初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定当堂检测题

这是一份初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定当堂检测题，共28页。试卷主要包含了如图，下列四组条件中等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年华师大版八年级数学下册《18-2平行四边形的判定》
知识点分类训练（附答案）
一．平行四边形的判定
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．∠A＝∠C B．AD＝BC C．∠B+∠C＝180° D．AB＝BC
2．如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，﹣1），C（3，0）．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，所有符合条件的D点坐标是（　　）

A．（﹣3，0） B．（3，﹣2），（﹣3，0）
C．（3，2），（3，﹣2） D．（﹣3，0），（3，﹣2），（3，2）
4．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等
D．对角线互相垂直
5．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠D
C．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
7．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
8．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠A＝∠C D．∠A＝∠B
9．如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
10．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是，∠A：∠B：∠C：∠D的值为（　　）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
11．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；
②AB＝CD，AD＝BC；
③AO＝CO，BO＝DO；
④AB∥CD，AD＝BC．
其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
12．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是　 　．

13．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
求证：四边形CDBF是平行四边形．

14．如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．

15．已知，如图所示，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BD上．∠BAE＝∠DCF，连接AF、EC，求证：
（1）AE＝FC；
（2）四边形AECF是平行四边形．

16．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．

17．如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

18．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．

19．如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点：
（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．

20．如图，点是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG
求证：四边形DEFG是平行四边形．

21．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

22．在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，EF过O交AB于E，交CD于F，且OE＝OF，求证：ABCD是平行四边形．

23．如图所示，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AF＝CE，DF＝BE，AF∥CE，求证：四边形ABCD是平行四边形．

24．已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O分别作两条直线，交AD、BC、AB、CD于E、F、G、H四点．
求证：四边形EGFH是平行四边形．

25．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（2，1），C（4，3），
（1）在平面直角坐标系内找一点D，使A，B，C，D 四点构成一个平行四边形，请直接写出点D的坐标．答：点D的坐标为　 　；
（2）在x轴上找一点E、在y轴上找一点F，使A、B、E、F四点构成一个平行四边形，请画出符合题意的平行四边形，并写出E、F两点的坐标．

26．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB＝CD，AE∥DF，AE＝DF．
求证：四边形EBFC是平行四边形．

27．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

28．已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

29．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：
①AD∥BC；②AB∥CD；③∠ABC＝∠ADC；④AB＝CD；⑤OB＝OD；
（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的，除“①与②”外，还有哪几种？（请用序号表示）
（2）除“①与②”外，选择你写的其中的一种，画出示意图，写出已知，求证和证明．
30．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．

31．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．

32．已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

33．已知，如图，DC∥AB，且DC＝AB，E为AB的中点．
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：　 　．

34．已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于M，MA＝MC，求证：CD＝AN．

二．平行四边形的判定与性质
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．求证：AD＝BE．

36．已知，如图，在▱ABCD中，延长BC至E，延长DA至F，使AF＝CE．连接EF，交BD于O．求证：EF与BD互相平分．



37．在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．

38．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE＝DF，连接AE，CF．
求证：AE∥CF．

39．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高及DE的长．

40．如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．

41．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长．

42．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

43．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．

44．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．

45．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°．
（1）求证：AE∥BD；
（2）过点C作CF⊥BD于点F，连接EF，求证：四边形EFCD是平行四边形．


46．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求AB的长．

47．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．


参考答案
一．平行四边形的判定
1．解：如图所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°，
故AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
故选：A．

2．解：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故选：C．
3．解：如图所示，符合条件的点D的坐标分别是D1（﹣3，0）．
D2（3，2），D3（3，﹣2），
故选：D．

4．解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选：C．

6．解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形．
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形．
C、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C可以判断四边形ABCD是平行四边形．
D、∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
7．
解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．
8．解：如图所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°，
故AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
故选：C．

9．解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
10．解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
11．解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可知④错误；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故选：C．
12．解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）
③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）
综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；
故答案为：（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）．
13．证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
在△CEF与△BED中，
，
∴△CEF≌△BED（AAS）．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
14．证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
15．证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴AE＝CF．
（2）由（1）△ABE≌△CDF得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
即∠AEF＝∠CFE．
∴AE∥CF．
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

16．证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O．

∵AE＝DF，AE∥DF．
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴EO＝FO，AO＝DO，
又∵AB＝CD，
∴AO﹣AB＝DO﹣CD，
∴BO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形EBFC是平行四边形．
17．证明：如图，连接AF、EC，连接AC交BD于点O．
∵AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OB，OE＝OF．
又∵DF＝BE，
∴DF+OF＝BE+OE，即OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．

18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，
∴在△FDO和△EBO中，

∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．证明：（1）∵∠E＝∠F，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分；
即O是线段AC的中点．
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
20．证明：∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，EF是△OBC的中位线，
∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
21．证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）∵△AFD≌△CEB，
∴AD＝BC，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22．证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，∠ABD＝∠CDB，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
同理可证△BEO≌△DFO，
∴BE＝DF，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．证明：∵AF∥CE，
∴∠AFE＝∠CEF，∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

