2022-2023学年山东师范大学附属中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东师范大学附属中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，且，则的值为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】B

【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.

【详解】因为空间向量，且

.

故选：B.

2．已知等比数列各项均为正数，公比，且满足，则（    ）

A．8 B．4 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质可得，根据各项均为正数，得到，则，进而求解.

【详解】因为，由等比数列的性质可得：，

又因为数列各项均为正数，所以，因为公比，则，

故选：.

3．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：直线的斜率，故其倾斜角为

【解析】直线的斜率与倾斜角的关系

4．抛物线的准线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线.

【详解】由得，故抛物线的准线方程为.

故选：D

5．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算求解．

【详解】由已知，

故选：D．

6．若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作图，根据几何意义分析求解.

【详解】

如图，与直线 平行的距离为1的直线有2条： ，

圆C： 的圆心是 ，依题意及图：圆 与 必有2个交点，与 相离，

圆心C到 的距离 ， ；

故选：C.

7．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件结合双曲线的定义求，根据，即可求出结果.

【详解】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，

又，所以，即，则，

因为双曲线中，，

即，则，即，

又双曲线的离心率大于，所以.

故选：A.

8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.

【详解】由，

可得，，，，

所以，

所以，

所以前项和，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．已知椭圆的离心率为，则的值可能为（    ）

A． B． C．5 D．25

【答案】BC

【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后分和两种情况结合离心率的定义列方程求解即可.

【详解】可化为.

当时，，椭圆的离心率为，解得；

当时，，椭圆的离心率为，解得.

故选：BC.

10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则当时，是等比数列

C．若数列为等差数列，，，则

D．若数列为等差数列，，，则时，最大

【答案】AD

【分析】利用题设条件及等差等比数列性质以及前项和公式，一一验证即可.

【详解】对于选项A：， ，

，又，

则时也符合，故若，则，故选项A正确；

对于选项B：当时，，此时，

数列不是等比数列，故选项B错误；

对于选项C：数列为等差数列，，，

，，，，

故选项C错误；

对于选项D：数列为等差数列，，，

，即，

，即，

，时，最大，故选项D正确；

综上所述：选项AD正确，

故选：AD.

11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，动点满足，则下列说法正确的是（    ）

A．点的轨迹围成区域的面积为

B．面积的最大值为

C．点到直线距离的最大值为

D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为

【答案】ACD

【分析】设点，根据可得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，可判断A；得可判断B；求出点到直线的距离可判断直线与圆相离，求出点到直线距离的最大值可判断C；由D选项可知圆与圆有公共点，由可判断D.

【详解】由题意，设点，又，

所以，

化简可得，

所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，

所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确；

又点满足，

所以，面积的最大值为，B选项错误；

点到直线的距离，

所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项正确；

由D选项可知圆与圆有公共点，所以，

且，

即，

所以，D选项正确；

故选：ACD.

12．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．的长最小值为

B．的最小值为

C．若，则平面截正方体所得截面的面积为

D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是

【答案】BCD

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得，然后用空间向量法求得，判断A，求得数量积计算最小值判断B，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C，结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D．

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，，

，设，，所以，

，

，所以时，，A错；

，

，

所以时，，B正确；

，则是上靠近的三等分点，，

取上靠近的三等分点，则，

，显然与平面的法向量垂直，因此平面，

所以截面与平面的交线与平行，作交于点，

设，则，由得，解得，

则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形，

，，，梯形的高为，

截面面积为，C正确；

，，，，，

，，同理，

所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．已知直线:，，当时，的值为__________.

【答案】或

【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可.

【详解】∵:，，

∴当时，有，解得或，

当时，:，，∴满足题意；

当时，:，，∴满足题意.

∴当时，的值为或.

故答案为：或.

14．已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则前项的和为__________.

【答案】

【分析】利用等差数列的基本量，结合已知条件，即可求得等差数列的首项和公差，再求其前项的和即可.

【详解】由等差数列的公差为，

且是和的等比中项，故可得

，解得.

故数列的前项的和

.

故答案为：.

15．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.

【答案】##60°

【分析】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.

【详解】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.

设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则

于是，,.

在中，，取DE的中点F，则，所以，所以，

于是.

故答案为：.

16．已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．

【答案】4

【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等式即得.

【详解】由题可知，设直线：，

直线:与联立消，得，

设，，则，，

∴，

设，

由，可得，

∴，又，

∴，

∴，即，

同理可得，

所以可得，即，

∴，

∴，当且仅当，即取等号.

故答案为：4.

四、解答题

17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.

(1)求圆的方程；

(2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据圆的圆心在直线上，设圆心为，再根据圆与直线相切于点求解；

（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，利用弦长公式求解.

【详解】（1）解：因为圆的圆心在直线上，

所以设圆心为，

又因为圆与直线相切于点，

所以，

解得，

所以圆心为，半径为 ，

所以圆的方程；

（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为，

圆心到直线的距离为，

所以弦长为，成立；

当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以弦长为，

解得，

所以直线方程为：，

所以直线的方程为 或.

18．在数列中，，当时，其前n项和满足．

(1)求证：是等差数列；

(2)设，求的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；

（2）由（1）得到，进而求得，再采用裂项相消法求得结果.

【详解】（1）证明：∵当时，，

，即：

，又

数列是以为首项，为公差的等差数列

（2）解：由（1）知：

∴

19．已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【详解】【试题分析】(1)利用列方程,可求得,由题意可知,由此求得,且出去椭圆的标准方程.(2) 设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得的值.

【试题解析】（1）由题意知，

由，得，解得：

椭圆的方程为

离心率为

（2），设直线的方程为

联立，得

设，则

由已知得，得，即

解得：，

符合直线的方程为.

20．如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.

(1)求证：；

(2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，当时，确定此时点的位置.

【答案】(1)证明见解析；

(2)点为线段的中点.

【分析】（1）由，求得，在中，用余弦定理求得，再使用勾股定理证得，即可证出；

（2）建立空间直角坐标系，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出实数的值即可.

【详解】（1）在梯形中，∵，，∴，

在中，∵，，

∴由余弦定理，

∴，∴，

∵四边形为矩形，∴，

∴.

（2）

由第（1）问，，又∵平面，

∴以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，，，，，

∵点在线段（不含端点）上运动，

∴设，，

∴，

又∵，

∴设平面的一个法向量，则

，令，则，，

∴，

又∵，直线与平面所成角为，当时，

∴，

解得，

∴，即点为线段的中点.

21．已知等差数列的首项为2，公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，，，，是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由题意在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，可知的公差，进而可求出其通项公式；

（2）根据题意可得，进而得到，再代入中得，利用错位相减即可求出前项和.

【详解】（1）由于等差数列的公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，则的公差，的首项和 首项相同为2，则数列的通项公式为.

（2）由于，是等比数列的前两项，且，，则，则等比数列的公比为3， 则，即，.①.

②.

①减去②得.

.

22．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.

（i）求证：直线的斜率为定值；

（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)（i）答案见解析

（ii）或

【分析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；

（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；

（ii）由（i）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直线方程.

【详解】（1）由题意可知,

∵,且,

∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，

即，，，

则点的轨迹方程为；

（2）（i）设点，，直线的方程为，

联立得，

其中，且，

，，

∵曲线上一点，∴，

由已知条件得直线和直线关于对称，则，

即，整理得，

，

，

，即，

则或，

当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，

故直线的斜率为定值.

（ii）由（i）可知，

由已知得，即，

当时，，

，即，，

，解得或，

但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，

当时，，即，，

，解得（舍去）或，

当时，直线方程为,

故直线的方程为或.