（2）考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出切线方程.【详解】（1）因为，故点在直线上，故点关于直线的对称点是其本身，故圆心坐标为，因为圆C与圆M：相外切，设圆C的半径为，所以，解得：，故圆C的标准方程为；（2）当切线斜率不存在时，即，此时圆心到的距离为3，等于半径，故满足相切关系，当切线斜率存在时，设为，则圆心到直线的距离，解得：，故切线方程为，即，所以切线方程为或.21．如图所示，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，(为大于零的常数)，为等腰直角三角形，，为的中点，，（1）求的长，使得；（2）在（1）的条件下，求二面角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，（1）通过向量的数量积，转化求解；（2）求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积，求二面角的平面角的大小即可.【详解】平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点，,，由已知可得，，，令，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，由题可设，（1），，，，即，，于是，四边形为矩形，故.（2）设点为中点，连结，平面，，而为等腰直角三角形，，平面，为平面的一个法向量，而.设为平面的一个法向量，而，，又，，即，令，则，，设二面角的平面角为，则二面角的平面角为.【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22．已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且当原点O到直线的距离最大时，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点O且垂直于直线的直线与椭圆C相交于P，Q两点，记四边形PMQN的面积为S，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由原点O到直线的距离最大时得a，b间的关系，由离心率公式得a，c间的关系，再结合a，b，c间的关系求出a，b的值，即可写出椭圆C的标准方程；（2）分直线的斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况讨论，前两种情况可直接求出的值，第三种情况，先设直线方程，并联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系及弦长公式求出，再根据及两点间的距离公式求出，进而求出的表达式，利用函数的性质即可求解．【详解】（1）直线MN过定点，故当直线轴时，原点O到直线MN的距离最大，且最大值为，将代入椭圆方程得，所以①．因为椭圆的离心率为，所以②．由①②及，得，，所以椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，的坐标为．①当直线的斜率不存在时，，，则，．②当直线的斜率为0时，，，则，．③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立得，得，设，，则，，．设，则，即，代入椭圆方程得，所以，则，所以．由对称性知，又，所以．而，又，所以的取值范围是，故的取值范围是．综上所述，的取值范围是．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法，（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．