人教版八年级数学 第十八章平行四边形单元测试卷

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第十八章平行四边形单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•青羊区期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．（2022秋•招远市期末）如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（　　）

A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm
3．（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　）

A．5 B．4 C．8 D．6
4．（2022秋•成华区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
5．（2022秋•锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
6．（2022秋•新泰市期末）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD
7．（2022秋•南岸区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．40
8．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（　　）
A．22 B．24 C．25 D．26

9．（2022秋•大渡口区校级期末）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝2，BC＝8，则OB的长为（　　）
A．5 B． C．4 D．2
10．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•宜宾期末）如图，点D、E是AB、AC的中点，若AD＝4，AE＝6，△ABC的周长为30，则DE＝　 　．
12．（2022秋•张店区校级期末）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG＝1.5，则S▱AEPH＝　 　．


13．（2022秋•平遥县期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　 　．
14．（2022•南京模拟）如图，两个全等的矩形ABCD，CEFG叠放在一起，已知CE＝BC，点G为AC与BD的交点，现给出以下结论：①△CDG为等边三角形；②；③三角形GDH的面积等于矩形ABCD面积的；④CH⊥GD．
其中正确的结论有 　 　（填写序号）．
15．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　 　．

16．（2022秋•小店区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝10，CN＝16，则线段AN的长为 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．求证：DG＝BE．

18．（2022春•雨花区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．

19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为 　 　．

20．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．

21．（2023•市南区校级一模）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．
（1）求证△ODC≌△EDF．
（2）连接AF，已知 　 　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．
条件①：AF＝FC且AC＝2DC；
条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．

22．（2022秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　 　cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　 　cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　 　cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．

23．（2022春•顺义区校级月考）如图，在正方形ABCD中，Q为对角线BD上一点（DQ＞BQ），连接AQ、CQ．
（1）求证：AQ＝CQ；
（2）过点Q作QR⊥BD交BC于点R，延长CB至点H使BH＝CR，连接AH．
①依题意补全图形；
②用等式表示AH与CQ之间的数量关系，并证明．










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第十八章平行四边形单元测试卷答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•青羊区期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
2．（2022秋•招远市期末）如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（　　）

A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm
【答案】C
3．（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　）

A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】D
4．（2022秋•成华区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
5．（2022秋•锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
【答案】C

6．（2022秋•新泰市期末）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD
【答案】C
7．（2022秋•南岸区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．12 B．16 C．20 D．40
【答案】C
8．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（　　）

A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】D
9．（2022秋•大渡口区校级期末）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝2，BC＝8，则OB的长为（　　）

A．5 B． C．4 D．2
【答案】D
10．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
【答案】B
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋•宜宾期末）如图，点D、E是AB、AC的中点，若AD＝4，AE＝6，△ABC的周长为30，则DE＝　5　．

【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，再根据三角形周长公式计算即可．
【解析】解：∵点D、E是AB、AC的中点，AD＝4，AE＝6，
∴AB＝2AD＝8，AC＝2AE＝12，DE＝BC，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴BC＝30﹣8﹣12＝10，
∴DE＝BC＝5，
故答案为：5．
12．（2022秋•张店区校级期末）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG＝1.5，则S▱AEPH＝　4.5　．

【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH＝S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【解析】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB＝S△BGP，
同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，
∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，
即S四边形AEPH＝S四边形PFCG．
∵CG＝3BG，S▱BEPG＝1.5，
∴S四边形AEPH＝S四边形PFCG＝3×1.5＝4.5；
故答案为：4.5．
13．（2022秋•平遥县期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°）　．
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
【解析】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°）
14．（2022•南京模拟）如图，两个全等的矩形ABCD，CEFG叠放在一起，已知CE＝BC，点G为AC与BD的交点，现给出以下结论：①△CDG为等边三角形；②；③三角形GDH的面积等于矩形ABCD面积的；④CH⊥GD．
其中正确的结论有 　①④　（填写序号）．

【分析】由矩形的性质可得CG＝DG＝CD，从而可判断①，证明HG＝HD，∠DAC＝30°，从而可判断②，证明，可判断③，由CD＝CG，HG＝HD，可判断④，从而可得答案．
【解析】解：∵两个全等的矩形ABCD，CEFG叠放在一起，点G为AC与BD的交点，
∴GA＝GC＝GB＝GD＝DC＝DF＝DE，∠ADC＝∠FGC＝90°，CE＝FG＝AD＝BC，
∴△GCD为等边三角形，故①符合题意；
∴∠DGC＝60°，∠FGD＝∠ADB＝∠CAD＝30°，
∵∠AGH＝∠FGC＝90°，
∴，
∴，故②不符合题意；
设S△GHD＝m，
∴S△AGD＝3m，S矩形ABCD＝4S△AGD＝12m，
∴，故③不符合题意；
∵△CGD为等边三角形，
∴CG＝CD，而HG＝HD，
∴CH是GD的垂直平分线，
∴CH⊥DG，故④符合题意．
故答案为：①④．
15．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　　．

【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解析】解：连接AD，

∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝，
∴，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
16．（2022秋•小店区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝10，CN＝16，则线段AN的长为 　8　．

