2022-2023学年山东省菏泽市第三中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市第三中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市第三中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1．在等比数列中，，则（    ）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】根据等比数列的性质求得正确选项.【详解】根据等比数列的性质得.故选：D2．设直线、的方向向量分别为，，能得到的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用向量垂直的坐标表示，逐一验证各选项中的两个向量即可判断作答.【详解】对于A，因，，则，A不能；对于B，因，，则，B能；对于C，因，，则，C不能；对于D，因，，则，则D不能.故选：B3．已知为等差数列，为其前项和，若，则公差等于（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的通项和前项和公式，列方程求解即可.【详解】设等差数列的首项为，则，联立解得，故选:C4．若数列{an}满足an＋1＝ (n∈N*)，且a1＝1，则a17＝（    ）A．13 B．14C．15 D．16【答案】A【分析】由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求得答案【详解】由an＋1＝，得an＋1－an＝，所以a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选：A.5．已知数列的前项和为，且满足，，若，则（       ）A． B． C．10 D．【答案】B【分析】确定数列为等差数列，然后由基本量法求得公差和首项的可得结论．【详解】因为，所以数列是等差数列，则，，，，所以．故选：B．6．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A．77 B．88 C．99 D．110【答案】B【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解.【详解】，得，解得，，得，解得，故，.故选：B7．已知数列的前项和，则的通项公式为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式子即可.【详解】，当时，，当时，，上式也成立，，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.8．已知数列的前项和且，，则等于（    ）A．13 B．49 C．35 D．63【答案】B【分析】先判断出数列{an}是等差数列.利用基本量代换求出通项公式，进而求出.【详解】由可知当时，;当时，有.经检验，对也成立.所以数列{an}是等差数列.依题意得，d＝＝＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.所以a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49.故选：B 二、多选题9．下列说法错误的有（    ）A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列【答案】ABD【分析】根据等差数列的定义，结合特例法进行判断即可.【详解】A：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确；B：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确；C：因为a，b，c成等差数列，所以，因为，所以成等差数列，因此本说法正确；D：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正确；故选：ABD10．下列有关数列的说法正确的是（    ）A．数列与数列是同一个数列B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C．在数列中,第8个数是D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为【答案】BCD【分析】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误,使,即可得出项数,判断选项B的正误,根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误,根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.【详解】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以选项A不正确;对于选项B,令,解得或（舍去）,所以选项B正确;对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,第8个数为,即,所以选项C正确;对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为,所以选项D正确.故选:BCD11．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】先求得公比，然后结合等比数列的通项公式、前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】因为，所以，即，解得或，又，所以，所以A正确；数列的通项公式为，所以B正确；，所以C不正确；由，得，，所以，所以D正确．故选:ABD12．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（    ）A．（d为常数） B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．是与的等差中项【答案】ABD【解析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 三、填空题13．在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.【答案】##【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线的夹角.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，设直线与所成角为，则故答案为：14．等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式_______.【答案】【分析】根据等比数列的性质进行求解即可.【详解】等比数列为单调递减数列， ，或，，满足上述条件的一个数列的通项公式为：故答案为：15．已知等差数列的前项和为，若，则______．【答案】36【分析】根据等差数列的性质求得，再求得和．【详解】因为，所以，因此，．故答案为：36．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，，，，1，，，，1，…，其中第一项是1，接下来的两项是，1，再接下来的三项是，，1，依此类推，求满足如下条件的最小整数N；该数列的前N项和大于46，那么该款软件的激活码是______．【答案】83【分析】根据题意可求得该数列的前项和，再根据，求得，即可求得答案.【详解】解：该数列的前项和为，要使，当时，，则，又，所以对应满足条件的最小整数．故答案为：83. 四、解答题17．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）通过题目所给条件列出关于 的两个方程，解出，即可写出数列的通项公式（2）先写出数列 的通项公式，再根据通项公式的特征进行裂项相消求和【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，既成等差数列，又成等比数列，所以，，均相等且不为0，所以即 解之得，，满足条件．故．（2）由（1）得，，所以．故18．在等差数列中：(1)已知，，求和；(2)已知，，求和.【答案】(1)，(2)， 【分析】（1）利用等差数列通项公式与求和公式列出方程组，解出首项和公差，进而求解出和；（2）先用等差数列求和公式和首先的值，求出，再利用通项公式求公差【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为则解得，.∴，（2）由已知得解得，又∵，∴.∴，.19．在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直判定定理，性质定理解决即可；（2）根据空间向量法计算出二面角的余弦值，再求出二面角的正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：∵是等腰直角三角形，∴，且，∵平面底面，平面底面平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∴，（符合勾股定理），∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知，可以建立分别以为轴的空间直角坐标系，则，又因为斜三棱柱中，，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设二面角的平面角为，则.所以，故二面角的正弦值为.20．如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2(1)证明：平面平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据图1可知折叠后，，由此可证平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）由题可知是二面角的平面角，易证是等边三角形，连接，根据图1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证平面，再以为原点，，，为，，轴建系，利用空间向量法即可求出线与平面所成角.【详解】（1）证明：因为在图1中，沿着将折起，所以在图2中有，，又，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知，，，所以是二面角的平面角，所以，又因为，所以是等边三角形，连接，在图1中，因为，，所以，因为是的中点，所以，所以是等边三角形.取的中点，连接，，则，，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴建系，如图所示.，，，所以，，设平面的法向量为，则即取，得平面的一个法向量为，所以.设直线与平面所成角为，则.21．在等比数列中，已知，，（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得公比，进而由即可得解（2）先求出首项，再利用求和公式求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，所以；（2）由（1）可得，所以.22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点.（1）求直线与平面的夹角余弦值；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）；（2）.【分析】由于底面是矩形，平面，所以可得两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【详解】因为平面，平面，平面，所以,因为四边形为矩形，所以，所以两两垂直，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所以示，因为，，是中点，所以，,所以，设平面的法向量为，则，令，则，（1），设直线与平面的夹角为，则，因为所以，（2）因为，面的法向量为，所以点到平面的距离为