24．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴EO＝FO，
同理可得：△BGO≌△DHO，
∴GO＝HO，
∴四边形EGFH是平行四边形．

25．解：如图1，（1）当BC∥DA，BC＝DA时，
当点D在A的左边时，由点C平移到点A是横坐标减3，纵坐标减1，
那么由点B平移到点D也应如此移动：2﹣3＝﹣1，1﹣1＝0，故此时D的坐标（﹣1，0）；
当D在A右边时，由点B平移到点A是横坐标减1，纵坐标加1，
那么由点C平移到点D也应如此移动：4﹣1＝3，3+1＝4，故此时D的坐标（3，4）；
当AC∥DB，AC＝BD时由点A平移到点C是横坐标加3，纵坐标加1，
那么由点B平移到点D也应如此移动：2+3＝5，1+1＝2，
故此时D点坐标为（5，2）
所以D点坐标为（﹣1，0）或（3，4）或（5，2）．
（2）如图2，由点A（1，2），B（2，1），可知直线AB的斜率为﹣1，AB＝，
∵EF∥AB，且EF＝，
∴OE＝1，OF＝1，
∴E的坐标为（1，0），F的坐标（0，1），或E（﹣1，0），F（0，﹣1）；


26．证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ABE和△DCF中

∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴EB＝FC，∠ABE＝∠DCF，
∵∠ABE+∠EBC＝180°，∠DCF+∠FCB＝180°，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC，
∵BE＝FC，
∴四边形EBFC是平行四边形．
27．解：EFGH是平行四边形．
理由：如图，连接AC
∵EF是中位线
∴EF＝AC且EF∥AC
同理，GH＝AC且GH∥AC
∴EF∥GH且EF＝GH
∴四边形EFGH为平行四边形．

28．解：结论：四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵DF∥BE，
∴∠AFD＝∠CEB，
又∵AF＝CE DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
29．解：（1）还有①与③，②与③，②与④，①与⑤，②与⑤；
（2）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，

求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD+∠ADC＝180°
∴BC∥AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
30．证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线．
∴DE∥BC．
∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，
∴CE＝AB＝AE．
∴∠A＝∠ACE．
又∵∠CDF＝∠A，
∴∠CDF＝∠ACE．
∴DF∥CE．
又∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形．

31．（1）证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥EC，
∵点E是CD的中点，
∴，
∵，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝4，，
∴，
∵，
∴AB＝2，
∴S平行四边形ABCE＝AB•AC＝2×4＝8．
32．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO．
∵AO＝CO，
∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB＝CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
33．（1）证明：∵DC＝AB，E为AB的中点，
∴CD＝BE＝AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE＝AD，CE∥AD．
∴∠BEC＝∠BAD．
在△BEC和△EAD中，
，
∴△BEC≌△EAD（SAS）．
（2）解：与△AED的面积相等的三角形有：△AEC，△ECD，△AED．
故答案为：△AEC，△ECD，△ACD．
34．证明：如图，因为AB∥CN，所以∠1＝∠2．
在△AMD和△CMN中，
∴△AMD≌△CMN．
∴AD＝CN．
又AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形．
∴CD＝AN．

二．平行四边形的判定与性质
35．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴CA∥DE，
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AD＝BE．
36．证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥BE，AD＝BC，
∵AF＝CE，
∴AD+AF＝BC+CE，
即DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴EF与BD互相平分．

37．（1）证明：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）解：四边形AECF是平行四边形，
理由如下：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
由（1）知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
38．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
39．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F是AD的中点，
∴FD＝AD，
∵CE＝BC，
∴FD＝CE，
∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）过点D作DG⊥CE于点G，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，∠A＝120°，BC＝AD＝6，
∴∠DCE＝∠B＝60°，
在Rt△DGC中，∠DGC＝90°，
∴CG＝CD•cos∠DCE＝2，
DG＝CD•sin∠DCE＝2，
∵CE＝BC＝3，
∴GE＝1，
在Rt△DGE中，∠DGE＝90°，
∴DE＝＝．
40．证明：连接AC，交BD于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
又∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
41．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）解：如图，作EM⊥DB于点M，

∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝，
∴，DF＝2DE．
在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，
∴DE＝2EM＝4，
∴DF＝2DE＝8．
42．证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．

43．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE•DH＝4×＝4．

44．（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴GD＝1，
∴．

45．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠EAD＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠ADB，
∴AE∥BD．
（2）证明：∵AE∥BD，
∴∠AED+∠BDE＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠BDE＝90°
∵CF⊥BD，
∴∠EDB＝∠CFD＝90°，
∴DE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵∠EAD＝∠CBF，∠AED＝∠BFC＝90°，
∴△ADE≌△BCF，
∴DE＝CF，
∴四边形EFCD是平行四边形．

46．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：由（1）知，AB＝DE＝CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴AB＝CD＝．
47．证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，
∴DG∥EF，DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：过点O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM＝30°，OC＝4
∴OM＝OC＝2，
∴CM＝2，
Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，
∴BM＝OM＝2，
∴BC＝2+2，
∴EF＝1+．