【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝x+10，CE＝x+6，由勾股定理解得x＝24，可得DN＝24，AD＝BC＝40，由勾股定理即可求解．
【解析】解：如图，连接AE，AF，EN，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝10，CN＝16，
∴CD＝CN+DN＝x+16，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+10，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+16﹣10＝x+6，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即162+（x+6）2＝（x+10）2，
解得：x＝24，
∴DN＝24，AD＝BC＝BE+CE＝10+x+6＝40，
∴AN＝＝＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共7小题）
17．（2022秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．求证：DG＝BE．

【分析】由正方形的性质可得AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得DG＝BE．
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴DG＝BE．
18．（2022春•雨花区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．

【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE是矩形；
（2）先由矩形AODE的面积为12，可得AO•OD＝12，再由勾股定理可得OA+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵EA⊥AO，DE⊥DO，
∴∠EAO＝∠DOA＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，
∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，
∵四边形AODE的面积为12，
∴OA•OD＝12，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，
∴（OA+OD）2＝OA2+2OA•OD+OD2＝25+24＝49，
∴OA+OD＝7，
∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．
19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB＝6，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，则平行四边形ABCD的面积为 　27　．

【分析】（1）根据已知条件先证明四边形 AECF为平行四边形，再根据∠AEC＝90°即可得证；
（2）由BF平分∠ABC，可求得AB＝AF，在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，则∠BAE＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求得BE，再求出AE，由已知BE＝DF进而即可求得AD即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
又∵BE＝DF，
∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，
∵EC∥AF，EC＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
（2）解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵BC∥AD，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝6，
∴∠BAE＝30°
∴，
∴FD＝BE＝3，
∴AD＝AF+FD＝9，
∴，
故答案为；．
20．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．

【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论．
（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【解析】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC与△BEC都为直角三角形，
∵M为BC的中点，
∴FM、EM为斜边BC的中点，
∴，，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，
∴CE＝＝＝5（cm）．
21．（2023•市南区校级一模）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．
（1）求证△ODC≌△EDF．
（2）连接AF，已知 　②　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．
条件①：AF＝FC且AC＝2DC；
条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．

【分析】（1）由DF＝DC，EF∥AC，可以证明△ODC≌△EDF；
（2）由△ODC≌△EDF推出四边形OCEF是平行四边形，再由OD＝DC证明四边形OCEF是矩形，最后由∠BEC＝45°即可证明四边形OCEF是正方形．
【解析】（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，
∵DF＝DC，
∴△ODC≌△EDF（AAS）；
（2）选择②，四边形OCEF是正方形，
证明：∵△ODC≌△EDF（AAS），
∴OD＝DE，CD＝DF，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∵OD＝DC，
∴OD＝DE＝CD＝DF，
∴四边形OCEF是矩形，
∵∠BEC＝45°，
∴∠EOC＝45°，
∴∠OEC＝∠EOC，
∴OC＝CE，
∴四边形OCEF是正方形，
22．（2022秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　（15﹣t）　cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　7　cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　5　cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．

【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质，列出等式可求解．
【解析】解：（1）∵点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，
∴AP＝tcm，
∴PD＝（15﹣t）cm，
当点P运动2秒时，CQ＝2×4＝8cm，
∴BQ＝15﹣8＝7cm，
当点P运动5秒时，CQ＝4×5＝20cm，
∴BQ＝20﹣15＝5cm，
故答案为：（15﹣t）；7；5；
（2）∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即0＜t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形，
已有PD∥BQ，还需满足DP＝BQ，
①当点Q的运动路线是C﹣B时，BQ＝15﹣4t，由题意得：15﹣t＝15﹣4t，t＝0 不合题意，
②当点Q的运动路线是C﹣B﹣C时，BQ＝4t﹣15，由题意得：15﹣t＝4t﹣15，解得：t＝6；
③当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B时，BQ＝45﹣4t，由题意得：15﹣t＝45﹣4t，解得：t＝10；
④当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B–C时，BQ＝4t﹣45，由题意得：15﹣t＝4t﹣45，解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12．
23．（2022春•顺义区校级月考）如图，在正方形ABCD中，Q为对角线BD上一点（DQ＞BQ），连接AQ、CQ．
（1）求证：AQ＝CQ；
（2）过点Q作QR⊥BD交BC于点R，延长CB至点H使BH＝CR，连接AH．
①依题意补全图形；
②用等式表示AH与CQ之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABQ≌△CBQ，即可得证；
（2）①根据题意补全图形即可求解；
②连接HQ，证明△QBH≌△QRC，进而证明△ADH是等腰直角三角形，即可得出结论
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，
又BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴AQ＝CQ；
（2）解：①补全图形，如图，

②，理由如下，如图，连接HQ，

∵QR⊥BD，∠QBR＝45°，
∴∠QRB＝45°，
∴∠QBR＝∠QRB，
∴BQ＝RQ，∠QRC＝∠QBH＝135°，
又∵CR＝HB，
∴△QBH≌△QRC（SAS），
∴QH＝QC，∠HQB＝∠RQC，
由（1）可知△ABQ≌△CBQ，
∴∠AQB＝∠BQC，
∴∠AQH+∠HQB＝∠BQR+∠RQC，
∴∠AQH＝∠BQR＝90°，
∵AQ＝QC，
∴AQ＝HQ，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴，
∴．